Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre IV

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
◄  III
V  ►

IV.


La situation d’un plan tangent est connue commodément par la position de la droite qui lui est normale au point cette droite est dite aussi, normale à cette surface courbe. Nous représenterons la direction de cette normale parle point sur la surface de la sphère auxiliaire, et nous poserons


nous désignons par les coordonnées du point Soient, de plus, les coordonnées d’un autre point pris sur la surface courbe ; sa distance infiniment petite au point enfin le point de la surface sphérique représentant la direction de l’élément On aura aussi


et, puisque l’on doit avoir degrés,


De la combinaison de ces équations dérive


On a deux méthodes générales pour montrer le caractère d’une surface courbe. La première méthode se sert de l’équation entre les coordonnées que nous supposerons réduite à la forme sera fonction des indéterminées Soit la différentielle complète de la fonction


on aura, pour la surface courbe,


et, par suite,


Comme cette équation, de même que celle que nous avons établie plus haut, doit avoir lieu pour les directions de tous les éléments sur la surface courbe, on verra facilement que doivent être proportionnels à et, par suite, comme on aura, ou


ou

La seconde méthode exprime les coordonnées sous forme de fonctions de deux variables et Supposons que, par la différentiation de ces fonctions, il vienne


Par la substitution de ces valeurs dans la formule donnée plus haut, on obtient


Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment des valeurs des différentielles on devra avoir, évidemment,


d’où nous voyons que doivent être proportionnels aux quantités

Ainsi, en posant, pour abréger,


on aura, ou


ou

À ces deux méthodes générales, vient s’ajouter une troisième, dans laquelle une des coordonnées, par exemple, se présente sous forme de fonction des deux autres Cette méthode n’est évidemment autre chose qu’un cas particulier de la première méthode ou de la seconde. Si l’on pose


on aura, ou


ou