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Théorie des tourbillons

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Pages
Introduction 
 1


CHAPITRE PREMIER

Théorème de Helmholtz


Équations de l’hydrodynamique 
 3
Équation de continuité 
 7
Simplification des équations de Lagrange 
 9
Théorème de Helmholtz 
 11
Démonstration du théorème 
 11
Théorème de Stokes 
 13
Notations de Helmholtz. — Définition du tourbillon 
 15
Lignes de courant 
 17
Lignes de tourbillon 
 18
Surfaces de tourbillon 
 18
Tubes de tourbillon 
 20
Moment d’un tube de tourbillon 
 21
Application. — Tubes de tourbillon infiniment déliés 
 22
Théorèmes relatifs aux liquides seuls 
 23
Autres démonstrations du théorème de Helmholtz 
 25
Démonstration de Kirchhoff 
 26


CHAPITRE II

Conséquences du théorème de Helmholtz


Cas des mouvements permanents 
 30
Équation générale de ces surfaces 
 31
Théorème de Bernouilli 
 34
Détermination des vitesses en fonction des tourbillons 
 34
Volumes à connexion simple et volumes à connexion multiple 
 34
Coupures 
 37


CHAPITRE III

Détermination des composantes de la vitesse en fonction des composantes du tourbillon. — Cas particulier des liquides.


Liquide occupant un espace indéfini 
 41
Liquide remplissant complètement un vase immobile 
 42
1o Vase simplement connexe 
 42
2o Vase doublement connexe 
 43
3o Vase triplement connexe 
 44
Le tourbillon n'est pas nul 
 45
Analogie des équations hydrodynamiques de Helmholtz et des équations électrodynamiques de Maxwell 
 48
Cas où il existe un seul tube de tourbillons 
 50
Cas d'un tube tourbillonnaire rectiligne et indéfini 
 53
Démonstration directe 
 55
Contour infiniment petit. — Forme de la fonction φ 
 59
Liquide remplissant complètement un vase simplement connexe 
 61
Cas particulier 
 63
1o Comparaison électrodynamique 
 67
2o Comparaison analytique 
 67
3o Comparaison électrostatique 
 69
Cas particulier de deux tubes tourbillonnaires 
 70


CHAPITRE IV

Mouvement des tubes tourbillonnaires


Théorème de la conservation du centre de gravité 
 72
Mouvement du centre de gravité d'un tube tourbillonnaire 
 74
Intégration des équations 
 77
Théorème des forces vives 
 78


CHAPITRE V

Cas de deux tubes tourbillonnaires.
Méthode des images


Liquide renfermé dans un vase cylindrique 
 87
Méthode des images 
 88
Liquide renfermé entre deux cylindres de révolution concentriques 
 89
Liquide compris entre deux plans rectangulaires 
 93


CHAPITRE VI

Méthode de la représentation conforme


Définition de la représentation conforme 
 96
Problème de Helmholtz (Application au) 
 99
Application à l'hydrodynamique 
 103
Vitesse du point G 
 109
Comparaison électrostatique 
 110
Trajectoire du point G 
 111
La trajectoire est une courbe fermée 
 117


CHAPITRE VII

Mouvements des tubes tourbillonnaires
Théorèmes généraux. — Tubes de révolution


Tubes tourbillonnaires de révolution 
 120
Expression de la force vive du liquide 
 123


Actions mutuelles des éléments de courants qui remplacent les tubes tourbillonnaires 
 125
Démonstration directe de l'équation ∑Xdτ=0 
 127
Autre expression de la force vive T 
 129
Liquide enfermé dans un vase 
 130
Les tubes tourbillonnaires sont des cylindres parallèles à Oz 
 133
Démonstration directe de la relation ∫Ddτ=T/2 
 136
Les tubes tourbillonnaires sont de révolution autour de Oz 
 138
Grandeur de la vitesse 
 141
Ordre de grandeur du potentiel vecteur 
 146
Ordre de grandeur de la force vive 
 147
Vitesse du mouvement 
 148
Ordre de la grandeur de la vitesse. — Démonstration directe 
 130


CHAPITRE VIII

Condition de stabilité du mouvement permanent


Mouvement permanent 
 155
Stabilité du mouvement 
 156
Cas particulier 
 157
Déformations particulières 
 162
Tubes tourbillonnaires concentriques 
 165
Conditions de stabilité 
 166
Explication d'un fait expérimental 
 173


CHAPITRE IX

Fluides présentant une surface libre


Cas particuliers simples 
 179
Forme de la surface libre 
 181
Distribution de la pression dans un gaz 
 185
Cas de plusieurs liquides superposés. — Forme des surfaces de séparation 
 187


CHAPITRE X

Influence de la viscosité des fluides


Hypothèses. — Notations 
 188
Considérations nécessaires pour que le théorème de Helmholtz soit encore applicable 
 192
Cas particuliers où les lignes de tourbillons se conservent 
 194
Théorèmes généraux (Extension des) 
 196
Application à un cas simple 
 190
Théorème de Helmholtz dans le mouvement relatif 
 202