Théorie analytique de la chaleur/Chapitre 6

Joseph Fourier

Théorie analytique de la chaleur

Firmin Didot, 1822 (p. Ch. VI.-394).

CHAPITRE VI.

DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS UN CYLINDRE
SOLIDE.

306.

Le mouvement de la chaleur dans un cylindre solide d’une longueur infinie, est représenté par les équations

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {CD} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dv}{dx}}\right)\;\;\mathrm {et} \;\;{\frac {h}{\mathrm {K} }}\mathrm {V} +{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=0,$

que l’on a rapportées (pag. 112 et suivantes) dans les articles 118, 119 et 120. Pour intégrer ces équations, on donnera en premier lieu à $v$ une valeur particulière très-simple exprimée par l’équation $v=e^{-mt}u$ ; $m$ est un nombre quelconque, et $u$ une fonction de $x.$ On désigne par $k$ le coëfficient ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {CD} }}$ qui entre dans la première équation et par $h$ le coëfficient ${\frac {h}{\mathrm {K} }}$ qui entre dans la seconde. En substituant la valeur attribuée à $v,$ on trouve la condition suivante :

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0.$

On choisira donc pour $u$ une fonction de $x$ qui satisfasse à cette équation différentielle. Il est facile de voir que cette fonction peut être exprimée par la série suivante :

$u=1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {g^{4}x^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}\dots \mathrm {etc.} ,$

$g$ désignant la constante ${\tfrac {m}{k}}$. On examinera plus particulièrement par la suite l’équation différentielle dont cette série dérive ; on regarde ici la fonction $u$ comme étant connue, et l’on a $e^{-gkt}.u$ pour la valeur particulière de $v$.

L’état de la surface convexe du cylindre est assujéti à une condition exprimée par l’équation déterminée $h\mathrm {V} +{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=0$, qui doit être satisfaite lorsque le rayon $x$ a sa valeur totale $\mathrm {X}$ ; on en conclura l’équation déterminée

$h\left(1-{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)={\frac {2g\mathrm {X} }{2^{2}}}-{\frac {4g^{2}\mathrm {X} ^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6g^{3}\mathrm {X} ^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

ainsi le nombre $g$ qui entre dans la valeur particulière $^{-gkt}.u$ n’est point arbitraire. Il est nécessaire que ce nombre satisfasse à l’équation précédente, qui contient $g$ et $\mathrm {X}$. Nous prouverons que cette équation en $g$ dans laquelle $h$ et $\mathrm {X}$ sont des quantités données à une infinité de racines, et que toutes ces valeurs de $g$ sont réelles. Il s’ensuit que l’on peut donner à la variable $v$ une infinité de valeurs particulières de la forme $e^{-gkt}.u$, qui différeront seulement par l’exposant $g$. On pourra donc composer une valeur plus générale, en ajoutant toutes ces valeurs particulières multipliées par des coëfficients arbitraires. L’intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée est donnée par l’équalion suivante :

$v=a_{1}e^{-g_{1}kt}.u_{1}+a_{2}e^{-g_{2}kt}.u_{2}+a_{3}e^{-g_{3}kt}.u_{3}+\mathrm {etc.}$

$g_{1}\,g_{2}\,g_{3}\dots$ etc. désignent toutes les valeurs de $u$ qui satisfont à l’équation déterminée ; $u_{1}\,u_{2}\,u_{3}$ etc. désignent les valeurs de $u$ qui correspondent à ces différentes racines ; $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc., sont des coëfficients arbitraires qui ne peuvent être déterminés que par l’état initial du solide.

307.

Il faut maintenant examiner la nature de l’équation déterminée qui donne les valeurs de $g$, et prouver que toutes les racines de cette équation sont réelles, recherche qui exige un examen attentif.

Dans la série $1-{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$ qui exprime la valeur que reçoit $u$ lorsque $x=\mathrm {X}$, on remplacera ${\tfrac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}$ par la quantité $\theta$, et désignant par $f\theta$ ou $y$ cette fonction de $\theta$, on aura $y=f\theta =1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.}$ l’équation déterminée deviendra

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}={\frac {\theta -2{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+3{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-4{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.} }{1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.} }}\;\;\mathrm {ou} \;\;{\frac {h\mathrm {X} }{2}}+\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}=0.$

$f'\theta$ désignant la fonction ${\frac {d(f\theta )}{d\theta }}$.

Chacune des valeurs de $\theta$ fournira une valeur pour $g$, au moyen de l’équation ${\tfrac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}=\theta$ ; et l’on obtiendra ainsi les quantités $g_{1}\,g_{2}$ etc. qui entrent en nombre infini dans la solution cherchée.

La question est donc de démontrer que l’équation

${\frac {\mathrm {X} }{2}}+\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}=0$

doit avoir toutes ses racines réelles. Nous prouverons en effet que l’équation $f\theta =0$ a toutes ses racines réelles, qu’il en est de même par conséquent de l’équation $f'\theta =0$, et qu’il s’ensuit que l’équation $\mathrm {A} ={\tfrac {\theta .f'\theta }{f\theta }}$ a aussi toutes ses racines réelles, $\mathrm {A}$ représentant la quantité connue $-{\tfrac {h\mathrm {X} }{2}}$.

308.

