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J. VILLEY.

C’est la relation généralisée de de Saint-Venant, où nous retrouvons, dans le cas de la décoordination nulle ($\delta w=0$), l’expression que nous avions écrite directement, au paragraphe 21, pour le gain d’énergie cinétique d’un fluide compressible et de densité négligeable en écoulement permanent.

Si, entre les sections A et B, le fluide vient en contact avec des parois mobiles avec lesquelles il échange du travail, nous savons que l’écoulement ne peut plus être permanent. Mais il peut être pulsatoire, autrement dit périodique si le régime de fonctionnement est régulier. Alors le raisonnement qui a conduit, pour le principe de conservation de l’énergie, à la forme simple (12) reste exact à condition de l’appliquer à un déplacement AA’ tel que le temps dt considéré soit égal à une période (ou à un nombre entier de périodes) de l’écoulement pulsatoire, pour que tout soit identique, aux instants initial et final, dans la partie A’B commune aux deux positions du système fluide.

Appelons $\mathrm {P}$ la puissance motrice du mécanisme compris entre A et B ($\mathrm {P}$ pouvant être négatif si ce mécanisme est une pompe). Le fluide reçoit (algébriquement) de ce mécanisme le travail $-\mathrm {P} dt,$ que l’on peut écrire encore $-{\frac {\mathrm {P} .m}{\mathrm {M} }}.$ Il faut donc ajouter, aux deux termes du premier membre de l’équation (12), le terme supplémentaire $-{\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {M} }}$ qui est, au signe près, le travail produit par le mécanisme par unité de masse de fluide écoulé.

Cette équation (12) devient alors, en disposant ses termes dans un ordre commode,

(18)          ${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {M} }}=\mathrm {J} \left[\left(\mathrm {U} _{1}+\mathrm {A} p_{1}v_{1}\right)-\left(\mathrm {U} _{2}+\mathrm {A} p_{2}v_{2}\right)+\int _{1}^{2}\delta \mathrm {Q} \right]$

                           $+{\frac {\mathrm {V} _{1}^{2}-\mathrm {V} _{2}^{2}}{2}}+(\mathrm {E} _{1}-\mathrm {E} _{2})\,;$

elle met en évidence le rôle essentiel que joue la fonction $\lambda =\mathrm {U} +\mathrm {A} pv,$ ou chaleur totale du fluide, dans le calcul du travail fourni par unité de masse du fluide entre deux points d’un écoulement périodique.

Cette formule, qui peut s’écrire

(19)          ${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {M} }}=\int _{1}^{2}\left[-\mathrm {J} d\mathrm {U} -pdv-vdp+\mathrm {J} \delta \mathrm {Q} -d{\frac {\mathrm {V} ^{2}}{2}}-d\mathrm {E} \right],$

permet de retrouver l’impossibilité d’obtenir du travail dans un écoulement strictement permanent, car alors $-vdp$ s’identifie