Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXI

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XXI.


Rendons aux lettres les significations générales que nous leur avions données plus haut, et supposons, en outre, que la nature de la surface courbe est déterminée d’une manière semblable par deux autres variables dans laquelle l’élément linéaire s’exprime par

Ainsi, à un point quelconque de la surface défini par des valeurs déterminées des variables répondront des yaleurs déterminées des variables celles-ci seront donc fonctions de et nous supposerons qu’on obtient, par leur différentiation,

Proposons-nous de chercher la signification géométrique de ces coefficients

On peut ainsi concevoir maintenant sur la surface courbe quatre systèmes de lignes pour lesquelles sont respectivement constantes. Si par le point déterminé auquel répondent les valeurs des variables, nous supposons qu’on mène quatre lignes appartenant à chacun de ces systèmes, aux variations positives répondront les éléments

Nous désignerons les angles que les directions de ces éléments font avec une direction fixe arbitraire, par en comptant dans le sens où est placée la seconde par rapport à la première, de façon que soit une quantité positive : nous supposerons (ce qui est permis) que la quatrième est placée dans le même sens par rapport à la troisième, de façon que soit aussi une quantité positive. Cela compris ainsi, si nous considérons un autre point, infiniment peu distant du premier, auquel correspondent les valeurs des variables, avec un peu d’attention nous reconnaîtrons qu’on a en général, c’est-à-dire indépendamment des valeurs des variations


puisque chacune de ces expressions n’est autre chose que la distance du nouveau point à la ligne à partir de laquelle commencent les angles des directions. Mais nous avons, par la notation déjà introduite plus haut, et, par analogie, nous poserons et, de plus, L’équation que nous venons de trouver peut ainsi se mettre sous la forme suivante :


ou sous celle-ci :

Et comme l’équation doit évidemment être indépendante de la direction initiale, on peut prendre celle-ci à volonté. En posant ainsi dans la seconde forme ou dans la première nous obtenons les équations suivantes :


comme ces équations doivent être identiques avec celles-ci,


elles donneront la détermination suivante des coefficients


On doit leur adjoindre les équations

Par suite, les quatre equations peuvent aussi être présentées ainsi :



Comme, par les substitutions le trinôme


doit se changer en on obtient facilement


et comme, vice versâ, le second trinôme doit se changer de nouveau dans le premier par la substitution


nous trouvons