L’équation $y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.}$ étant différentiée deux fois, donne la relation suivante :

$y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0.$

On écrira comme il suit cette équation, et toutes celles que l’on en déduit par la différentiation,

${\begin{aligned}y+{\frac {dy}{d\theta }}&+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0\\{\frac {dy}{d\theta }}+{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&+\theta {\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}=0\\{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+3{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}&+\theta {\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}=0,\\\mathrm {etc.} &\\\end{aligned}}$

et en général

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0$

Or si l’on écrit dans l’ordre suivant l’équation algébrique $\mathrm {X} =0$, et toutes celles qui en dérivent par la différentiation

$\mathrm {X} =0,\;\;{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\;\;{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\;\;{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\;\;{\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}=0\;\;\mathrm {etc} \;;$

et si l’on suppose que toute racine réelle d’une quelconque de ces équations étant substituée dans celle qui la précède , et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe contraire ; il est certain que la proposée $\mathrm {X} =0$ a toutes ses racines réelles, et que par conséquent il en est de même de toutes ses équations subordonnées

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\;\;{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\;\;{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\;\;\mathrm {etc.}$

ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algébriques, et ont été démontrées depuis long-temps. Il suffit donc de prouver que les équations

$y=0,\;\;{\frac {dy}{d\theta }}=0,\;\;{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0\;\;\mathrm {etc.}$

remplissent la condition précédente. Or cela suit de l’équation générale

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0\;;$

car si l’on donne à $\theta$ une valeur positive qui rende nulle la fluxion ${\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}$, les deux autres termes ${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}$ et ${\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}$ recevront des valeurs de signe opposé. À l’égard des valeurs négatives de $\theta$ il est visible, d’après la nature de la fonction $f\theta$, qu’aucune quantité négative mise à la place de $\theta$ ne pourrait rendre nulle, ni cette fonction, ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation ; car la substitution d’une quantité négative quelconque, donne à tous les termes le même signe. Donc on est assuré que l’équation $y=0$ a toutes ses racines réelles et positives.

309.

Il suit de là que l’équation $f'\theta =0$ ou $y'=0$ a aussi toutes ses racines réelles ; ce qui est une conséquence connue des principes de l’algèbre. Examinons maintenant quelles sont les valeurs successives que reçoit le terme $\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}$, ou $\theta .{\frac {y'}{y}}$ lorsqu’on donne à $\theta$ des valeurs continuellement croissantes, depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\tfrac {1}{0}}$. Si une valeur de $\theta$ rend $y'$ nulle, la quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ devient nulle aussi ; elle devient infinie lorsque $\theta$ rend $y$ nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s’agit, toute racine de $y'=0$ est placée entre deux racines consécutives de $y=0$, et réciproquement. Donc, en désignant par $\theta _{1}$ et $\theta _{3}$ deux racines consécutives de l’équation $y'=0$, et par $\theta _{2}$ la racine de l’équation $y=0$ qui est placée entre $\theta _{1}$ et $\theta _{3}$, toute valeur de $\theta$ comprise entre $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ donnera à $y$ un signe différent de celui qui recevrait cette fonction $y$, si $\theta$ avait une valeur comprise entre $\theta _{2}$ et $\theta _{3}$. Ainsi la quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ est nulle lorsque $\theta =\theta _{1}$ ; elle est infinie lorsque $\theta =\theta _{2}$, et nulle lorsque $\theta =\theta _{3}$. Il est donc nécessaire que cette quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ prenne toutes les valeurs possibles, depuis $\theta$ jusqu’à l’infini, dans l’intervalle de $\theta _{1}$ à $\theta _{2}$, et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé, depuis l’infini jusqu’à zéro, dans l’intervalle de $\theta _{2}$ à $\theta _{3}$. Donc l’équation $\mathrm {A} =\theta \cdot {\frac {y'}{y}}$ a nécessairement une racine réelle entre $\theta _{1}$ et $\theta _{3}$, et comme l’équation $y'=0$ a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s’en suit que l’équation $\mathrm {A} =\theta {\frac {y'}{y}}$ a la même propriété. On est parvenu à démontrer de cette manière que l’équation déterminée

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}={\frac {{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}-2{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+3{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-\mathrm {etc.} }{1-{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} }}$

dont l’inconnue est $g$ a toutes ses racines réelles et positives. Nous allons poursuivre cet examen de la fonction $u$ et de l’équation différentielle à laquelle elle satisfait.

310.

De l’équation $y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0$, on déduit l’équation générale ${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0$, et si l’on suppose $\theta =0$, on aura l’équation

${\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}=-{\frac {1}{i+1}}{\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}$

qui servira à déterminer les coëfficients des différents termes du développement de la fonction $f\theta$, car ces coëfficients dépendent des valeurs que reçoivent les rapports différentiels lorsqu’on y fait la variable nulle. En supposant le premier connu et égal à 1, on aura la série

$y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.} ,$

si maintenant dans l’équation proposée

$gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0.$

On fait $g{\frac {x^{2}}{2^{2}}}=\theta$ et que l’on cherche la nouvelle équation en $u$ et $\theta$ en regardant $u$ comme une fonction de $\theta$, on trouvera

$u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0,$

d’où l’on conclut

${\begin{aligned}u=1-\theta &+{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}3^{2}4^{2}}}+\mathrm {etc.} ,\\\mathrm {ou} \;\;u&=1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}4^{2}}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Il est facile d’exprimer la somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction $\cos .(\alpha \sin .x)$ en cosinus d’arcs multiples. On aura, par les transformations connues,

