Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXIV

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XXIV.


Les équations de l’art. XXII donnent, dans le cas dont nous nous occupons,


À l’aide de ces équations, dont la cinquième et la sixième sont déjà comprises dans les autres, on pourra développer les séries pour ou pour des fonctions quelconques de ces quantités ; nous allons traiter ici celles qui sont les plus dignes d’attention.

Comme, pour des valeurs infiniment petites de on doit avoir la série pour commencera par les termes nous obtiendrons les termes d’un ordre plus élevé par la méthode des coefficients indéterminés [1], à l’aide de l’équation


savoir :

[1]

Nous avons ensuite, au moyen de la formule
[2]


et, par la formule

[3]


L’une et l’autre formule font connaître l’angle Ensuite, quant au calcul de l’angle les séries pour se développent très-élégamment au moyen des équations aux différentielles partielles,

dont la combinaison donne


On tire de là facilement, pour calculer des séries dont les premiers termes doivent être évidemment et , savoir :

[4]
[5]

En combinant les équations [2], [3], [4], [5], on peut obtenir une série pour calculer divisant cette série par la série [1] qui donne on aura et, par conséquent, aussi développé en série. On peut cependant obtenir cette même série plus élégamment de la manière suivante. En différentiant la première et la seconde des équations qui sont rapportées au commencement de cet article, nous obtenons


combinant cette équation avec celle-ci,


il vient


De cette équation, à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés, nous tirerons facilement la série suivante pour si nous faisons attention que son premier terme doit être le rayon étant pris pour unité, et désignant la circonférence du cercle,

[6]

Il nous paraît utile de développer aussi en série l’aire du triangle . Nous nous servirons, pour ce développement, de l’équation de condition suivante, qui dérive facilement de considérations géométriques assez naturelles, et dans laquelle désigne l’aire cherchée,


l’intégration commençant à De là, en effet, nous obtenons, par la méthode des coefficients indéterminés,

[7]
  1. Nous avons jugé superflu d’écrire ici le calcul, qui peut être un peu abrégé par quelques artifices.