Théorie mathématique de la lumière/1/Chap.05

Henri Poincaré

Théorie mathématique de la lumière

Georges Carré, 1889 (1, p. 176-216).

CHAPITRE V

POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION

121. Pour trouver les équations

(1)

${\begin{aligned}-\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\sum {\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\\[1.5ex]-\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\sum {\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\eta '_{x}}}\\[1.5ex]-\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\sum {\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\zeta '_{x}}}\\\end{aligned}}$

du mouvement d’une molécule dans un milieu élastique (32), nous avons admis (14) que les quantités $\mathrm {D} x,$ $\mathrm {D} y,$ $\mathrm {D} z$ étant de l’ordre du rayon d’activité moléculaire, nous pouvions, dans les expressions de $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta ,$ négliger les termes contenant $\mathrm {D} x^{2},$ $\mathrm {D} y^{2},$ $\mathrm {D} z^{2}.$ Il en résultait que $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta$ étaient des fonctions linéaires des neufs dérivées partielles de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ par rapport aux variables $x,$ $y,$ $z,$ et que $\mathrm {W} _{2}$ était une fonction homogène et du second ordre par rapport à ces neuf dérivées.

Nous avons ensuite (41) cherché ce que devenaient les équations (1) dans le cas des milieux isotropes, et nous avons vu (42) que le mouvement des molécules dans un tel milieu se propageait avec une vitesse constante

$\mathrm {V} ={\sqrt {-{\frac {2\mu }{\rho }}}}$

Or l’expérience démontre que quand la lumière traverse un milieu isotrope autre que l’éther dans le vide, sa vitesse dépend de sa longueur d’onde $\lambda \,;$ nous sommes donc conduits à penser que l’hypothèse du § 14, qui n’est justifiée par aucune considération théorique, doit être rejetée quand nous considérons la propagation de la lumière dans un milieu pondérable. Si nous abandonnons cette hypothèse les quantités $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta ,$ contiendront les dérivées des divers ordres de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par rapport à $x,\,y,\,z,$ et, par conséquent, la fonction $\mathrm {W} _{2}$ qui est homogène et du second degré (13) en $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta ,$ sera homogène et du second degré par rapport aux dérivées partielles des divers ordres de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta .$ Nous allons montrer que les équations du mouvement d’une molécule, en prenant pour $\mathrm {W} _{2}$ une telle fonction, expliquent le phénomène de la dispersion et celui de la polarisation rotatoire.
Fig. 18.

122. En désignant par $\mathrm {U}$ la fonction des forces relative aux forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur les molécules d’un volume $\mathrm {R}$ limité par une surface $\mathrm {S}$ (fig. 18), nous avons trouvé (27), par l’application du principe de d’Alembert et du principe des vitesses virtuelles, l’équation

(2)

$\delta \mathrm {U} -\int \rho \,d\tau \left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}\,\delta \eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\,\delta \zeta \right)=0.$

qui doit être satisfaite quels que soient $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta .$

La partie de la fonction $\mathrm {U}$ qui correspond aux forces intérieures est

$\int \delta \mathrm {W} \,d\tau ,$

et celle qui est relative aux forces extérieures qui s’exercent sur la surface de séparation $\mathrm {S}$ est

$\int \left(\mathrm {P} _{x}\delta \xi +\mathrm {P} _{y}\delta \eta +\mathrm {P} _{z}\delta \zeta \right)d\omega ,$

$\mathrm {P} _{x},\,\mathrm {P} _{y},\,\mathrm {P} _{z}$ désignant les composantes suivant les trois axes de la pression qui s’exerce sur l’élément de surface $d\omega .$ En remplaçant $\delta \mathrm {U}$ par la somme de ces deux quantités l’équation (2) devient

${\begin{aligned}\int \left(\mathrm {P} _{x}\delta \xi +\mathrm {P} _{y}\delta \eta +\mathrm {P} _{z}\delta \zeta \right)\,&d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau \\-\int \rho \,d\tau &\left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\delta \xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}\delta \eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\delta \zeta \right)=0.\\\end{aligned}}$

Comme cette équation doit être satisfaite quels que soient $\delta \xi ,$ $\delta \eta ,$ $\delta \zeta$ nous pouvons, en particulier, supposer $\delta \eta =\delta \zeta =0,$ et nous avons l’égalité

(3)