$2\cos .(\alpha \sin .x)=e^{{\frac {1}{2}}\alpha e^{x{\sqrt {-1}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\alpha e^{-x{\sqrt {-1}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}\alpha e^{x{\sqrt {-1}}}}e^{{\frac {1}{2}}\alpha e^{-x{\sqrt {-1}}}}$

et désignant $e^{x{\sqrt {-1}}}$ par $\omega$

$2\cos .(\alpha \sin .x)=e^{\frac {\alpha \omega }{2}}.e^{\frac {-\alpha \omega ^{-1}}{2}}+e^{\frac {-\alpha \omega }{2}}.e^{\frac {\alpha \omega ^{-1}}{2}}$

En développant le second membre selon les puissances de $\omega$, on trouvera que le terme qui ne contient point $\omega$ dans le développement de $\cos .(\alpha \sin .x)$ est

$2\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {\alpha ^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-\mathrm {etc.} \right)$

les coëfficients de $\omega ^{1},\,\omega ^{3},\,\omega ^{5},$ etc. sont nuls, il en est de même des coëfficients des termes qui contiennent $\omega ^{-1},\,\omega ^{-3},\,\omega ^{-5},$ etc. ; le coëfficient de $\omega ^{-2}$ est le même que celui de $\omega ^{2}$ ; le coëfficient de $\omega ^{4}$ est $2\left({\frac {\alpha ^{4}}{2.4.6.8}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4.6.8.10}}+\mathrm {etc.} \right)$ , le coëfficient de $\omega ^{-4}$ est le même que celui de $\omega ^{4}$ ; il est aise d’exprimer la loi suivant laquelle ces coëfficients se succèdent ; mais, sans s’y arrêter, on écrira $2\cos .2x$, au lieu de $\left(\omega ^{2}+\omega ^{-2}\right)$ ou $2\cos .4x$ lieu de $\left(\omega ^{4}+\omega ^{-4}\right)$, ainsi de suite : donc la quantité $2\cos .(\alpha \sin .x)$ peut être facilement développée en une série de la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos .2x+\mathrm {C} \cos .4x+\mathrm {D} \cos .6x+\mathrm {etc.}$

et le premier coëfficient $\mathrm {A}$ est égal à

$2\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)\;;$

si l’on compare maintenant l’équation générale que nous avons donnée précédemment

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x={\frac {1}{2}}\int \varphi x\,dx+\cos .x\int \varphi x\,\cos .x\,dx+\mathrm {etc.}$

à celle-ci, $2cos.(\alpha \sin .x)=\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos .2x+\mathrm {C} \cos .4x+\mathrm {etc.}$, on trouvera les valeurs des coëfficients $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, exprimées par des intégrales définies. Il suffit ici de trouver celle du premier coëfficient $\mathrm {A}$. On aura donc

${\frac {1}{2}}\mathrm {A} ={\frac {1}{\pi }}\int \left(\cos .(\alpha \sin .x)\,dx\right),$

l’intégrale devant être pris depuis $x=0$ jusque $x=\pi$. Donc la valeur de la série $1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}4^{2}6^{2}}}+\mathrm {etc.}$ est celle de l’intégrale définie $\textstyle \int \limits _{0}^{\pi }dx\,\cos .(\alpha \sin .x).$ On trouverait de la même manière par la comparaison des deux équations les valeurs des coëfficients suivants $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$ etc. ; on a indiqué ces résultats, parce qu’ils sont utiles dans d’autres recherches qui dépendent de la même théorie. Il suit de là que la valeur particulière de $u$ qui satisfait à l’équation

$g\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\;\;\mathrm {est} \;\;{\frac {1}{\pi }}\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)\,dr$

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\pi$. En désignant par $q$ cette valeur de $u$, et faisant $u=qs$, on trouvera $\mathrm {S} =a+b\int {\frac {dx}{xq^{2}}}$ et l’on aura pour l’intégrale complète de l’équation $g\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0,$

$u=\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \int {\frac {dx}{x\left(\int .\cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr\right)^{2}}}\right)\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes arbitraires. Si l’on suppose $\mathrm {B} =0$ on aura, comme précédemment, $u=\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr.$ Nous ajouterons les remarques suivantes relatives à cette dernière expression.

311.

L’équation

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

se vérifie d’elle-même. En effet, on a

$\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=\int du\left(1-{\frac {\theta ^{2}\sin .^{2}u}{2}}+{\frac {\theta ^{4}\sin .^{4}u}{2.3.4}}-{\frac {\theta ^{6}\sin .^{6}u}{2.3.4.5.6}}+\mathrm {etc.} \right)$

et intégrant depuis $u=0$ jusqu’à $u=\pi$, en désignant par $\mathrm {S} _{2}\,\mathrm {S} _{4}\,\mathrm {S} _{6}$ etc. les intégrales définies

$\int \sin .^{2}u\,du,\;\;\int \sin .^{4}u\,du,\;\;\int \sin .^{6}u\,du,\;\;\mathrm {etc.} ,$

on aura

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.\mathrm {S} _{2}+{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}.\mathrm {S} _{4}-{\frac {\theta ^{6}}{2.3.4.5.6}}.\mathrm {S} _{6}+\mathrm {etc.}$

il reste à déterminer $\mathrm {S} _{2}\,\mathrm {S} _{4}\,\mathrm {S} _{6}$ etc. Le terme $\sin .^{n}u$, $n$ étant un nombre pair, peut être développé ainsi :

