CHAPITRE XIV.
De la mesure des solidités et des surfaces des corps de figure donnée.
77. Nous avons donné, dans le Chapitre VI, la manière d’exprimer par les fonctions les solidités et les surfaces des conoïdes formés par la révolution d’une courbe donnée autour d’un axe ; il nous reste à étendre cette analyse à tous les corps dont la surface est exprimée par une équation entre ses trois coordonnées.
Considérons d’abord un solide dont la surface soit exprimée par l’équation
![{\displaystyle z=f(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bf62cba83a193c1ceb254cf7b4ec8ef9df7dae)
son volume ou sa solidité sera exprimée en général par une fonction de
et
que nous dénoterons par
Désignons aussi par
la fonction de
qui exprime l’aire de la section de ce solide faite perpendiculairement à l’axe des
et correspondante à l’abscisse
donc, en regardant
comme un paramètre constant, et ne faisant varier que
on aura, par le no 27, l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9decff0108b93e55a11cc419395563ac315206)
Or la section, dont
est l’aire, est une courbe dont les abscisses sont
et les ordonnées perpendiculaires sont
et dont l’équation est
![{\displaystyle z=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1269bfd7a8dbf5a109363ce2a7992efdf8e406a9)
en regardant maintenant
comme un paramètre constant qui ne varie que d’une section à l’autre. Donc, en prenant
à la place de
et
à
la place de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
on aura (numéro cité)
![{\displaystyle f(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefe35727eb51c75d2191273b8bb0f2afd9b5369)
l’accent mis au bas de la caractéristique
dénotant la fonction dérivée par rapport à
comme nous l’avons pratiqué jusqu’à présent.
On a donc les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi _{_{'}}(x,y)=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7788ae797ee2a1ccb8a947a4f1a13bffbe7c97f)
d’où, éliminant la fonction marquée par
après avoir pris les fonctions dérivées par rapport à
de la première équation, on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2144de237acbf157fa30855b0f607a09f06c769)
Ainsi, pour avoir la fonction
qui exprime la valeur ou la solidité du corps dont la surface est exprimée par l’équation
![{\displaystyle z=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1269bfd7a8dbf5a109363ce2a7992efdf8e406a9)
il faudra prendre la double fonction primitive de
relativement à
et à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
78. On peut aussi parvenir directement à ce résultat par la considération suivante. Puisque
représente en général la partie du corps qui répond aux coordonnées
il est clair que
sera le segment compris entre les plans perpendiculaires à celui des
qui répondent aux abscisses
et
et qui sont terminés par la même ordonnée
Donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)+\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b228b744a7fc00439bf66f9dabcf17661eec2fa3)
sera l’excès du segment qui est terminé par l’ordonnée
sur celui qui est terminé par l’ordonnée
et il est visible que cette différence n’est autre chose qu’un prisme dont la base est le rectangle
dont les arêtes sont les ordonnées
de la surface qui répondent aux quatre angles de ce rectangle, c’est-à-dire les ordonnées
et dont la base supérieure
est la partie de la surface interceptée entre ces quatre ordonnées. Or il est facile de voir que la solidité de ce pri\sine curviligne est nécessairement comprise entre celles des deux pri\sines rectangulaires dont la base est la même
![{\displaystyle io}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9e93d8295af5b5c25ccda52e9dd0cb3e71d878)
et dont les hauteurs sont la plus petite et la plus grande des quatre ordonnées dont nous venons de parler. Donc il faudra que la fonction
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4407259c8eee65d37d94aeddd31a8969172ded5a)
soit telle que la valeur de la quantité
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dc8b77182b6c996d01ead45928fa1ab644a2ad)
soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur des quantités
![{\displaystyle iof(x,y),\quad iof(x+i,y),\quad iof(x,y+o),\quad iof(x+i,y+o),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61868934600f4ec536554fb0bdf0526125cf2d59)
quelque petites que soient les valeurs de
et de ![{\displaystyle o.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12cef662d99fbc4eab8ff36b52e64fe0bae446d)
Développons les fonctions marquées par
suivant les formules du no 78 de la première Partie. En poussant la précision jusqu’aux troisièmes dimensions de
et de
on aura la quantité
![{\displaystyle {\begin{aligned}io\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)&+{\frac {i^{2}o}{2}}\operatorname {F} ''_{_{'}}\ (x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {io^{2}}{2}}\operatorname {F} '_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y)\right]\\&+{\frac {o^{3}}{2.3}}\left[\operatorname {F} _{_{'''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} _{_{'''}}(x,y+\lambda o)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a889f2846901bfa47ccaa07880f19d3cf02bf598)
