Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre X

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 22-24).

X.

On obtiendra une formule encore plus compliquée, composée de quinze éléments, en suivant la seconde méthode générale^[1] pour exprimer la nature des surfaces courbes. Il est cependant très-important de l’élaborer aussi. En conservant les signes de l’art. IV, posons, en outre,

$\frac{d^{2}x}{d{p}^2}=$	$\alpha ,$	$\frac{d^{2}x}{dpdq}=$	${\alpha }^{\prime },$	$\frac{d^{2}x}{d{q}^2}=$	${\alpha }^{″},$
$\frac{d^{2}y}{d{p}^2}=$	$\beta ,$	$\frac{d^{2}y}{dpdq}=$	${\beta }^{\prime },$	$\frac{d^{2}y}{d{q}^2}=$	${\beta }^{″},$
$\frac{d^{2}z}{d{p}^2}=$	$\gamma ,$	$\frac{d^{2}z}{dpdq}=$	${\gamma }^{\prime },$	$\frac{d^{2}z}{d{q}^2}=$	${\gamma }^{″}.$

Faisons encore, pour abréger,

$b{c}^{\prime }-c{b}^{\prime }$		$=\mathrm{A},$
$c{a}^{\prime }-a{c}^{\prime }$		$=\mathrm{B},$
$a{b}^{\prime }-b{a}^{\prime }$		$=\mathrm{C}.$

On a d’abord

$\mathrm{A}dx+\mathrm{B}dy+\mathrm{C}dz=0,$

ou

$dz=-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}dx-\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}dy;$

mais aussi, quand $z$ est considérée comme fonction de $x,y,$ on a

$\frac{dz}{dx}=t$		$=-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}},$
$\frac{dz}{dy}=u$		$=-\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}.$

Nous tirons de $dx=adp+a^{\prime }dq,dy=bdp+b^{\prime }dq,$

$\mathrm{C}dp=$		$b^{\prime }dx-a^{\prime }dy,$
$\mathrm{C}dq=$	$-$	$bdx+ady,$

Les différentielles complètes de $t$ et de $u$ sont donc

${\mathrm{C}}^{3}dt=$		$(\mathrm{A}\frac{d\mathrm{C}}{dp}-\mathrm{C}\frac{d\mathrm{A}}{dp})(b^{\prime }dx-a^{\prime }dy)$	$+(\mathrm{C}\frac{d\mathrm{A}}{dq}-\mathrm{A}\frac{d\mathrm{C}}{dq})(bdx-ady),$
${\mathrm{C}}^{3}du=$		$(\mathrm{B}\frac{d\mathrm{C}}{dp}-\mathrm{C}\frac{d\mathrm{B}}{dp})(b^{\prime }dx-a^{\prime }dy)$	$+(\mathrm{C}\frac{d\mathrm{B}}{dq}-\mathrm{B}\frac{d\mathrm{C}}{dq})(bdx-ady).$

Si maintenant, dans ces formules, nous substituons

$\frac{d\mathrm{A}}{dp}=$	$c^{\prime }\beta$	$+b{\gamma }^{\prime }$	$-c{\beta }^{\prime }$	$-b^{\prime }\gamma ,$
$\frac{d\mathrm{A}}{dq}=$	$c^{\prime }{\beta }^{\prime }$	$+b{\gamma }^{″}$	$-c{\beta }^{″}$	$-b^{\prime }{\gamma }^{\prime },$
$\frac{d\mathrm{B}}{dp}=$	$a^{\prime }\gamma$	$+c{\alpha }^{\prime }$	$-a{\gamma }^{\prime }$	$-c^{\prime }\alpha ,$
$\frac{d\mathrm{B}}{dq}=$	$a^{\prime }{\gamma }^{\prime }$	$+c{\alpha }^{″}$	$-a{\gamma }^{″}$	$-c^{\prime }{\alpha }^{\prime },$
$\frac{d\mathrm{C}}{dp}=$	$b^{\prime }\alpha$	$+a{\beta }^{\prime }$	$-b{\alpha }^{\prime }$	$-a^{\prime }\beta ,$
$\frac{d\mathrm{C}}{dq}=$	$b^{\prime }{\alpha }^{\prime }$	$+a{\beta }^{″}$	$-b{\alpha }^{″}$	$-a^{\prime }{\beta }^{\prime },$

et si nous considérons que les valeurs des différentielles $dt,du,$ ainsi obtenues, doivent être respectivement égales, indépendamment des différentielles $dx,dy,$ aux quantités $\mathrm{T}dx+\mathrm{U}dy,\mathrm{U}dx+\mathrm{V}dy,$ nous trouverons, après quelques transformations qui se présentent assez naturellement,