$\sin .^{n}u=\mathrm {A} _{n}+\mathrm {B} _{n}\cos .2u+\mathrm {C} _{n}\cos .4u+\mathrm {etc.}$

en multipliant par $du$ et intégrant entre les limites $u=0$ et $u=\pi$, on aura seulement $\int (du\,\sin .^{n}u)=\mathrm {A} _{n}\pi$, les autres termes s’évanouissent. On a, d’après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,

$\mathrm {A} _{2}={\frac {1}{2^{2}}}\!\cdot \!{\frac {2}{1}},\;\mathrm {A} _{4}={\frac {1}{2^{4}}}\!\cdot \!{\frac {3.4}{1.2}},\;\mathrm {A} _{6}={\frac {1}{2^{6}}}\!\cdot \!{\frac {4.5.6}{1.2.3}},\;\mathrm {A} _{8}={\frac {1}{2^{8}}}\!\cdot \!{\frac {5.6.7.8}{1.2.3.4}}\;\mathrm {etc.}$

en substituant ces valeurs de $\mathrm {S} _{2}\,\mathrm {S} _{4}\,\mathrm {S} _{6}\,\mathrm {S} _{8}$ etc., on trouve

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

On peut rendre ce résultat plus général en prenant, au lieu de $\cos .(t\sin .u),$ une fonction quelconque $\varphi$ de $t\sin .u.$

Supposons donc que l’on ait une fonction $\varphi z$ qui soit ainsi développée $\varphi z=\varphi +z\varphi '+{\frac {z^{2}}{2}}\varphi ''+{\frac {z^{3}}{2.3}}\varphi '''+$ etc., on aura

${\begin{aligned}\varphi (t\sin .u)=\varphi +t\varphi '.\sin .u+{\frac {t^{2}}{2}}\varphi ''.\sin ^{2}u+{\frac {t^{3}}{2.3}}\varphi '''.\sin ^{3}u+\mathrm {etc.} \\\mathrm {et} \;{\frac {1}{\pi }}\int du\,\varphi (t\sin .u)=\varphi +t\varphi '\mathrm {S} _{1}+{\frac {t^{2}}{2}}\varphi ''.\mathrm {S} _{2}+{\frac {t^{3}}{2.3}}\varphi '''.\mathrm {S} _{3}+\mathrm {etc.} \;({\boldsymbol {e}})\\\end{aligned}}$

Or, il est facile de voir que $\mathrm {S} _{1}\,\mathrm {S} _{3}\,\mathrm {S} _{5}\,\mathrm {S} _{7}$ etc., ont des valeurs nulles. À l’égard de $\mathrm {S} _{2}\,\mathrm {S} _{4}\,\mathrm {S} _{6}\,\mathrm {S} _{8}\dots$ leurs valeurs sont les quantités que nous avons désignées précédemment par $\mathrm {A} _{2}\,\mathrm {A} _{4}\,\mathrm {A} _{6}\dots$ etc. C’est pourquoi, en substituant ces valeurs dans l’équation $(e),$ on aura généralement, et quelle que soit la fonction $\varphi$

${\frac {1}{\pi }}\int \varphi (t\sin .u)\,du=\varphi +{\frac {t^{2}}{2^{2}}}\varphi ''+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}\varphi ^{IV}+{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}\varphi ^{VI}+\mathrm {etc.} ,$

dans le cas dont il s’agit, la fonction $\varphi z$ représente $\cos .z,$ et l’on a $\varphi =1,$ $\varphi ''=-1,$ $\varphi ^{IV}=1,$ $\varphi ^{VI}=-1,$ ainsi de suite.

312.

Pour connaître entièrement la nature de la fonction $f\theta ,$ et celle de l’équation qui donne les valeurs de $g,$ il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation

$y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+\mathrm {etc.}$

et qui forme avec l’axe des abscisses des aires alternativement positives ou négatives qui se détruisent réciproquement ; on pourrait aussi rendre plus générales les remarques précédentes sur l’expression des valeurs des suites en intégrales définies. Lorsqu’une fonction d’une variable $x$ est développée selon les puissances de $x$, on en déduit facilement la fonction que représenterait la même série, si l’on remplaçait les puissances

$x\,x^{2}\,x^{3}\,x^{4}\,x^{5}\dots \,\mathrm {etc.} \;\;\mathrm {par} \;\;\cos .x,\,\cos .2x,\,\cos .3x,\,\cos .4x,\,\mathrm {etc.}$

en faisant usage de cette réduction, et du procédé indiqué par le paragrap. 2^e. de l’art. (235), on obtient les intégrales définies qui équivalent à des séries données : mais nous ne pourrions entrer dans cet examen, sans nous écarter beaucoup de notre objet principal. Il suffit d’avoir indiqué les moyens qui nous ont servi à exprimer les valeurs des suites en intégrales définies. Nous ajouterons seulement le développement de la quantité $\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}$ en une fraction continue.

313.

L’indéterminée $y$ ou $f\theta$ satisfait à l’équation

$y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0$

d’où l’on déduit, en désignant par $y',\,y'',\,y''',\,y^{IV}$ etc. les fonctions $\textstyle {\frac {dy}{d\theta }},\,{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}},\,{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}},\,{\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}$ etc.

