dent a priori, c’est-à-dire que toute figure d’équilibre d’une masse fluide homogène en rotation est symétrique par rapport à l’axe de rotation.
Mais les solutions de Mac Laurin et Jacobi ne sont que des solutions particulières du problème général. Il y en a une infinité d’autres. Il faut aussi remarquer que ces solutions ne s’obtiennent pas d’une manière directe. On vérifie que, certaines conditions étant données, des ellipsoïdes satisfont aux lois de l’équilibre.
Avant d’arriver aux recherches de Poincaré, il faut rappeler que Thomson et Tait dans leur ouvrage sur la philosophie naturelle avaient reconnu qu’il y a des formes annulaires d’équilibre outre les ellipsoïdes. Ils avaient aussi étudié la stabilité, soit en imposant à la masse fluide certaines conditions, par exemple celle d’être de révolution ou d’être ellipsoïdale, soit en supprimant toute liaison.
L’idée féconde dont Poincaré a fait usage est celle des équilibres de bifurcation. Considérons un système dont l’état dépend d’un certain paramètre. Si l’on a par exemple une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, ce paramètre sera la vitesse angulaire de rotation. Supposons que plusieurs états différents d’équilibre du système correspondent à une