Développons de même les fonctions marquées par
mais en s’arrêtant aux premières dimensions de
et de
à cause qu’elles sont déjà multipliées par
on aura les quatre quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&iof(x,y),\\&iof(x,y)+i^{2}of'(x+\lambda i,y),\\&iof(x,y)+io^{2}f_{_{'}}(x,y+\lambda o),\\&iof(x,y)+i^{2}of'(x+\lambda i,y)+io^{2}f_{_{'}}(x,y+\lambda o),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47916bc6e35a67a6c1564aa4a3bfcc7e44352c78)
et il faudra que la première quantité soit renfermée entre la plus grande et la plus petite de ces quatre dernières, en prenant pour
et
des quantités aussi petites qu’on voudra. Le coefficient
peut être dif-
férent dans les différentes fonctions, mais il doit être renfermé entre les limites
![{\displaystyle o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1031f61947aa3d1cf3a70ec3e4904df2c3675d)
et
Or la différence de l’une à l’autre de celles-ci est, comme on voit, de l’ordre de
ou de
c’est-à-dire du troisième ordre, en regardant
et
comme très-petites du premier. Mais la différence entre la première quantité et l’une quelconque des quatre dernières est
![{\displaystyle io\left[\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)-f(x,y)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7cca0a40be7e94641a04a33a8cfae8faad31e8)
avec des termes du troisième ordre ; donc, pour que cette différence soit toujours plus petite que la différence précédente, qui n’est que du troisième ordre, il est nécessaire que le premier terme, qui est du second ordre, soit nul ; autrement, il serait possible de prendre les accroissements
et
assez petits pour que ce premier terme surpassât tous les termes du troisième ordre et que par conséquent la première quantité tombât hors des limites formées par les quatre autres quantités. Il faudra donc que l’on ait
![{\displaystyle io\left[\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)-f(x,y)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7164f4772dfbec29559d1c105df33e968d37636f)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c114d9e85fa209085f2d219ed019bfc3de7f17c)
comme nous l’avons trouvé plus haut.
79. Supposons maintenant que la fonction
représente la mesure de la surface. Dans ce cas, il est clair que la quantité
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dc8b77182b6c996d01ead45928fa1ab644a2ad)
représentera la portion de surface comprise entre les quatre faces du prisme droit qui a
pour base.
Imaginons qu’aux extrémités des quatre ordonnées qui forment les arêtes de ce pri\sine on mène quatre plans tangents à la surface dans ces points ; on pourra prouver, par un raisonnement analogue à celui du no 29 relatif aux tangentes, que la portion de surface qui forme la base supérieure du pri\sine sera comprise entre la plus grande et la plus petite section du pri\sine, faites par les quatre plans tangents de la surface courbe.
Soit
l’angle que le plan tangent à l’extrémité de l’ordonnée
fait avec l’axe des
on aura (no 39)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca82fb54cc788658793938fac4b4b72421a85a53)
Or on sait, par la Géométrie, que la mesure de la projection d’un plan est égale à celle de ce plan multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. Donc, puisque les sections du prisme dont il s’agit ont toutes pour projection le même rectangle
la mesure de la section faite par le plan qui touche la surface à l’extrémité de l’ordonnée
sera
mais on a
donc la mesure de cette section sera
![{\displaystyle io{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c5bc0c8fd8384fff3d9375910da207f40feb91)
savoir, en substituant
à ![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
![{\displaystyle io{\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96023ba50488d5d38d62ba0618460d9210d155a)
Faisons, pour abréger,
on aura
![{\displaystyle io\varphi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc596850018d1abc1587de7d904eb55d61d2826)
pour la mesure de la section dont il s’agit, et, mettant
à la place de
on aura celle des sections faites par les trois autres plans qui touchent la surface aux extrémités des ordonnées
et
Donc il faudra que la quantité
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dc8b77182b6c996d01ead45928fa1ab644a2ad)
soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite des quatre quantités
![{\displaystyle io\varphi (x,y),\quad io\varphi (x+i,y),\quad io\varphi (x,y+o),\quad io\varphi (x+i,y+o),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d93af0a85e6dd3ee9d46e7580dc58409fd717f)
et, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, on en conclura la condition
![{\displaystyle \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=\varphi (x,y)={\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77d62f3885f588f71bf6656a939340e8bc8fa82)
80. On voit par là que l’ordonnée
d’une surface est la double fonction prime prise par rapport à
et
de la fonction qui exprime le volume ou la solidité du corps, et que la quantité
est la double fonction prime de la fonction qui exprime la surface elle-même.