${\begin{array}{lll}{\begin{aligned}-y&=y'+\theta y''\;\;{\boldsymbol {\mathrm {ou} }}\\-y'&=2y''+\theta y'''\\-y''&=3y'''+\theta y^{IV}\\-y'''&=4y^{IV}+\theta y^{V}\\&\mathrm {etc.} \\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\begin{aligned}\displaystyle {\frac {y'}{y}}&={\frac {-y'}{y'+\theta y''}}={\frac {-1}{1+\theta {\frac {y''}{y'}}}}\\\displaystyle {\frac {y''}{y'}}&={\frac {-y''}{2y''+\theta y'''}}={\frac {-1}{2+\theta {\frac {y'''}{y''}}}}\\\displaystyle {\frac {y'''}{y''}}&={\frac {-y'''}{3y''+\theta y^{IV}}}={\frac {-1}{3+\theta {\frac {y^{IV}}{y'''}}}}\\\displaystyle {\frac {y^{IV}}{y'''}}&={\frac {-y^{IV}}{4y^{IV}+\theta y^{V}}}={\frac {-1}{3+\theta {\frac {y^{V}}{y{IV}}}}}\\\end{aligned}}\!\!&\!\!\!\!{\begin{array}{l}{\boldsymbol {\mathrm {d'o{\grave {u}}} \;\mathrm {l'on} \;\mathrm {conclut} }}\\\\\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {-1}{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\displaystyle {\frac {\theta }{6-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}}}\end{array}}\end{array}}$

Ainsi la fonction $-{\frac {\theta f'\theta }{f\theta }}$ qui entre dans l’équation de’terminëe a pour valeur la fraction continuée à l’infini

${\frac {\theta }{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

314.

Nous allons maintenant rappeler les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu’ici.

Le rayon variable de la couche cylindrique étant désigné par $x$, et la température de cette couche étant $v$ qui est fonction de $x$ et du temps $t$, cette fonction cherchée $v$ doit satisfaire à l’équation aux différences partielles

${\frac {dv}{dt}}=k\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {dv}{dx}}\right),$

on peut prendre pour $v$ la valeur suivante

$v=e^{-mt}.u$ ;

$u$ est une fonction de $x$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{k}}\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {du}{dx}}=0.$

Si l’on fait $\theta ={\frac {m}{k}}\cdot {\frac {x^{2}}{2^{2}}}$ et que l’on considère $u$ comme une fonction de $\theta$, on aura $u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0$. La valeur suivante,

$u=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.}$

satisfait à l’équation en $u$ et $\theta$, on prendra donc pour valeur de $u$ en $x$ celle-ci,

$u=1-{\frac {m}{k}}\cdot {\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{k^{2}}}\cdot {\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{k^{3}}}\cdot {\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

la somme de cette série est

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .\left(x{\sqrt {\tfrac {m}{k}}}\sin .r\right)\,dr$ ;

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\pi$. Cette valeur de $u$ en $x$ et $m$ satisfait à l’équation différentielle, et observe une valeur finie lorsque $x$ est nulle. De plus, l’équation ${\frac {h}{k}}u+{\frac {du}{dx}}=0$ doit être satisfaite lorsque $x=\mathrm {X}$ rayon du cylindre. Cette condition n’aurait pas lieu, si l’on donnait à la quantité $m$ qui entre dans la fonction $u$ une valeur quelconque ; il faut que l’on ait l’équation

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}={\frac {\theta }{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

dans laquelle $\theta$ désigne ${\frac {m}{k}}{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}$. Cette équation déterminée qui equivaut à la suivante :

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}\left(1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)=\theta -{\frac {2\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {3\theta ^{3}}{2^{2}}}-{\frac {4\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.}$

donne pour $\theta$ une infinité de valeurs réelles que l’on désigne par $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$, etc., les valeurs correspondantes de $m$ sont ${\frac {2^{2}.k\theta _{1}}{\mathrm {X} ^{2}}}$, ${\frac {2^{2}k\theta _{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}$, ${\frac {2^{2}.k\theta _{3}}{\mathrm {X} ^{2}}}$, etc. ; ainsi la valeur particulière de $v$ est exprimée ainsi,

$\pi v=e^{\displaystyle {\frac {-2^{2}kt\theta _{1}}{\mathrm {X} ^{2}}}}\int \cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{1}}}\sin .q\right)\,dq.$

On peut mettre, au lieu de $\theta _{1}$, une des racines $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$, $\theta _{4}$, etc., et l’on en composera une valeur plus générale exprimée par l’équation

${\begin{aligned}\pi v&=a_{1}e^{\displaystyle {\frac {-2^{2}kt\theta _{1}}{\mathrm {X} ^{2}}}}\int \cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{1}}}\sin .q\right)\,dq\\&+a_{2}e^{\displaystyle {\frac {-2^{2}kt\theta _{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}}\int \cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{2}}}\sin .q\right)\,dq\\&+a_{3}e^{\displaystyle {\frac {-2^{2}kt\theta _{3}}{\mathrm {X} ^{2}}}}\int \cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{3}}}\sin .q\right)\,dq\\&+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

$a_{1}\dots a_{2}\dots a_{3}$ sont des coëfficients arbitraires : la variable $q$ disparaît après les intégrations qui doivent toutes avoir lieu depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi$.

315.

