FONCTIONS ü’üNE GRANDEUR YARIABLE COMPLEXE. 25 points isolés où elle serait discontinue, possibilité exclue parl’hypothèse 4° de notre théorème. § xi. Sous les mêmes hypothèses relatives à u et à T qu’à la fin du précédent paragraphe, nous avons les propositions suivantes : I. — Lorsque le long d’une ligne on a u — o et — — o l’on aura partout u = o : Nous démontrerons d’abord qu’une ligne X où u~ oet^“ o ne peut former le contour d’une partie de surface a où « est positif. En effet, si l’on admettait que ce fait pût avoir lieu, l’on séparerait alors de a un morceau qui aurait son contour d’une part sur X et, d’autre part, sur un arc de cercle dont le centre O0 serait en dehors dudit morceau, construction toujours possible à effectuer. L’on aurait alors, en désignant par r et cp les coordonnées polaires de O relatives à l’origine O0, l’intégrale étant prise relativement au contour entier de ce morceau, /i du , C dlogr T logr — as — lu —— as — o, dp J op et, par conséquent, en vertu de l’hypothèse, l’on aurait, relativement à l’arc de cercle total qui appartient au contour, J u dCf log rj --^ds = o, et alors, puisque rdu A f — as — o. J àp l’on aurait s u dy — O ; ce qui est incompatible avec l’hypothèse faite que u est positif à l’intérieur de a. L’on démontrerait d’une manière pareille que les équations
