La question de la divergence des séries de la mécanique céleste a une grande importance. C’est une des questions les plus intéressantes qui se sont présentées dans les mathématiques. Peut-on se servir de séries divergentes et peut-on, au moyen de séries de cette nature, parvenir à des approximations dans des problèmes pratiques ? L’exemple de la série de Stirling fait répondre affirmativement. Des séries de la même sorte se présentent en mécanique céleste. Elles peuvent aussi fournir des approximations suffisantes pour les besoins de la pratique.
Voilà ce que Poincaré a remarqué et développé. Le théorème célèbre sur la non-existence d’intégrales uniformes, c’est-à-dire que le problème des trois corps n’a pas d’intégrales uniformes, outre celles déjà connues, est un des résultats les plus frappants de la théorie de Poincaré.
Les invariants intégraux jouent un rôle essentiel dans les recherches dont nous parlons. Ce sont des expressions qu’on calcule par des quadratures appliquées aux variables des équations différentielles. Elles demeurent constantes. Ces invariants se rattachent intimement au problème fondamental de la stabilité.