Pour démontrer que cette valeur de $v$ satisfait à toutes les conditions de la question et qu’elle en contient la solution générale, il ne reste plus qu’à déterminer les coëfficients $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, d’après l’état initial. On reprendra l’équation

$v=a_{1}e^{-m_{1}t}.u_{1}+a_{2}e^{-m_{2}t}.u_{2}+a_{3}e^{-m_{3}t}.u_{3}+\mathrm {etc.}$

dans laquelle $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ sont les différentes valeurs que prend la fonction $u$ ou

$1-{\frac {m}{k}}{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{k^{2}}}{\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{k^{3}}}{\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

lorsqu’on met successivement au lieu de ${\tfrac {m}{k}}$ les valeurs $g_{1}$, $g_{2}$, $g_{3}$, etc. En faisant $t=0$, on a l’équation

$\mathrm {V} =a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.} ,$

dans laquelle $\mathrm {V}$ est une fonction donnée de $x$. Soit $\varphi x$ cette fonction, et représentons la fonction $u_{i}$. dont l’indice est $i$, par $\psi (x{\sqrt {g_{i}}})$. On aura

$\varphi x=a_{1}\psi (x{\sqrt {g_{1}}})+a_{2}\psi (x{\sqrt {g_{2}}})+a_{3}\psi (x{\sqrt {g_{3}}})+\mathrm {etc.}$

Pour déterminer le premier coëfficient, on multipliera chacun des membres de l’équation par $\sigma _{1}\,dx$, $\sigma _{1}$ étant une fonction de $x$, et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$. On déterminera cette fonction $\sigma _{1}$ en sorte qu’après les intégrations le second membre se réduise au premier terme seulement, où se trouve le coëfficient $a_{1}$, toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coëfficient $a_{2}$, on multipliera pareillement les deux termes de l’équation $\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+$ etc. par un autre facteur $\sigma _{2}\,dx$, et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$. Le facteur $\sigma _{2}$ devra être tel que toutes les intégiales du second membre s’évanouissent, excepté une seule, savoir, celle qui est affectée du coëfficient $a_{2}$. En général, on emploie une suite de fonctions de $x$ désignées par $\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}$ etc. qui correspondent aux fonctions $u_{1}\,u_{2}\,u_{3}$ etc. ; chacun de ces facteurs $\sigma$ a la propriété de faire disparaître par l’intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies excepté un seul ; on obtient de cette manière la valeur de chacun des coëfficients $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc. Il faut donc chercher quelles sont les fonctions qui jouissent de la propriété dont il s’agit.

316.

Chacun des termes du second membre de l’équation est une intégrale définie de cette forme $\textstyle a\int \sigma .u\,dx$ ; $u$ est une fonction de $x$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\;;$

on aura donc $a\int \sigma .u\,dx=-a{\frac {k}{m}}\int \left({\frac {\sigma }{x}}{\frac {du}{dx}}+\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)$. En développant au moyen de l’intégration par parties les termes

$\int {\frac {\sigma }{x}}{\frac {du}{dx}}\cdot dx\;\;\mathrm {et} \;\int \sigma .{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\,dx,$

on a  $\int \left({\frac {\sigma }{x}}{\frac {du}{dx}}\cdot dx\right)=\mathrm {C} +u{\frac {\sigma }{x}}-\int u\,d\left({\frac {\sigma }{c}}\right)$

et  $\int \sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\cdot dx=\mathrm {D} +{\frac {du}{dx}}\sigma -u\cdot {\frac {d\sigma }{dx}}+\int u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}\,dx.$

Les intégrales devant être prises entre les limites $x=0$ et $x=\mathrm {X}$, on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le développement, et ne sont point sous le signe $\int$. Pour indiquer que l’on suppose $x=0$ dans une expression quelconque en $x$, on affectera cette expression de l’indice $\alpha$ ; et on lui donnera l’indice $\omega$ pour indiquer la valeur que prend la fonction de $x$, lorsqu’on donne à cette variable $x$ sa dernière valeur $\mathrm {X}$.

On aura donc, en supposant $x=0$ dans les deux équations précédentes

$0=\mathrm {C} +\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }\;\;\mathrm {et} \;\;0=\mathrm {D} +\left({\frac {du}{dx}}\cdot \sigma -u\cdot {\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }$

on détermine ainsi les constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$. Faisant ensuite $x=\mathrm {X}$ dans ces mêmes équations, et supposant que l’intégrale est prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$, on aura

${\begin{aligned}&\int \left({\frac {\sigma }{x}}\cdot {\frac {du}{dx}}\cdot dx\right)=\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }-\int u\,d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)\\\mathrm {et} &\int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}dx\right)=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }+\int \left(u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}{dx}\right)\\\end{aligned}}$

on obtient ainsi l’équation

${\begin{aligned}-{\frac {m}{k}}\int (\sigma .u\,dx)=\int \left\{u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-u\cdot {\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}dx&+\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }\\&-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.\\\end{aligned}}$

317.

Si la quantité ${\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}$ qui multiplie $u$ sous le signe d’intégration dans le second membre était égale au produit de $\sigma$ par un coëfficient constant, les termes

$\int u\cdot \left\{{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}\cdot dx\;\;\mathrm {et} \;\;\int \sigma .u\,dx$

pourraient être réunis en un seul, et l’on obtiendrait pour l’intégrale cherchée $\textstyle \int \sigma .u\,dx$ une valeur qui ne contiendrait que des quantités déterminées, et aucun signe d’intégration ; Il ne resterait plus qu’à égaler cette valeur à zéro.

