Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXI

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 41-44).

XXI.

Rendons aux lettres $p,\ q,\mathrm {\ E,\ F,\ G,} \ \pi$ les significations générales que nous leur avions données plus haut, et supposons, en outre, que la nature de la surface courbe est déterminée d’une manière semblable par deux autres variables $p',\ q',$ dans laquelle l’élément linéaire s’exprime par

${\sqrt {\mathrm {E} 'dp'^{2}+2\mathrm {F} 'dp'.dq'+\mathrm {G} 'dq'^{2}}},$

Ainsi, à un point quelconque de la surface défini par des valeurs déterminées des variables $p,\ q,$ répondront des yaleurs déterminées des variables $p',\ q',$ celles-ci seront donc fonctions de $p,\ q,$ et nous supposerons qu’on obtient, par leur différentiation,

$dp'$	$=$	$\alpha dp+\beta dq,$
$dq'$	$=$	$\gamma dp+\delta dq.$

Proposons-nous de chercher la signification géométrique de ces coefficients $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta .$

On peut ainsi concevoir maintenant sur la surface courbe quatre systèmes de lignes pour lesquelles $q,\ p,\ q',\ p'$ sont respectivement constantes. Si par le point déterminé auquel répondent les valeurs $p,\ q,\ p',\ q'$ des variables, nous supposons qu’on mène quatre lignes appartenant à chacun de ces systèmes, aux variations positives $dp,\ dq,\ dp',\ dq'$ répondront les éléments

${\sqrt {\mathrm {E} }}dp,\quad {\sqrt {\mathrm {G} }}dq,\quad {\sqrt {\mathrm {E} '}}dp',\quad {\sqrt {\mathrm {G} '}}dq'.$

Nous désignerons les angles que les directions de ces éléments font avec une direction fixe arbitraire, par $\mathrm {M,\ N,\ M',\ N'} ,$ en comptant dans le sens où est placée la seconde par rapport à la première, de façon que $\sin(\mathrm {N-M} )$ soit une quantité positive : nous supposerons (ce qui est permis) que la quatrième est placée dans le même sens par rapport à la troisième, de façon que $\sin(\mathrm {N'-M'} )$ soit aussi une quantité positive. Cela compris ainsi, si nous considérons un autre point, infiniment peu distant du premier, auquel correspondent les valeurs $p+dp,\ q+dq,\ p'+dp',\ q'+dq'$ des variables, avec un peu d’attention nous reconnaîtrons qu’on a en général, c’est-à-dire indépendamment des valeurs des variations $dp,\ dq,\ p'dp',\ q'dq',$

${\sqrt {\mathrm {E} }}.dp.\sin \mathrm {M} +{\sqrt {\mathrm {G} }}.dq.\sin \mathrm {N} \ =\ {\sqrt {\mathrm {E} '}}.dp'.\sin \mathrm {M} '+{\sqrt {\mathrm {G} '}}.dq'.\sin \mathrm {N} ',$

puisque chacune de ces expressions n’est autre chose que la distance du nouveau point à la ligne à partir de laquelle commencent les angles des directions. Mais nous avons, par la notation déjà introduite plus haut, $\mathrm {N-M} =\omega ,$ et, par analogie, nous poserons $\mathrm {N'-M'} =\omega ',$ et, de plus, $\mathrm {N-M'} =\psi .$ L’équation que nous venons de trouver peut ainsi se mettre sous la forme suivante :

	${\sqrt {\mathrm {E} }}.dp.\sin(\mathrm {M} '-\omega +\psi )+{\sqrt {\mathrm {G} }}.dq.\sin(\mathrm {M} '+\psi )$
$=$	${\sqrt {\mathrm {E} '}}.dp'.\sin \mathrm {M} '+{\sqrt {\mathrm {G} '}}.dq'.\sin(\mathrm {M} '+\omega '),$

ou sous celle-ci :

