Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 10

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 274-279).

CHAPITRE X.

Solution des questions dans lesquelles on propose une relation entre les éléments du contact du premier ordre des surfaces courbes. Construction de cette solution. Équation des surfaces développables.

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47. On peut proposer, sur les différents contacts des surfaces, des problèmes analogues à ceux qui nous ont occupés, relativement aux lignes courbes (Chap. III), et les résoudre par des principes semblables. Nous nous contenterons ici de considérer les contacts du premier ordre.

Suivant les formules du n^o 41, si l’équation

$\operatorname {F} (p,q,r)=0$

de la surface donnée contient trois constantes arbitraires $a,b,c$ pour que cette surface ait un contact du premier ordre avec une surface quelconque rapportée aux coordonnées $x,y,z,$ il faut déterminer $a,b,c$ en $x,y,z$ par les trois équations

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{'}}(x,y,z)=0,$

dont les deux dernières se réduisent à la forme

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}F'(z)=0.$

Donc, si la question est de trouver la surface pour laquelle les trois éléments du contact $a,b,c$ auront entre eux une relation déterminée, il faudra substituer, dans l’équation qui exprime cette relation, les valeurs de $a,b,c,$ et, si cette équation est entre les quantités $a,b,c$ et $x,y,z,$ on aura une équation du premier ordre en $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}},$

qu’on pourra traiter par la méthode générale du n^o 92 de la première Partie.

Mais, si l’équation dont il s’agit n’était qu’entre les trois quantités $a,b,c,$ la solution du problème serait beaucoup plus simple. En effet, il est clair qu’on peut alors supposer que les quantités $a,b,c$ soient constantes, et, dans ce cas, l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

sera l’équation primitive de l’équation du premier ordre donnée par les conditions du problème, en y substituant, pour une des trois constantes $a,b,c$ sa valeur tirée de l’équation donnée ; on aura ainsi une équation primitive qui ne sera que particulière ; mais, comme elle renferme deux constantes arbitraires, on pourra, par la méthode du n^o 83 de la première Partie, trouver l’équation primitive générale qui donnera la solution complète du problème.

On fera donc, suivant cette méthode, $b=\varphi (a),$ si $a$ et $b$ sont les deux constantes arbitraires, et l’on éliminera $a$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

et de son équation prime, prise relativement à la seule quantité $a,$ équation représentée par

$\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)\operatorname {F} '(b)=0,$

en dénotant par $\operatorname {F} '(a)$ et $\operatorname {F} '(b)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z)$ relativement aux variables isolées $a$ et $b.$

48. Pour voir comment le système de ces deux équations satisfait au problème, on observera d’abord que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

représente la courbe donnée avec laquelle la proposée doit avoir un, contact du premier ordre ; ainsi cette équation résout le problème, quelles que soient les constantes arbitraires $a$ et $b.$ Mais, comme le

contact demandé par le problème exige seulement que les valeurs de $z$ et de ses deux fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}$ soient les mêmes pour les deux courbes, il s’ensuit qu’il aura également lieu en supposant $a$ et $b$ variables, pourvu que ces fonctions primes soient encore les mêmes. Or, c’est précisément ce qui résulte du système des deux équations dont il s’agit, comme on peut s’en convaincre par le numéro cité.

Nous observerons ensuite que la surface représentée par le système de ces équations ne sera autre chose que la surface formée par l’intersection continuelle des surfaces représentées par la même équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

en y faisant varier le paramètre $a,$ de manière que cette surface touchera ou enveloppera à la fois toutes ces différentes surfaces particulières. En effet, si l’on représente, ce qui est permis, cette surface enveloppante par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

dans laquelle $a$ soit une quantité variable quelconque, et qu’on cherche à déterminer cette quantité de manière que la même surface touche successivement toutes les surfaces données, il faudra satisfaire à l’équation

$\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)\operatorname {F} '(b)=0$

pour que les valeurs de $z'$ et $z_{_{'}}$ soient les mêmes que celles des surfaces enveloppées. Ceci répond à ce qu’on a trouvé plus haut (n^o 19), relativement aux lignes courbes.

49. Puisque l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

renferme les trois arbitraires $a,b,c$ qui doivent être déterminées par la combinaison de cette équation avec ses deux équations primes prises relativement à $x$ et $y,$ en regardant $a,b,c$ comme constantes (n^o 47), si l’on regarde maintenant ces quantités comme des fonctions de $x$ et $y,$ il est clair qu’on aura aussi séparément les deux équations primes

de la même équation relativement à ces quantités. Ainsi, en désignant par $\operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c)$ les fonctions primes de la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement aux seules quantités $a,b,c$ considérées séparément, on aura encore ces deux équations primes :

${\begin{aligned}a'\,\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\,\operatorname {F} '(c)=&0,\\a_{_{'}}\operatorname {F} '(a)+b_{_{'}}\operatorname {F} '(b)+c_{_{'}}\operatorname {F} '(c)=&0.\end{aligned}}$

