équation aux dérivées partielles du second ordre avec des conditions aux limites qui seules varient suivant les problèmes. On sait, de plus, que la solution des questions ainsi posées par la physique a encore une très grosse importance au point de vue mathématique, comme si ces questions traduisaient l’essentiel d’un mode de raisonnement, d’une forme de pensée qui trouve son expression la plus claire dans le calcul des variations : elles se retrouvent dans la théorie des fonctions analytiques d’une variable imaginaire et « Riemann a pu fonder sur la possibilité du problème de Dirichlet sa magnifique théorie des fonctions abéliennes ».
Tant de généralité méritait l’effort qu’Henri Poincaré fournit en deux étapes ; la première aboutit en 1890 au Mémoire de l’American Journal of Mathematics sur « les équations aux dérivées partielles de la physique mathématique » et la seconde en 1896 à celui des Acta Mathematica sur « la méthode de Neumann et le problème de Dirichlet ». Il est remarquable que, parti en donnant du problème de Dirichlet la solution si originale connue sous le nom de « méthode du balayage » , Poincaré se trouve à la fin, après avoir résolu avec une rigueur de plus en plus grande des