Ainsi, l’ordonnée
étant donnée en fonction de
et
il faudra prendre sa double fonction primitive pour avoir la solidité et la double fonction primitive de
pour avoir la surface. On est libre de commencer par la fonction primitive relative à
ou à
mais la première fonction primitive admettra pour constante une fonction de l’autre variable qu’on aura regardée comme constante, et il faudra déterminer cette fonction conformémentaux limites données de la surface. On déterminera ensuite, d’après ces limites, la première variable en fonction de la seconde, par rapport à laquelle on prendra de nouveau la fonction primitive.
81. Si, pour faciliter la recherche des doubles fonctions primitives ou pour d’autres vues, on voulait changer les variables
en d’autres variables
et
dont celles-là seraient des fonctions données, il faudrait, par les principes établis dans la première Partie (no 50), multiplier d’abord les fonctions regardées comme dérivées doubles par
mais ensuite on ne pourrait pas substituer immédiatement les valeurs de
en
et
parce qu’en prenant la fonction primitive par rapport à l’une des variables l’autre doit être regardée comme constante.
Soit
la fonction dont il s’agit d’avoir la double fonction primitive pour changer les variables
en d’autres variables
et
on la mettra d’abord sous la forme
Supposons qu’à la place de la variable
par rapport à laquelle on veut prendre d’abord la fonction primitive en regardant
comme constante, on substitue une fonction donnée de
et de
étant une nouvelle variable qui remplacera
Soit
on aura, en ne faisant varier que
![{\displaystyle x'=\varphi '(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9211810a8d77d4bfb6d7b8dbc34c471b348592be)
et la fonction proposée deviendra
![{\displaystyle y'\varphi '(t)f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84557f1af14cf428d55fee0543c9269553ee4454)
dont il faudra prendre la fonction primitive par rapport à
étant regardée comme constante, et ensuite par rapport à
étant regardée comme constante. Or on peut aussi substituer à la place de
une autre variable
et supposer, puisque
est à son égard constante,
![{\displaystyle y=\psi (t,u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d415d3579c090e059a2d4b87a926ac4496e068eb)
ce qui donnera, en ne faisant varier que ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle y'=\psi '(u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f61d1cfe051e8aa2bfd2701a9853436aefdeee1)
Ainsi la fonction proposée deviendra
![{\displaystyle \varphi '(t)\psi '(u)f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df8cac7454b5e49d1c4e181949d9db6688af709)
laquelle ne renferme plus que
et
à cause de
![{\displaystyle x=\varphi (t,y)\quad y=\psi (t,u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dd42df8a2cccba9eb3b1e7c5a7d252358c2c88)
et dont on pourra prendre la double fonction primitive par rapport à
et à ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Puisque
et
on aura, après la substitution de
égale à une simple fonction de
et
que nous dénoterons par
de manière que les transformations de
et
en
et
seront représentées par
![{\displaystyle x=\chi (t,u),\quad y=\psi (t,u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863c3c94f3f1d60e86dcf682337f8b2d7dfe03e2)
Or l’équation identique
![{\displaystyle \varphi (t,y)=\chi (t,u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add29079501090b3d503da196b82f108c2a496ca)
donne, en faisant varier séparément
et ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '(t,y)+\varphi '(y)\psi '(t)=&\chi '(t),\\\varphi '(y)\psi '(u)=&\chi '(u)\,:\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e908b8ec162553877eea0c338de9379dde97dd)
éliminant
on aura
![{\displaystyle \varphi '(t,y)=\chi '(t)-{\frac {\psi '(t)\chi '(u)}{\psi '(u)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c352f11e1701639375d05bc783852d833158153c)
et cette valeur, étant substituée dans la dernière transformée de la fonction proposée, donnera
![{\displaystyle \left[\chi '(t)\psi '(u)-\chi '(u)\psi '(t)\right]f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e5d4bd66f56d49464e4be0f2953c3b2084b622)
qu’on peut mettre sous cette forme plus simple,
![{\displaystyle (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d916b85f561364bb626215f3374de3c147a9e0)
dans laquelle
et
peuvent être des fonctions quelconques de
et
et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées par rapport à
