ADDITION
AU CHAPITRE II DE LA PREMIÈRE PARTIE, PAGE 33.
On peut démontrer de différentes manières la correspondance des fonctions dérivées avec les différentielles. Si l’on désigne par
la différence constante des valeurs successives
de la variable
les valeurs correspondantes de la variable
regardée comme fonction de
seront, par la formule précédente, en y faisant successivement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y&,\\y&+&y'dx&+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}\ \ &+&\ \ {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ \ {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&2y'dx&+&{\frac {4y''dx^{2}}{2}}\ &+&\ {\frac {8y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {16y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&3y'dx&+&{\frac {9y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {27y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {81y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&4y'dx&+&{\frac {16y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {64y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {256y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f9113ab22952c10e52731582d72dc222856e2c)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d8edcc7a8cb9300f2a4a8648ec9425424c62ce)
Si l’on prend, par des soustractions successives, les différences premières, secondes, troisièmes, etc., de ces valeurs, et qu’on les dénote par
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}dy\ &=&\ \ y'dx\ \ &+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}&+&\quad {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{2}y&=&{\frac {2y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {14y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {36y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {24y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\qquad \\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1049a212e537c87137023adf699d452e005031)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692d29176e30f00e20e78c95e408e10f0ad9f9b4)
Supposons que la différence
devienne infiniment petite.: les puissances
deviendront infiniment petites, chacune par rapport à celle qui précède, et les séries qui expriment les valeurs des différences
se trouveront composées de termes infiniment petits, chacun relativement au précédent, de sorte qu’en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux, d’un ordre inférieur, on aura simplement
![{\displaystyle dy=y'dx,\quad d^{2}y=y''dx^{2},\quad d^{3}y=y'''dx^{3},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778afec5ae4dd27e13dd3899e1a2aba398481874)
et par conséquent
![{\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad y'''={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1ebcccba2324e1a6bca5af1fa156fd072439dd)
On voit par là comment la supposition des infiniment petits peut servir à trouver les fonctions dérivées, et l’on peut en conclure que les expressions différentielles
au lieu d’exprimer ce qu’elles paraissent représenter, ne sont à la rigueur que des symboles qui dénotent des fonctions différentes de la fonction primitive
mais dérivées de celle-ci suivant certaines lois. [Voir, dans la nouvelle édition des Leçons sur le Calcul des fonctions, la Leçon XVIII, qui contient des remarques importantes sur le passage du fini à l’infiniment petit[1].]