FONCTIONS D’üXE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 3j Q, pour chaque fonction X, prend une valeur finie qui tend vers l’infini avec L et varie d’une manière continue avec la forme de X, mais a pour une limite inférieure zéro ; par conséquent, pour une forme au moins de la fonction to, l’intégrale Ü atteint une valeur minima.
Pour démontrer la seconde partie de notre théorème, désignons par u une des fonctions w pour laquelle Q atteindra son minimum (*), par h une grandeur indéterminée constante sur toute la surface ; de la sorte u AX satisfait aux conditions prescrites à la fonction tu. Pour to — u -h AX, la valeur de Q s’écrira ainsi Or, d’après la définition d’un minimum, cette valeur doit alors, pour tout X, être supérieure à M, pourvu que A soit chaque fois pris suffisamment petit. Mais ceci exige que, pour tout X, on ait A1 = o ; en effet, s’il en était autrement, aN
ih)
serait négatif, h étant pris de signe contraire àN et < abstraction faite du signe.
La valeur de Q pour to = u -4- X, forme renfermant évidemment toutes les valeurs possibles de w, sera donc égale à M + L, et, par conséquent, puisque L est essentiellement positif, Q ne peut, pour aucune forme de la fonction to, prendre une valeur inférieure à celle qu’elle atteint pour w — u.
Si, parmi les fonctions w, il s’en trouvait une autre u{ pour laquelle aurait lieu un minimum M’ de Q, les mêmes déductions seraient valables, et l’on aurait donc et M^M’, et, par coni’S h -h Lk- = LA* [ 1-4-
(*) Voir, entre autres, la critique de cette partie du célèbre raisonnement par lequel Riemann démontre le Principe de Dirichlet, dans le Traité d*Analyse de M. Picard, Tome II, p. 38. — (L. L.)