Soit

$c=f(a,b)$

l’équation qui exprime la relation donnée entre les quantités $a,b,c$ en prenant de même les deux équations primes, on aura

${\begin{aligned}c'=&a'f'(a)+b'f''(b),\\c_{_{'}}=&a_{_{'}}f'(a)+b_{_{'}}f'(b),\end{aligned}}$

$f'(a)$ et $f'(b)$ étant les deux fonctions primes de $f(a,b)$ prises relativement à $a$ et $b$ isolées. Substituant ces valeurs de $c'$ et $c_{_{'}}$ dans les deux équations précédentes, on aura

${\begin{aligned}a'\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(c)\right]&+b'\left[\operatorname {F} '(b)+f'(b)\operatorname {F} '(c)\right]=0,\\a_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(c)\right]&+b_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(b)+f'(b)\operatorname {F} '(c)\right]=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire cette équation

$a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0,$

où la fonction désignée par la caractéristique $f$ n’entre plus.

Si donc on substitue dans cette équation $a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0$ les valeurs de $a,b$ en $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}}$ on aura une équation du second ordre, dont l’équation primitive du premier ordre sera

$c=f(a,b),$

la fonction désignée par $f$ étant arbitraire ; et l’équation primitive de celle-ci entre $x,y,z$ sera le système de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

et de son équation prime, prise relativement à $a,$ après y avoir substi-

tué $f(a,b)$ pour $c$ et $\varphi (a)$ pour $b,$ la fonction $\varphi (a)$ étant la seconde fonction arbitraire. Ainsi on pourra, de cette manière, trouver l’équation primitive de toute équation du second ordre réductible à la forme

$a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0,$

les quantités $a,b$ étant déduites d’une équation quelconque

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b,c)=0$

entre les quantités $x,y,z,a,b,c$ et de ses deux équations primes prises dans l’hypothèse de $a,b,c$ constantes, ce qui fournit une méthode importante pour les progrès de l’analyse inverse des fonctions de deux variables.

50. Appliquons la théorie précédente aux plans tangents. Nous avons trouvé plus haut que les éléments $a,b,c$ du contact d’un plan représenté par l’équation

$r=a+bp+cq,$

sont exprimés ainsi :

$a=z-xz'-yz_{_{'}},\quad b=z',\quad c=z_{_{'}}.$

Donc, si l’on a une équation quelconque entre ces trois quantités, laquelle donne, par exemple,

$c=f(a,b),$

l’équation primitive de cette équation du premier ordre sera représentée par le système de ces deux équations,

$z=a+x\varphi (a)+yf\left[a,\varphi (a)\right],$

$1+x\varphi '(a)+yf'(a)=0,$

en dénotant par $\varphi '(a)$ et $f'(a)$ les fonctions primes de $\varphi (a)$ et de $f\left[a,\varphi (a)\right]$ relatives à $a.$ La quantité $a$ devra être éliminée pour avoir une équation en $x,y,z,$ et la fonction $\varphi (a)$ sera la fonction arbitraire.

Cette équation sera donc celle de la surface formée par l’intersection continuelle de tous les plans représentés par l’équation

$z=a+x\varphi (a)+yf\left[a,\varphi (a)\right],$

en faisant varier successivement le paramètre $a\,;$ ce sera, par conséquent, une surface développable, puisqu’on peut concevoir que le même plan tangent, supposé flexible et inextensible, s’applique et se plie sur la surface, sans duplicature ni solution de continuité, et, réciproquement, que la surface s’applique et se développe sur le même plan sans se briser ou se replier.

Puisque $a=z-xz'-yz_{_{'}}$ et $b=z',$ on aura

$a'=-xz''-yz'_{_{'}},\quad a_{_{'}}=-xz'_{_{'}}-yz_{_{''}},\quad b'=z'',\quad b_{_{'}}=z'_{_{'}}\,;$

donc l’équation (n^o 49)

$a'b_{_{'}}-a_{_{'}}b'=0$

deviendra

$\left(xz''+yz'_{_{'}}\right)z'_{_{'}}-\left(xz'_{_{'}}+yz_{_{''}}\right)z''=0,$

savoir

$z_{_{'}}^{'2}-z''z_{_{''}}=0.$

Ce sera l’équation générale des surfaces développables, dont, par conséquent, l’équation primitive sera le système de ces deux-ci,

$z=a+x\varphi (a)+yf(a)\quad {\text{et}}\quad 1+a\varphi '(a)+yf'(a)=0,$

$\varphi (a)$ et $f(a)$ dénotant deux fonctions arbitraires de $a.$ Voir le Tome X des Novi Commentarii de Pétersbourg et les Ouvrages déjà cités à la fin du Chapitre précédent.