Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XX

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XX.


Arrêtons-nous encore à la même supposition, savoir, que désigne la longueur de la ligne la plus courte, menée d’un point déterminé à un point quelconque de la surface, et l’angle que le premier élément de cette ligne fait avec le premier élément d’une autre ligne donnée de plus courte distance, partant de . Soient un point déterminé sur cette ligue pour laquelle et un autre point déterminé de la surface, pour lequel nous désignerons simplement par la valeur de . Supposons les points et joints par la ligne la plus courte, dont les parties, comptées du point seront désignées, comme dans l’art. XVIII, par et, comme dans ce même article, désignera l’angle qu’un élément quelconque ds fait avec l’élément soient enfin les valeurs de l’angle aux points et . Nous avons ainsi sur la surface courbe un triangle formé par des lignes de plus courte distance, dont les angles en et , que nous désignerons simplement parces mêmes lettres, seront égaux, l’un au complément de à 180 degrés, l’autre à l’angle . Mais comme il est facile de voir, par notre analyse, que tous les angles sont exprimés, non en degrés, mais en nombres, de façon que l’angle auquel correspond l’arc égal au rayon, est pris pour unité, on doit poser, en désignant par la circonférence du cercle,

Cherchons maintenant la courbure totale de ce triangle, qui est égale à désignant l’élément superficiel du triangle ; et comme cet élément est exprimé par il faut prendre l’intégrale pour toute la surface du triangle. Commençons par l’intégration suivant laquelle, à cause de donne pour la courbure totale de l’aire située entre les lignes du premier système auxquelles correspondent les valeurs de la seconde indéterminée Comme cette courbure doit devenir nulle pour la quantité constante introduite par l’intégration doit être égale à la valeur de pour c’est-à-dire à l’unité. Nous avons ainsi où il faut prendre pour la valeur correspondante à la fin de cette aire sur la ligne . Mais, dans cette ligne, on a, par le paragraphe précédent,

d’où notre expression se change en Par une seconde intégration prise depuis jusqu’à nous obtenons la courbure totale du triangle

La courbure totale est égale à l’aire de cette partie de la surface sphérique qui correspond au triangle, affectée du signe positif ou négatif, suivant que la surface courbe, sur laquelle est situé le triangle, est concavo-concave ou concavo-convexe ; pour unité d’aire, on doit prendre le carré, dont le côté est l’unité (le rayon de la sphère), et, par suite, la surface totale de la sphère égale La partie de la surface sphérique correspondante au triangle est ainsi, à la surface entière de la sphère, comme est à Ce théorème, qu’on doit regarder, si nous ne nous trompons, comme un des plus élégants de la théorie des surfaces courbes, peut aussi être énoncé de la manière suivante :

L’excès sur 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-concave par des lignes de plus courte distance, ou la différence à 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-convexe par des lignes de plus courte distance, a pour mesure l’aire de la partie de la surface sphérique qui correspond à ce triangle, par les directions des normales, pourvu qu’on égale la surface entière à 720 degrés.

Plus généralement, dans un polygone quelconque de côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance, l’excès de la somme des angles sur droits, ou la différence à droits (suivant la nature de la surface courbe), est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone en triangles.