$\int \mathrm {P} _{x}\,\delta \xi \,d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau -\int {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi \,d\tau =0,$

qui devra avoir lieu quel que soit $\delta \xi .$

123. Il s’agit de transformer le second terme de cette égalité. La fonction $\mathrm {W}$ est, en général, une fonction des dérivées partielles des divers ordres de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta .$ Dans un déplacement virtuel quelconque donné au système chacune de ces dérivées varie, mais dans le cas où l’on a, comme nous l’avons supposé, $\delta \eta =\delta \zeta =0,$ il n’y a que les dérivées partielles de $\xi$ qui changent de valeur. Par conséquent, l’accroissement $\delta \mathrm {W}$ de la fonction $\mathrm {W}$ ne dépendra que des accroissements des diverses dérivées partielles de $\xi .$ Dans le but de simplifier les calculs, nous admettrons que les seules dérivées partielles de $\xi$ qui entrent dans $\mathrm {W}$ sont ${\frac {d\xi }{dx}}$ et ${\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}},$ dérivées que nous pourrons représenter sans ambiguïté par $\xi '$ et $\xi ''.$ Nous avons alors,

$\delta \mathrm {W} ={\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\delta \xi '+{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\delta \xi '',$

et, par suite

$\int \delta \mathrm {W} \,d\tau =\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,\delta \xi '\,d\tau +\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi ''\,d\tau .$

On sait, et nous avons rappelé cette propriété au § 30, que l’on a

(4)

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,\delta \xi '\,d\tau =\int \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,\delta \xi \,d\omega -\int \delta \xi \,{\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,d\tau ,$

et

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi ''\,d\tau =\int \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi '\,d\omega -\int \delta \xi '\,{\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,d\tau .$

Cette dernière égalité devient, en faisant subir à la seconde intégrale du second membre une transformation analogue,

(5)

${\begin{aligned}\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi ''\,d\tau &=\int \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi '\,d\omega \\-\int \alpha \,\delta \xi &{\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}d\omega +\int \delta \xi {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,d\tau .\\\end{aligned}}$

En additionnant les seconds membres des égalités (4) et (5) et en remplaçant dans (3) la seconde intégrale par cette somme, nous obtenons une égalité contenant des intégrales étendues à la surface $\mathrm {S}$ et des intégrales étendues au volume $\mathrm {R.}$ En représentant la somme des intégrales doubles par $\mathrm {I} ,$ l’équation (3) devient

$\mathrm {I} -\int \left({\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}+\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\right)\,\delta \xi \,d\tau =0,$

et, comme elle doit être satisfaite, quel que soit $\delta \xi ,$ l’élément différentiel placé sous le signe d’intégration étendu au volume doit être nul. Nous aurons donc

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\cdot$

Cette équation devient, en désignant par $\mathrm {W} _{1}$ le terme du premier degré et par $\mathrm {W} _{2}$ le terme du second degré dans le développement de $\mathrm {W}$ par rapport aux puissances croissantes de $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta ,$

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi ''}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''}}\cdot$

Mais $\mathrm {D} \xi ,\,\mathrm {D} \eta ,\,\mathrm {D} \zeta$ étant du premier degré (14) par rapport aux dérivées partielles de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ il en sera de même de $\mathrm {W} _{1}\,;$ les dérivées de cette fonction par rapport à $\xi '$ et $\xi ''$ seront des constantes et l’équation précédente se réduit à

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''}}\cdot$

C’est la première des équations du mouvement d’une molécule : les deux autres s’obtiendraient de la même manière.

Quant à la somme d’intégrales que nous avons désignée par $\mathrm {I} ,$ elle nous donnerait la valeur des pressions qui s’exercent sur la surface $\mathrm {S.}$ Nous ne chercherons pas ces pressions.

124. Équations du mouvement. — Nous sommes donc conduits à la règle suivante.

Les équations du mouvement s’écriront

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {P} ,\qquad \rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mathrm {Q} ,\qquad \rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {R} .$

$\mathrm {P,\,Q,\,R}$ étant des polynômes linéaires par rapport aux dérivées des divers ordres de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ et formés comme il suit :

Pour former $\mathrm {P} ,$ on différentiera $\mathrm {W} _{2}$ par rapport à chacune des dérivées partielles de $\xi$ qui y entrent. On différentiera la dérivée de $\mathrm {W} _{2}$ ainsi obtenue : par rapport à $x,$ $y$ et $z,$ de la même manière que l’a été la dérivée partielle de $\xi$ qui y entre. Par exemple on différentiera :

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\,$ une fois par rapport à $x,$

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xx}}}\,$ deux fois par rapport à $x,$

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xy}}}\,$ une fois par rapport à $x$ et une fois par rapport à $y,$ etc.

