Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXIII

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XXIII.


Nous considérerons le cas où toutes les lignes pour lesquelles est constant sont des lignes de plus courte lance, coupant orthogonalement la ligne pour laquelle et que nous pourrons regarder comme ligne des abscisses. Soient le point pour lequel un point quelconque sur la ligne des abscisses, un point quelconque sur la ligne de plus courte distance normale à en , et de façon qu’on puisse considérer comme l’abscisse, comme l’ordonnée du point nous prenons les abscisses positives sur la branche de la ligne des abscisses à laquelle répond tandis que nous regardons toujours comme une quantité positive ; nous prenons les ordonnées positives dans la région où est compris entre et 180 degrés.

Par le théorème de l’art. XVI, nous aurons et nous poserons de plus sera ainsi fonction de et et telle que pour elle doit être égale à L’application à notre cas de la formule rapportée dans l’art. XVIII montre que, dans une ligne quelconque de plus courte distance, on doit avoir désignant l’angle compris entre l’élément de cette ligne et l’élément de la ligne pour laquelle est constant. Comme déjà la ligne des abscisses est une ligne de plus courte distance, et que, pour elle, partout , on voit que, pour on doit avoir partout . De là donc nous concluons que, si est développée en série suivant les puissances croissantes de elle doit avoir la forme suivante :


seront fonctions de et nous poserons


ou