et les inférieurs indiquent les dérivées par rapport à ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
82. Ainsi, en regardant
comme une fonction de
et
donnée par la nature de la surface du corps, et supposant qu’on substitue à la place de
des fonctions quelconques de
et
la solidité ou le volume du corps et sa surface seront représentés par les doubles fonctions primitives relatives à
et
des formules
![{\displaystyle (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')z\quad {\text{et}}\quad (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'){\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fa22eb1bbda8e7ac40831a7d6e5281f380e1a4)
où il faut remarquer que les fonctions dérivées de
doivent être prises par rapport à
et
mais, si l’on substitue tout de suite dans
pour
et
leurs valeurs en
et
il est clair que
deviendra une simple fonction de
et
et voici comment on pourra exprimer les dérivées de
par rapport à
et
par ses dérivées par rapport à
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfermerons les premières entre des parenthèses. Ainsi
et
désigneront les dérivées de
prises par rapport à
et
et
désigneront simplement les dérivées de
prises par rapport à
et
après la substitution des valeurs de
en
et
dans l’expression de
En regardant donc
comme fonction de
et
comme fonctions de
et prenant les dérivées séparément par rapport à
et à
on aura, par les principes établis dans la première Partie,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&(z')x'+(z_{_{'}})y',\\z_{_{'}}=&(z')x_{_{'}}+(z_{_{'}})y_{_{'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742dab00eba6a60e75cebc6027bfd012b8bd5980)
d’où l’on tire
![{\displaystyle (z')={\frac {z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}},\quad (z_{_{'}})=-{\frac {z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a4c51764dd0e3abc05550e5fc38068b1da7da6)
ce sont les valeurs qu’il faudra substituer dans le radical
![{\displaystyle {\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ab69f75fa5352ccff46153fbec21bd3bbc9fb4)
et, la substitution faite, on aura la formule
![{\displaystyle {\sqrt {\left(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'\right)^{2}+\left(z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'\right)^{2}+\left(z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5907df14fabe24bc1686ab9f5d6f48fb7e7bac6d)
dont la double fonction primitive, prise par rapport à
et à
donnera la surface du corps, les variables
étant maintenant regardées comme de simples fonctions de
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
83. Ces expressions pour le volume et pour la surface d’un corps quelconque, dont les coordonnées
sont supposées fonctions de
et
étant traduites en langage différentiel, deviennent
![{\displaystyle dtdu\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90ed634e5625118204405f559dce6aeba24c78c)
et
![{\displaystyle dtdu{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c225f2bb572350e3b8516436d4a21e0bcdee090)
et représentent les éléments infiniment petits du volume et de la surface, qu’il faut intégrer et compléter d’abord par rapport à l’une des deux variables
et ensuite par rapport à l’autre.
84. Pour donner une application de ces formules, nous supposerons que le corps, dont on cherche la solidité et la surface, soit un ellipsoïde quelconque dont les trois demi-axes soient
l’équation de sa surface entre les trois coordonnées rectangles
parallèles aux demi-axes
sera représentée ainsi,
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e827840d891557041e332ae4a1e951827616b911)
d’où l’on aura
en fonction de
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Mais on évitera l’irrationnalité de
en prenant deux angles indéterminés
et
et en faisant
![{\displaystyle x=a\sin t\cos u,\quad y=b\sin t\sin u,\quad z=c\cos t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7e290fd1919be615a4ea5769288b5de5b8e469)
et, pour avoir le volume et la surface de tout l’ellipsoïde, il suffira, après les substitutions, de prendre les fonctions primitives séparément par rapport à
et
depuis
jusqu’à
égal à deux angles droits et depuis
jusqu’à
égal à quatre angles droits car cette transformation des coordonnées de l’ellipsoïde, que M. Ivory paraît avoir employée le premier pour faciliter le calcul de l’attraction de ce solide (Transactions philosophiques de 1809, vol. XI), a l’avantage de rendre indépendantes les fonctions primitives relatives à
et
lorsque la double fonction primitive doit s’étendre à la surface entière.
