XXIII.
Nous considérerons le cas où toutes les lignes pour lesquelles
est constant sont des lignes de plus courte lance, coupant orthogonalement la ligne pour laquelle
et que nous pourrons regarder comme ligne des abscisses. Soient
le point pour lequel
un point quelconque sur la ligne des abscisses,
un point quelconque sur la ligne de plus courte distance normale à
en
, et
de façon qu’on puisse considérer
comme l’abscisse,
comme l’ordonnée du point
nous prenons les abscisses positives sur la branche de la ligne des abscisses à laquelle répond
tandis que nous regardons
toujours comme une quantité positive ; nous prenons les ordonnées positives dans la région où
est compris entre
et 180 degrés.
Par le théorème de l’art. XVI, nous aurons
et
nous poserons de plus
sera ainsi fonction de
et
et telle que pour
elle doit être égale à
L’application à notre cas de la formule rapportée dans l’art. XVIII montre que, dans une ligne quelconque de plus courte distance, on doit avoir
désignant l’angle compris entre l’élément de cette ligne et l’élément de la ligne pour laquelle
est constant. Comme déjà la ligne des abscisses est une
ligne de plus courte distance, et que, pour elle, partout
, on voit que, pour
on doit avoir partout
. De là donc nous concluons que, si
est développée
en série suivant les puissances croissantes de
elle
doit avoir la forme suivante :
![{\displaystyle n=\ 1\ +\ fq^{2}\ +\ gq^{2}\ +\ hq^{2}\ +\ {\text{etc.,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea959df7f18506f87805dae78998eea8452266e0)
où
seront fonctions de
et nous poserons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}f&=f^{0}&+f'p&+f''p^{2}&+{\text{ etc.,}}\\g&=g^{0}&+g'p&+g''p^{2}&+{\text{ etc.,}}\\h&=h^{0}&+h'p&+h''p^{2}&+{\text{ etc.,}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9465c25e406e4bd78c6b68984736832987201e80)
ou
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}n=1+f^{0}&+\ f'pq^{2}&+&\ f''p^{2}q^{2}&+&{\text{ etc.,}}\\&+\ g^{0}q^{3}&+&\ g'pq^{3}&+&{\text{ etc.,}}\\&&&\ h^{0}q^{4}&+&{\text{ etc.}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6915602476ec0529b61cb6cb9c925df0639ed9b)