Page:Vergne - L’Équilibre thermodynamique des fluides homogènes.djvu/49

41

L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE DES FLUIDES HOMOGÈNES.

des perturbations locales accidentelles, provoqueront des échanges de chaleur tant que cette loi ne sera pas réalisée. La loi isentropique définit donc une répartition moyenne stable ; on peut l’écrire

(55)

$\gamma {\frac {d\mathrm {T} }{\mathrm {T} }}=(\gamma -1){\frac {dp}{p}},$(55)

équation, qui, jointe aux équations

$p=k.\mathrm {T} .\rho$

et

${\frac {dp}{dh}}=-\rho g$^[1],

relie entre elles les variations simultanées de $\mathrm {T} ,$ $p$ et $\rho$ en fonction de l’altitude $h.$

Gardant les seules inconnues $p$ et $\mathrm {T}$ qui suffisent à déterminer l’état du gaz (supposé pur) en chaque point, nous pourrons écrire, $\mathrm {M}$ désignant la masse moléculaire,

(56)

${\frac {dp}{dh}}=-{\frac {g}{k}}{\frac {p}{\mathrm {T} }}=-\mathrm {M} {\frac {g}{\mathrm {R} }}{\frac {p}{\mathrm {T} }}$(56)

et

(57)

${\frac {d\mathrm {T} }{dh}}={\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {\mathrm {T} }{p}}{\frac {dp}{dh}}={\frac {\gamma -1}{\gamma }}\mathrm {M} {\frac {g}{\mathrm {R} }}={\frac {-\mathrm {M} g}{\mathrm {C} }}.$(57)

Ce sont les lois de l’équilibre moyen, dans le champ de la pesanteur, d’une masse de gaz parfait dans laquelle il se produit des convections verticales.

19. Possibilité d’états d’équilibre. — Une masse gazeuse peut-elle rester en équilibre et avec quelle loi de répartition des températures ?

L’équilibre mécanique réel exige qu’il ne se produise pas de convections verticales, lesquelles aboutissent automatiquement à la loi isentropique. Pour cela, il ne faut pas seulement l’absence de perturbations extérieures capables de provoquer des convections accidentelles, il faut aussi que des convections ne s’amorcent pas

1. Il n’y a pas lieu d’employer le symbole de la dérivation partielle, car, dans l’équilibre, $p,$ $\mathrm {T}$ et $\rho$ ne dépendent que de l’altitude $h.$ Conformément aux habitudes courantes, nous compterons celles-ci positivement vers le haut, convention opposée à celle adoptée pour $x$ au paragraphe 17, et qui nous avait donné l’équation (54).