${\mathrm{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{T}$	$=$		$\alpha \mathrm{A}b{\text{'}}^2+\beta \mathrm{B}b{\text{'}}^2+\gamma \mathrm{C}b{\text{'}}^2$
		$-$	$2{\alpha }^{\prime }\mathrm{A}b{b}^{\prime }-2{\beta }^{\prime }\mathrm{B}b{b}^{\prime }-2{\gamma }^{\prime }\mathrm{C}b{b}^{\prime }$
		$+$	${\alpha }^{″}A\mathrm{A}{b}^2+{\beta }^{″}\mathrm{B}{b}^2+{\gamma }^{″}\mathrm{C}{b}^2,$
${\mathrm{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{U}$	$=$	$-$	$\alpha \mathrm{A}{a}^{\prime }{b}^{\prime }-\beta \mathrm{B}{a}^{\prime }{b}^{\prime }-\gamma C{a}^{\prime }{b}^{\prime }$
		$+$	${\alpha }^{\prime }\mathrm{A}(a{b}^{\prime }+b{a}^{\prime })+{\beta }^{\prime }\mathrm{B}(a{b}^{\prime }+b{a}^{\prime })+{\gamma }^{\prime }\mathrm{C}(a{b}^{\prime }+b{a}^{\prime }),$
		$-$	${\alpha }^{″}\mathrm{A}ab-{\beta }^{″}\mathrm{B}ab-{\gamma }^{\prime }\mathrm{C}ab,$
${\mathrm{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{V}$	$=$		$\alpha \mathrm{A}a{\text{'}}^2+\beta \mathrm{B}a{\text{'}}^2+\gamma \mathrm{C}a{\text{'}}^2$
		$-$	$2{\alpha }^{\prime }\mathrm{A}a{a}^{\prime }-2{\beta }^{\prime }\mathrm{B}a{a}^{\prime }-2{\gamma }^{\prime }\mathrm{C}a{a}^{\prime }$
		$+$	${\alpha }^{″}\mathrm{A}{a}^2+{\beta }^{″}\mathrm{B}{a}^2+{\gamma }^{″}\mathrm{C}{a}^2.$

Si donc, pour abréger, nous posons

(1)	$\mathrm{A}\alpha$	$+\mathrm{B}\beta$	$+\mathrm{C}\gamma$	$=\mathrm{D},$
(2)	$\mathrm{A}{\alpha }^{\prime }$	$+\mathrm{B}{\beta }^{\prime }$	$+\mathrm{C}{\gamma }^{\prime }$	$={\mathrm{D}}^{\prime },$
(3)	$\mathrm{A}{\alpha }^{″}$	$+\mathrm{B}{\beta }^{″}$	$+\mathrm{C}{\gamma }^{″}$	$={\mathrm{D}}^{″},$

on a

${\mathrm{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{T}$	$=$	$\mathrm{D}b{\text{'}}^2-2{\mathrm{D}}^{\prime }b{b}^{\prime }+{\mathrm{D}}^{″}{b}^2,$
${\mathrm{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{U}$	$=-$	$\mathrm{D}{a}^{\prime }{b}^{\prime }+{\mathrm{D}}^{\prime }(a{b}^{\prime }+b{a}^{\prime })-{\mathrm{D}}^{″}ab,$
${\mathrm{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{V}$	$=$	$\mathrm{D}a{\text{'}}^2-2{\mathrm{D}}^{\prime }a{a}^{\prime }+{\mathrm{D}}^{″}{a}^2.$

De là , en faisant le développement,

${\mathrm{C}}^{\mathrm{6}}(TV-U^2)=(D{D}^{″}-D{\text{'}}^2)(a{b}^{\prime }-b{a}^{\prime }{)}^2=(D{D}^{″}-D{\text{'}}^2)C^2,$

et, par conséquent, la formule, pour la mesure de la courbure,

$k=\frac{D{D}^{″}-D{\text{'}}^2}{(A^2+B^2+C^2{)}^2}.$

1. Cette seconde méthode est un système de coordonnées, longitudes et latitudes, généralisé.