Page:Riemann - Œuvres mathématiques, trad Laugel, 1898.djvu/98

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62 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. ne pouvait le supposer bien connu par un nombre suffisant de lecteurs.

Dans le Mémoire suivant, je traite de cette transcendante d’après une nouvelle méthode qui reste essentiellement applicable à toute fonction qui satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients algébriques. Avec son aide, les résultats trouvés antérieurement en partie par des calculs assez pénibles se déduisent presque directement de la définition ; c’est ce que nous faisons dans la partie ici publiée de ce Mémoire, principalement afin de donner, en vue des nombreuses applications de cette fonction aux recherches de la Physique et de l’Astronomie, un résumé commode de toutes ses représentations possibles. Il est nécessaire d’exposer en préliminaires quelques remarques générales relatives au traitement d’une fonction lors de la variabilité illimitée de son argument.

Considérant la valeur de la grandeur variable indépendante x = y -+- ~-h en vue d’une interprétation plus commode de sa variabilité, comme étant représentée par un point d’un plan indéfini dont les coordonnées rectangulaires sont y et et supposant que la fonction w soit donnée en une partie dudit plan, l’on peut alors, d’après un théorème facile à démontrer, prolonger la fonction au delà de ce domaine, conformément à l’équation ~ = et cela d’une seule et unique manière.

Ce prolongement, cela s’entend de soi, ne doit pas avoir lieu le long de pures lignes, car l’on ne pourrait appliquer à une telle question une équation aux dérivées partielles, mais doit être effectué sur des bandes de surlace de largeur finie. Quant aux fonctions qui sont, ainsi que celle que nous allons traiter, « multiformes », ou qui, pour une même valeur de x, peuvent admettre plusieurs valeurs selon le chemin le long duquel esL effectué le prolongement, il existe pour elles certains points du plan des x autour desquels la fonction se prolonge en une autre comme, par exemple, le point a pour les fonctions — a, log(x — a), (x — a)^, p. désignant un nombre qui n’est pas entier. Si l’on conçoit une ligne quelconque tirée de ce point la valeur de la fonction peut être choisie dans le voisinage de a telle, qu’en dehors de la ligne susdite, elle varie partout d’une manière