En prenant les fonctions dérivées des
par rapport à
et à
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x'=&\quad \ a\cos t\cos u,\qquad &y'=&b\cos t\sin u,\qquad &z'=&-c\sin t,\\x_{_{'}}=&-a\sin t\sin u,&y_{_{'}}=&b\sin t\cos u,&z_{_{'}}=&0\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8eab2ef12327d8ba22f0a5f01eb5b224cb9acdf)
et de là on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'=&\quad \ ab\sin t\cos t,\\z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'=&\quad \ ac\sin ^{2}t\sin u,\\z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'=&-bc\sin ^{2}t\cos u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6ea17f4cfc6beef7054bea445d0364cca1ae2c)
de sorte que les formules pour le volume et pour la surface de l’ellipsoïde deviendront
![{\displaystyle abc\sin t\cos ^{2}t,\quad \sin t{\sqrt {a^{2}b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\left(a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u\right)\sin ^{2}t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b6528b3f623ac91cda151f3da9d19bc27e5b33)
dont il faudra prendre les fonctions primitives depuis
jusqu’à
et de puis
jusqu’à
étant la demi-périphérie.
85. Considérons d’abord la formule
![{\displaystyle abc\sin t\cos ^{2}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91066d4aa9e5f19338a512d942229d3d86ca6f6f)
pour le volume. En substituant
à la place de
et ensuite
au lieu de
elle devient
![{\displaystyle {\frac {abc}{4}}(\sin t+\sin 3t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4433a3016371cc2e94f85763f67da9f1e4d36e28)
dont la fonction primitive, prise de manière qu’elle commence où
est
![{\displaystyle {\frac {abc}{4}}\left(1-\cos t+{\frac {1-\cos 3t}{3}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb315f839dd7b5e7b8cca2568b90c479e49c41e3)
Faisant
ce qui donne
et
elle se réduit abc à ![{\displaystyle {\frac {2abc}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a2a98cf7611d040ac3a997aa14115b45ad83e0)
Il faut prendre encore la fonction primitive de celle-ci par rapport à
depuis
jusqu’à
et comme la variable
dont la fonction prime est
ne s’y trouve pas, il n’y aura qu’à multiplier simplement par
ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {4abc}{3}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e72c153f487e7e0c44d376d235293b4a422dbe)
pour la solidité ou le volume du sphéroïde entier dont
sont les trois demi-axes.
86. Venons à la formule relative à la surface et supposons d’abord, pour la simplifier,
ce qui donne un sphéroïde de révolution autour de l’axe
elle deviendra
![{\displaystyle a\sin t{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\sin ^{2}t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769ac42dd1ec1d7f685f518ef7489dae6eb0fe31)
où l’on voit que l’angle
a disparu ; je conserve la lettre
sous le signe, pour plus de généralité.
Faisons
on aura
d’ailleurson a
on aura ainsi la transformée
![{\displaystyle -as'{\sqrt {c^{2}+\left(b^{2}-c^{2}\right)s^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4d4ab4e64731b31f4d8f5cc28cfa1e97380835)
dont il faudra prendre la fonction primitive depuis
jusqu’à ![{\displaystyle s=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6714570aafbac7680d6289616859031c5f5beb7)
Soit
![{\displaystyle b^{2}-c^{2}=e^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756016a79df6862b72c568962f0e8d8930447474)
on aura la fonction primitive par rapport à
![{\displaystyle -{\frac {as}{2}}{\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} \left({\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}-es\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb09894860b74b7cc34784c26905c4cfd00a0717)
et, faisant
elle deviense réduit à
![{\displaystyle -{\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b-e)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8882c02ed2ece97d163e3d36505584f7cfe09311)
et, faisant
elle devient
![{\displaystyle {\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b+e).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a15410cd8d5b05acf955d7046e27abd6cc574a)
Donc la fonction primitive complète, relativement à
ou à
sera
![{\displaystyle ab+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2295d379f4061f7d87db16d79d7a207b0a7898)
Il faut de nouveau en prendre la fonction primitive relative à
et comme la variable
ne s’y trouve pas, on se contentera de la multiplier par
et, faisant maintenant
on aura, pour la surface entière du sphéroïde formé par la révolution d’une ellipse dont les demi-axes sont
et
autour du petit axe
la formule
