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J. VILLEY.

Nous obtenons alors, en écrivant le principe de la conservation de l’énergie, et en divisant partout par le facteur commun $m,$

(12) $(p_{1}-p_{2})+\mathrm {J} \int _{1}^{2}\delta \mathrm {Q} =\mathrm {J} (\mathrm {U} _{2}-\mathrm {U} _{1})+{\frac {\mathrm {V} _{2}^{2}-\mathrm {V} _{1}^{2}}{2}}+(\mathrm {E} _{2}-\mathrm {E} _{1}).$

ou

$\int _{1}^{2}\left[-d(pv)+\mathrm {J} \delta \mathrm {Q} \right]=\int _{1}^{2}\left[\mathrm {J} \delta \mathrm {U} +d{\frac {\mathrm {V} ^{2}}{2}}+d\mathrm {E} \right],$

et, comme cette équation doit être satisfaite, quelles que soient les sections limites 1 et 2 choisies, elle exige en chaque point la relation

(13)                    $-d(pv)+\mathrm {J} \delta q=\mathrm {J} d\mathrm {U} +d{\frac {\mathrm {V} ^{2}}{2}}+d\mathrm {E} .$

où toutes les différentielles d correspondent à la notation ${\frac {\partial }{\partial l}}.dl,$ $dl$ représentant le petit déplacement de la masse élémentaire unité considérée sur sa trajectoire, et où $\delta \mathrm {Q}$ est la quantité de chaleur qu’elle reçoit au cours de ce même petit déplacement.

Mais on a

(14)                                        $d\mathrm {U} =\delta \mathrm {Q} -\mathrm {A} pdv$^[1]

dans l’hypothèse où il n’y a pas décoordination d’énergie cinétique, et plus généralement

(15)                                   $d\mathrm {U} =\delta \mathrm {Q} -\mathrm {A} pdv+\mathrm {A} \delta w,$

relation dans laquelle l’énergie décoordonnée $\delta w$ est essentiellement positive.

En portant (15) dans la relation (13), il reste

(16)                                   $-vdp-d\mathrm {E} -d{\frac {\mathrm {V} ^{2}}{2}}=\delta w\geq 0$

Dans le cas des liquides, l’énergie potentielle de gravité $\mathrm {E} =gz$ n’est pas négligeable ; mais le volume spécifique $v={\frac {1}{\rho }}$ est constant. Le premier membre de (16) représente alors la décroissance élémen-

1. $\mathrm {A} ={\frac {1}{\mathrm {J} }}.$