	${\sqrt {\mathrm {E} }}.dp.\sin(\mathrm {N} '-\omega -\omega '+\psi )+{\sqrt {\mathrm {G} }}.dq.\sin(\mathrm {N} '-\omega '+\psi )$
$=$	${\sqrt {\mathrm {E} '}}.dp'.\sin(\mathrm {N} '-\omega ')+{\sqrt {\mathrm {G} '}}.dq'.\sin(\mathrm {N} ').$

Et comme l’équation doit évidemment être indépendante de la direction initiale, on peut prendre celle-ci à volonté. En posant ainsi dans la seconde forme $\mathrm {N'} =0,$ ou dans la première $\mathrm {M'} =0,$ nous obtenons les équations suivantes :

${\sqrt {\mathrm {E} '}}.\sin \omega '.dp'$	$=$	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\sin(\omega +\omega '-\psi ).dp+{\sqrt {\mathrm {G} }}.\sin(\omega '-\psi ).dq,$
${\sqrt {\mathrm {G} '}}.\sin \omega '.dq'$	$=$	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\sin(\psi -\omega ).dp+{\sqrt {\mathrm {G} }}.\sin \psi .dq\ ;$

comme ces équations doivent être identiques avec celles-ci,

$dp'$	$=$	$\alpha dp+\beta dq,$
$dq'$	$=$	$\gamma dp+\delta dq.$

elles donneront la détermination suivante des coefficients $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta \ :$

$\alpha ={\sqrt {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {E} '}}}.{\frac {\sin(\omega +\omega '-\psi )}{\sin \omega '}},$	$\qquad$	$\beta ={\sqrt {\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {E} '}}}.{\frac {\sin(\omega '-\psi )}{\sin \omega '}},$
$\gamma ={\sqrt {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {G} '}}}.{\frac {\sin(\psi '-\omega )}{\sin \omega '}},$		$\delta ={\sqrt {\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {G} '}}}.{\frac {\sin \psi }{\sin \omega '}}.$

On doit leur adjoindre les équations

$\cos \omega ={\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {EG} }},$	$\qquad$	$\cos \omega '={\frac {\mathrm {F'} }{\mathrm {E'G'} }},$
$\sin \omega ={\sqrt {\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {EG} }}},$	$\qquad$	$\sin \omega '={\sqrt {\frac {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }{\mathrm {E'G'} }}},$

Par suite, les quatre equations peuvent aussi être présentées ainsi :

$\alpha {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {EG'} }}.\sin(\omega +\omega '-\psi ),$
$\beta {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {GG'} }}.\sin(\omega '-\psi ),$
$\gamma {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {EE'} }}.\sin(\psi -\omega ),$
$\delta {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {GE'} }}.\sin \psi ,$

Comme, par les substitutions $dp'=\alpha .dp+\beta .dq,$ $dp'=\gamma .dp+\delta .dq,$ le trinôme

$\mathrm {E} 'dp'^{2}+2\mathrm {F} 'dp'.dq'+\mathrm {G} 'dq'^{2}$

doit se changer en $\mathrm {E} dp^{2}+2\mathrm {F} dp.dq+\mathrm {G} dq^{2},$ on obtient facilement

$\mathrm {EG-F^{2}} =(\mathrm {E'G-F'^{2}} )(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;$

et comme, vice versâ, le second trinôme doit se changer de nouveau dans le premier par la substitution

$(\alpha \delta -\beta \gamma )dp=\delta dp'-\beta dq',\qquad (\alpha \delta -\beta \gamma )dq=-\gamma dp'-\alpha dq',$

nous trouvons

$\mathrm {E} \delta ^{2}-2\mathrm {F} \gamma \delta +\mathrm {G} \gamma ^{2}$	$={\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}.\mathrm {E} ',$
$\mathrm {E} \beta \delta -\mathrm {F} (\alpha \delta +\beta \gamma )+\mathrm {G} \alpha \gamma$	$={\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}.\mathrm {F} ',$
$\mathrm {E} \beta ^{2}-2\mathrm {F} \alpha \beta +\mathrm {G} \alpha ^{2}$	$={\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}.\mathrm {G} '.$