Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre V
(p. 11-12).
V.
Les deux solutions trouvées dans l’article précédent se rapportent, évidemment, à des points opposés de la surface sphérique, ou à des directions opposées ; ce qui est dans la nature même des choses, puisque l’on peut mener une normale aux deux faces (plagæ) d’une surface courbe. Si l’on veut distinguer entre elles ces deux régions, contiguës à sa surface, et appeler l’une extérieure et l’autre intérieure, nous pourrons attribuer à l’une et à l’autre normale sa solution convenable, au moyen du théorème développé dans le no 7 de l’art. II, et en même temps nous aurons un critérium pour distinguer une région de l’autre.
Dans la première méthode, ce critérium sera donné par le signe de la valeur de la quantité . Généralement parlant, la surface courbe sépare les parties de l’espace pour lesquelles a une valeur positive, des parties pour lesquelles la valeur de devient négative. Mais ce théorème fait voir facilement que si acquiert une valeur positive vers la face extérieure, et que l’on conçoive une normale menée en dehors, on devra adopter la première solution. Du reste, dans chaque cas, on jugera facilement si la même règle pour le signe de a lieu pour la surface entière, ou si elle varie avec les différentes parties. Tant que les coefficients ont des valeurs finies, et ne deviennent pas nuls tous les trois à la fois, la loi de la continuité empêchera toute incertitude.
Si nous suivons la deuxième méthode, nous pouvons concevoir sur la surface courbe deux systèmes de lignes courbes : l’un, pour lequel est variable et constant ; l’autre, pour lequel est variable, constant ; la position mutuelle de ces lignes par rapport à la région extérieure, doit décider laquelle des solutions il faut adopter. Toutes les fois que les trois lignes suivantes, savoir, la branche de la ligne du premier système qui partant de croît avec la branche du second système partant de et croissant avec et la normale menée vers le côté extérieur, sont placées d’une manière semblable à celle des axes des à partir de l’origine des abscisses (par exemple, si, tant pour ces trois lignes que pour les trois autres, on peut concevoir la première dirigée vers la gauche, la deuxième vers la droite, et la troisième de bas en haut), la première solution doit être adoptée ; mais chaque fois que la position mutuelle des trois premières lignes sera opposée à la position mutuelle des trois axes des la seconde solution aura lieu.
Dans la troisième méthode il faut voir si, quand prend un accroissement positif, et ne changeant point, le passage se fait vers la région extérieure ou intérieure. Dans le premier cas, pour la normale dirigée vers l’extérieur, la première solution aura lieu ; dans le second cas, la seconde.