Supposons donc que le facteur $\sigma$ satisfasse à l’équation différentielle du second ordre ${\frac {n}{k}}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0$ de même que la fonction $u$ satisfait à l’équation

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}{\frac {1}{x}}+{\frac {du}{dx}}=0,$

$m$ et $n$ étant des coëfficients constants, on aura

${\frac {n-m}{k}}\int \sigma u\,dx=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.$

Il existe entre $u$ et $\sigma$ une relation très-simple qui se découvre, lorsque dans l’équation ${\frac {n}{k}}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0$, on suppose $\sigma =x\,s$ ; on a, par le résultat de cette substitution, l’équation ${\frac {n}{k}}\,s+{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {ds}{dx}}=0$, ce qui fait voir que la fonction $s$ dépend de la fonction $u$ donnée par l’équation

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0.$

Il suffit pour trouver $s$ de changer $m$ en $n$ dans la valeur de $u$ ; on a désigné cette valeur de $u$ par $\textstyle \psi \left({\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)$ celle de $\sigma$ sera donc $\textstyle x\,\psi \left({\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)$.

On aura maintenant ${\frac {du}{dx}}\sigma +u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}=$

${\begin{aligned}x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\,\psi '&\left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)-x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\,\psi '\left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\\&-\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)+\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)\end{aligned}}$

les deux derniers termes se détruisant d’eux-mêmes, il s’ensuit qu’en fesant $x=0,$ ce qui correspond à l’indice $\alpha ,$ le second membre entier s’évanouit. On conclut de là l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\frac {n-m}{k}}\int \sigma \,u\,dx&=\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,\psi '\left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)\\&-\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\,\psi '\left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)\psi \left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\qquad \qquad ({\boldsymbol {f}})\\\end{aligned}}$

Il est aisé de voir que le second membre de cette équation est toujours nul lorsque les quantités $m$ et $n$ sont du nombre de celles que nous avons désignées précédemment par $m_{1}\,m_{2}\,m_{3}$ etc.

On a en effet

${\frac {h\mathrm {X} }{2k}}=-\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,{\frac {\psi '\left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)}{\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)}}\;\;\mathrm {et} \;\;{\frac {h\mathrm {X} }{2k}}=\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\,{\frac {\psi '\left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)}{\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)}},$

comparant les valeurs de $\textstyle {\frac {h\mathrm {X} }{2k}}$ on voit que le second membre de l’équation $(f)$ s’évanouit.

Il suit de là qu’après que l’on a multiplié par $\sigma \,dx$ les deux termes de l’équation

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\cdots a_{i}u_{i}+\mathrm {etc.} ,$

et intégré de part et d’autre depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ chacune des intégrales définies qui composent le second membre s’évanouit, il suffit de prendre pour $\sigma$ la quantité $xu$ ou $\textstyle x\psi (x{\sqrt {\frac {m}{k}}})$. Il faut excepter le seul cas où $n$ est égal à $m$, alors la valeur de $\textstyle \int \sigma \,u\,dx$ tirée de l’équation ($f$) se réduit à ${\tfrac {0}{0}}$, et on la détermine par les règles connues.

318.

Soit $\textstyle {\sqrt {\frac {m}{k}}}=\mu$ et $\textstyle {\sqrt {\frac {n}{k}}}=\nu$ on aura

$\int \left(x\,\psi (x\mu )\,\psi (x\nu )\,dx\right)={\frac {\mu \,\mathrm {X} \,\psi '(\mu \mathrm {X} )\,\psi (\nu \mathrm {X} )-\nu \,\mathrm {X} \,\psi '(\nu \mathrm {X} )\,\psi (\mu \mathrm {X} )}{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}$

le second membre étant différentié au numérateur et au dénominateur par rapport à $\nu$ donnera en faisant

$\mu =\nu \,,\;\;\;{\frac {\mu \,\mathrm {X} ^{2}\,\psi '^{2}-\mathrm {X} \,\psi \,\psi '-\mu \,\mathrm {X} ^{2}\,\psi \,\psi ''}{2\mu }}\cdot$

On a d’un autre côté l’équation

$\mu ^{2}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0,\quad \mathrm {ou} \quad \mu ^{2}\psi +{\frac {\mu }{x}}\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0,$

et celle-ci,

${\frac {hx}{2k}}\,\psi +\mu \,x\,\psi '=0\quad \mathrm {et} \;\mathrm {faisant} \quad \lambda ={\frac {hx}{2k}},\quad \lambda \,\psi +\mu \,\psi '=0\;;$

on pourra donc éliminer dans l’intégrale qu’il s’agit d’évaluer les quantités $\psi '$ et $\psi ''$, ce qui donnera

$\left(\mu ^{2}-{\frac {\lambda }{x}}\right)\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0\;;$

on trouvera ainsi pour la valeur de l’intégrale cherchée

$\mathrm {X} ^{2}\,\psi ^{2}\left({\frac {\mu ^{2}+\lambda ^{2}}{\mu ^{2}}}\right)\;\mathrm {et} \;{\frac {\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}}{2}}\left(1+{\frac {h^{2}}{2^{2}k\,m_{i}}}\right),$

en mettant pour $\mu$ et $\lambda$ leurs valeurs, et désignant par $\mathrm {U} _{i}$ la valeur que prend la fonction $u$ ou $\textstyle \psi \left(x{\sqrt {\frac {m_{i}}{k}}}\right)$ lorsqu’on suppose $x=\mathrm {X}$. L’indice $i$ désigne le rang de la racine $m$ de l’équation déterminée qui donne une infinité de valeurs de $m$. Si l’on substitue $m_{i}$ ou ${\frac {k}{2^{2}}}\mathrm {X} ^{2}\theta _{i}$ dans ${\frac {\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}}{2}}\left(1+{\frac {h^{2}}{2^{2}k\,m_{i}}}\right)$

on aura $\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}\left(1+\left({\frac {h\mathrm {X} }{2^{2}k{\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right)\cdot$

319.

