IX.
La formule générale pour la mesure de la courbure donnée
à la fin de l’art. VII est de toutes la plus simple, puisqu’elle implique seulement cinq éléments ; nous serons conduits à une formule plus compliquée, renfermant neuf éléments, si nous voulons employer la première manière d’exprimer la nature d’une surface[1]. En conservant les notations de l’art. IV, nous poserons, de plus,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dx^{2}}}=\mathrm {P} ',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dy^{2}}}=\mathrm {Q} ',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dz^{2}}}=\mathrm {R} ',\\{\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dydz}}=\mathrm {P} '',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dxdz}}=\mathrm {Q} '',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dxdy}}=\mathrm {R} '',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847a24596d6d127197cf78c1411afd24487ae5ff)
de sorte qu’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}d\mathrm {P} \ &=\ \mathrm {P} 'dx\ &&+\ \mathrm {R} ''dy\ &&+\ \mathrm {Q} ''dz,\\d\mathrm {Q} \ &=\ \mathrm {R} ''dx\ &&+\ \mathrm {Q} 'dy\ &&+\ \mathrm {P} ''dz,\\d\mathrm {R} \ &=\ \mathrm {Q} ''dx\ &&+\ \mathrm {P} ''dy\ &&+\ \mathrm {R} 'dz.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe97e622c3172822e4182cd34bf0f0354864ed41)
Comme on a déjà
nous trouvons, par la différentiation,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}dt=&-\mathrm {RdP+PdR} =(\mathrm {PQ''-RP'} )dx+(\mathrm {PP''-RR''} )dy\\&+(\mathrm {PR'-RQ''} )dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417c00e02a0e357b261f0bf181776f24cf8f655d)
ou, en éliminant
à l’aide de l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ^{3}dt&=(-\mathrm {R} ^{2}\mathrm {P} '+2\mathrm {P} \mathrm {R} \mathrm {Q} ''-\mathrm {P} ^{2}\mathrm {R} ')dx\\&+(\mathrm {PRP} ''+\mathrm {QRQ} ''-\mathrm {PQR} '-\mathrm {R} ^{2}\mathrm {R} '')dy.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed26cfd78ec72047445ba23aed51a8a6a37676b8)
On obtient, en outre, de la même manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ^{3}du&=(\mathrm {PRP''+QRQ''-PQR'-R^{2}R''} )dx\\&+(\mathrm {-R^{2}Q'+2QRP''-Q^{2}R'} )dy.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6d6025d34f2b4c50dd4909da454c640742b30c)
Nous tirons de là,
![{\displaystyle \mathrm {R^{3}T} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fdd79fdd826819ba66e857de90a9868d43ae25) |
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![{\displaystyle \mathrm {R^{3}U} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf4009cd323430cce85f7f721f13dfeebf86e79) |
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![{\displaystyle \mathrm {R^{3}V} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320bbe3e82462dbd5d094585c4435658bade567e) |
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En substituant ces valeurs dans la formule de l’art. VII,
nous obtenons, pour la mesure de la courbure
, l’expression
symétrique suivante,
![{\displaystyle (\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}} )^{2}k=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d130cdf879374fc1bf53d4a277300596fb9c919c) |
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![{\displaystyle \mathrm {P^{2}(Q'R'-P''^{2})} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968518895f045541332f1a63df25f600cb660b43) |
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![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle \mathrm {R^{2}(P'Q'-R''^{2})} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0d096a79b4dbccbb3f814af8ac86452bb8b274) |
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![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle \mathrm {2PR(P''R''-Q'Q'')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557b69d7d565d97180f187cbb9d25ad3ac53d21f) |
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