n’avait pas réussi à définir mécaniquement une fonction de l’état de tels systèmes qui, comme l’entropie, allât toujours en croissant au cours des transformations spontanées.
Henri Poincaré, en s’appuyant sur les propriétés des formes quadratiques, démontre qu’une telle recherche ne peut pas aboutir, qu’aucune fonction de l’état d’un système régipar les équations hamiltoniennes ne peut aller constamment en croissant au cours du temps, que les deux principes de l’accroissement de l’entropie et de la moindre action sont inconciliables. Ce résultat est à rapprocher du théorème si important qu’il démontrait à peu près en même temps dans son grand Mémoire sur le problème des trois corps et d’après lequel un système dynamique abandonné à lui-même vient toujours, au bout d’un temps suffisamment long, repasser aussi près qu’on le veut de toute configuration déjà traversée. Il n’existe donc aucune fonction uniforme et continue de l’état de ce système qui ne doive, au cours du temps, reprendre aussi exactement qu’on le veut toute valeur déjà prise par elle. Aucune par conséquent ne peut aller constamment en croissant.
À la fin de la Préface du Cours de Thermodynamique, la conclusion est énoncée sous