Il résulte de l’analyse précédente que l’on a les deux équations

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,u_{j}\,u_{i}\,dx\right)=0\;\;\mathrm {et} \;\;\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,u_{i}^{2}\,dx\right)=\left(1+\left({\frac {h\mathrm {X} }{2^{2}k{\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right){\frac {\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}}{2}},$

la première a lieu toutes les fois que les nombres $i$ et $j$ sont différents, et la seconde lorsque ces nombres sont égaux.

Reprenant donc l’équation $\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.}$ dans laquelle il faut déterminer les coëfficients $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc. On trouvera un de ces coëfficients désigné par $a_{i}$, en multipliant les deux membres de l’équation par $x\,u_{i}\,dx$, et en intégrant depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$ ; le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l’on aura l’équation $2\int \left(x\,\varphi (x)\,u_{i}\,dx\right)=a_{i}\,\mathrm {X} ^{2}\,\mathrm {U} _{i}^{2}\left(1+\left({\frac {h\mathrm {X} }{2^{2}k{\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right)$, qui donne la valeur de $a_{i}$. Les coëfficients $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{i}$, étant ainsi déterminés, la condition exprimée par l’équation $\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.}$, qui se rapporte à l’état initial, sera remplie.

Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée ; elle est exprimée par l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\frac {v\mathrm {X} ^{2}}{2}}={\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{1}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{1}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{1}}}\right)}}u_{1}.&e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{1}}+{\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{2}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{2}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{2}}}\right)}}u_{2}.e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{2}}\\&+{\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{3}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{3}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{3}}}\right)}}u_{3}.e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

La fonction de $x$ qui est exprimée par $u$ dans l’équation précédente a pour expression

${\frac {1}{2}}\int \cos .\left({\frac {2x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{i}}}.\sin .q\right)dq\;;$

toutes les intégrales par rapport à $x$ doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$, et pour trouver la fonction $u$ on doit intégrer depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi$ ; $\varphi x$ est la valeur initiale de la température, prise dans l’intérieur du cylindre à la distance $x$ de l’axe, et cette fonction est arbitraire, les quantités $\theta _{1}\,\theta _{2}\,\theta _{3}\,\theta _{4}\cdots$ etc. sont les racines réelles et positives de l’équation

$\displaystyle {\frac {h\,\mathrm {X} }{2k}}={\frac {\theta }{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

320.

Si l’on suppose que le cylindre ait été plongé pendant un temps infini dans un liquide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction $\varphi x$ qui représente l’état initial sera remplacée par l’unité. Après cette substitution, l’équation générale représentera exactement les progrès successifs du refroidissement.

Si le temps écoulé $t$ est infini, le second membre de l’équation ne contiendra plus qu’un seul terme, savoir : celui où se trouve la moindre de toutes les racines $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$, etc. ; c’est pourquoi, en supposant que ces racines sont rangées selon leur grandeur, et que $\theta$ est la moindre de toutes, l’état final du solide sera exprimé par l’équation

${\frac {v\,\mathrm {X} ^{2}}{2}}={\frac {\displaystyle \int \left(x\,\varphi x.u_{1}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{1}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}.\mathrm {X} ^{2}}{4^{2}k^{2}\theta }}\right)}}u_{1}\,e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}k\,t}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta }.$

On déduirait de la solution générale des conséquences semblables à celles que présente le mouvement de la chaleur dans une masse sphérique. On reconnaît d’abord qu’il y a une infinité d’états particuliers, dans chacun desquels les rapports établis entre les températures initiales se conservent jusqu’à la fin du refroidissement. Lorsque l’état initial ne coïncide pas avec un des états simples, il est toujours composé de plusieurs d’entre eux, et les rapports des températures changent continuellement, à mesure que le temps augmente. En général le solide arrive bientôt à cet état, où les températures des différentes couches décroissent continuellement en conservant les mêmes rapports. Lorsque le rayon $\mathrm {X}$ est très-petit, on trouve que les températures décroissent proportionnellement à la fraction $e^{\displaystyle -2{\frac {h}{\mathrm {X} }}}$. Si au contraire ce rayon $\mathrm {X}$ a une valeur extrêmement grande, l’exposant de $e$ dans le terme qui représente le système final des températures contient le quarré du rayon total. On voit par-là comment la dimension du solide influe sur la vitesse finale du refroidissement. Si la température du cylindre dont le rayon est $\mathrm {X}$, passe de la valeur A à la valeur moindre B, dans un temps $\mathrm {T}$, la température d’un second cylindre de rayon égal à $\mathrm {X} '$ passera de A à B dans un temps différent $\mathrm {T} '$. Si les deux solides ont peu d’épaisseur, le rapport des temps $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ sera celui des diamètres. Si au contraire les diamètres des cylindres sont très-grands, le rapport des temps $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ sera celui du quarré des diamètres.