![{\displaystyle 2\pi a^{2}+{\frac {\pi ac^{2}}{e}}\operatorname {l} {\frac {a+e}{a-e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fb5e65e2cd61645bc5f1d8912d3c4837c85152)
où
est l’excentricité ![{\displaystyle ={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0239cec4406195ae3217ba5c165363deefc811a4)
Pour que la valeur de
soit réelle, il faut que
et, par conséquent, que le sphéroïde soit aplati et formé par la révolution de l’ellipse autour de son petit axe
Si l’on voulait avoir la surface d’un sphéroïde allongé formé par la révolution d’une ellipse autour de son grand axe, il faudrait prendre
pour son grand axe : alors la valeur de
deviendrait imaginaire. Soit pour ce cas,
on aura
![{\displaystyle e=\mathrm {E} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7006b4e958dfe7ee937869aee02b557496192f)
et, passant des logarithmes imaginaires aux arcs réels par les formules
du
no 22 (I
re Partie), on aura, pour la surface cherchée, la formule
![{\displaystyle 2\pi a^{2}+{\frac {2\pi ac^{2}}{\mathrm {E} }}\operatorname {angle} \left(\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {E} }{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a2e7e0c4c95877675a698479dd71c5a6d38350)
87. Si l’on n’avait pas fait
et qu’on eût supposé, en général,
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}={\frac {a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u}{a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ebaecf44562a319670467fbff18ac75b4eccf4)
on eût eu, pour la fonction primitive relative à
la formule
![{\displaystyle ab+{\frac {ac^{2}\mathrm {V} ^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c94958b30bf6faefb322c5a63e596e67f1dfe4)
où
![{\displaystyle e^{2}=b^{2}-c^{2}\mathrm {V} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef367328fbca249741ca61a5c76b0abae46078e3)
et il aurait été impossible, dans l’état actuel de l’Analyse, de trouver la fonction primitive de celle-ci relative à
Mais on peut toujours avoir cette fonction par approximation lorsque la différence des demi-axes
et
est assez petite.
Soit
cette quantité étant positive ou négative, la quantité
deviendra
et il n’y aura qu’à mettre, dans la formule précédente,
à la place de
ensuite développer par rapport à
Donc, si l’on suppose
![{\displaystyle {\frac {ac^{2}}{2{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}\operatorname {l} {\frac {b+{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}{b-{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}=f(c^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73335f07dfe7240258ba67e0c6eac166ccb17f0a)
on aura, en développant par les fonctions dérivées relatives à
la série
![{\displaystyle ab+f\left(c^{2}\right)+f'\left(c^{2}\right)c^{2}icos^{2}u+{\frac {1}{2}}f''\left(c^{2}\right)c^{4}i^{2}cos^{4}u+{\frac {1}{2.3}}f'''\left(c^{2}\right)c^{6}i^{3}cos^{6}u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef2797f2c4a051494efb736837c7be7128f6087)
dont il faudra prendre les fonctions primitives relatives à
depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u=2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a88384f4defeae83758f30e77ff1252c3d49c4)
Désignons par
les fonctions primitives de
prises entre ces limites ; on aura, pour la surface de l’ellipsoïde dont
sont les trois demi-axes, l’expression
![{\displaystyle 2\pi \left[ab+f\left(c^{2}\right)+\alpha c^{2}if'\left(c^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\beta c^{4}i^{2}f''\left(c^{2}\right)+{\frac {1}{2.3}}\gamma c^{6}i^{3}f'''\left(c^{2}\right)+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d667074fe04b6f1ef635e859c4ea7f9e1f796d87)
série qui sera d’autant plus convergente que la quantité
sera plus petite.
À l’égard des coefficients
il est facile de les déterminer en résolvant les puissances de
en cosinus d’angles multiples de
par le moyen de l’expression exponentielle imaginaire de
(no 22, Ire Partie), et, comme les cosinus ont pour fonctions primitives les sinus correspondants, lesquels deviennent nuls aux deux extrémités où
et
il s’ensuit qu’il ne restera que les termes indépendants de
multipliés par
où il est facile de voir que ces termes ne sont que les coefficients du terme moyen du binôme, élevé à la deuxième, à la quatrième, à la sixième, etc. puissance, divisé par la même puissance de
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle \alpha ={\frac {2}{4}},\quad \beta ={\frac {4.3}{4.8}},\quad \gamma ={\frac {6.5.4}{4.8.12}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d28e1fb2be75b5132956a3c42bc33193341360a)