la solution cherchée devait rendre minimum une certaine intégrale mais n’avait pu démontrer de manière rigoureuse l’existence même de la fonction qui correspond à un tel minimum. Cette remarque correspondait à la propriété physique possédée par la distribution d’équilibre électrique de rendre minimum l’énergie présente dans le champ qu’elle produit. Nous sommes physiquement certains qu’un tel champ d’énergie minimum existe, bien que l’analyse de Riemann ne suffise pas à l’établir avec une entière rigueur mathématique. On sait que cette lacune du raisonnement de Riemann a été comblée par M. Hilbert.
Dans son travail de 1890, Poincaré applique des raisonnements analogues à celui de Riemann aux problèmes que posent la théorie de la chaleur, et celle de l’élasticité. On sait que Fourier avait fondé la méthode géniale par laquelle on obtient la loi du refroidissement d’un corps de forme quelconque pour une distribution initiale quelconque de la température à son intérieur, en décomposant cette distribution initiale en une série de distributions simples dont chacune possède la propriété de rester semblable à elle-même au cours du temps et de tendre vers l’uniformité suivant une fonction exponentielle du temps, de plus