On ajoutera ensuite toutes les dérivées ainsi obtenues après avoir affecté du signe $+$ les dérivées d’ordre pair et du signe $-$ les dérivées d’ordre impair. On aura donc :

${\begin{aligned}\mathrm {P} =-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{y}}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{z}}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xx}}}&+\ldots \\+{\frac {d^{2}}{dx\,dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xy}}}+\ldots -{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '''_{xxx}}}&-\ldots \\\end{aligned}}$

On formerait le polynôme $\mathrm {Q}$ de la même manière en différentiant $\mathrm {W} _{2}$ par rapport aux dérivées partielles de $\eta .$

Dans quelques cas particuliers, l’expression du polynôme $\mathrm {P}$ se simplifie. Ainsi, si le milieu élastique est isotrope, les dérivées d’ordre impair n’entrent pas dans $\mathrm {P.}$ En effet, dans un tel milieu, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on change à la fois les signes de $x,$ $y,$ $z,$ $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta .$ Or, quand on fait ce changement, ${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}$ change de signe ; par conséquent, les différents termes de $\mathrm {P}$ doivent aussi changer de signe. Cela a lieu pour toutes les dérivées d’ordre pair des $\xi$ par rapport à $x,$ $y,$ $z,$ mais les dérivées d’ordre impair comme ${\frac {d^{3}\xi }{dx^{3}}},$ ${\frac {d^{3}\xi }{dx^{2}dy}},$ conservent la même valeur puisque leurs numérateurs et leurs dénominateurs changent de signe en même temps. Ces dérivées ne pourront donc entrer dans l’expression du polynôme $\mathrm {P}$ relatif à un isotrope.

Quand le milieu élastique a un centre de symétrie, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on change les signes de $x,$ $y,$ $z,$ $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta .$ Dans ce cas encore, le polynôme $\mathrm {P}$ ne devra contenir que des dérivées d’ordre pair.

125. Polarisation rotatoire du quartz. — Le quartz cristallisant sous une forme hémiédrique du système rhomboédrique, les cristaux de quartz ne possèdent pas de centre de symétrie.

Si nous admettons que la distribution de l’éther lumineux dans un corps pondérable est identique à celle des molécules matérielles qui constituent le corps, l’éther contenu dans le quartz sera un milieu élastique dépourvu de centre de symétrie.

Par conséquent, le polynôme $\mathrm {P}$ qui entre dans les équations du mouvement des molécules d’éther propageant la lumière dans le quartz, pourra contenir des dérivées partielles de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ d’ordre impair. Nous allons montrer, en nous plaçant dans des conditions particulières pour éviter des calculs trop longs, que la présence des dérivées du troisième ordre suffit pour rendre compte des phénomènes de polarisation rotatoire que présente le quartz.

Considérons une onde dont le plan est perpendiculaire à l’axe du cristal. En prenant pour plan des $xy$ un plan parallèle au plan de l’onde, les déplacements $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ des molécules d’éther ne dépendront que de $z$ et du temps $t,$ et, par suite, les dérivées partielles des divers ordres de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par rapport à $x$ et à $y$ seront nulles. De plus, comme les vibrations sont transversales, la condition de transversalité, $\Theta =0,$ exige que l’on ait identiquement $\zeta '_{z}=0.$ Par conséquent, $\mathrm {W} _{2}$ sera une fonction homogène et du second degré des dérivées partielles du premier ordre $\xi '_{z},\,\eta '_{z}$ et des dérivées partielles d’ordres supérieurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ par rapport à $z.$ Désignons par $\mathrm {W} _{2}^{1}$ l’ensemble des termes de $\mathrm {W} _{2}$ qui sont homogènes par rapport aux dérivées partielles du premier ordre, et, pour simplifier^[1], supposons que les autres termes de $\mathrm {W} _{2}$ soient nuls à l’exception du suivant :

$a{\frac {d\eta }{dz}}{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

En appliquant la règle que nous avons donnée (124) pour la formation des seconds membres des équations du mouvement, nous obtenons pour ces équations :

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}^{1}}{d\xi '_{x}}}+a{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=-\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}^{1}}{d\eta '_{x}}}-a{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Les termes des seconds membres provenant de $\mathrm {W} _{2}^{1}$ seront des dérivées partielles du second ordre de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ multipliées par un coefficient constant. Admettons que dans la première équation ces termes se réduisent à ${\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}$ et que, dans la seconde, ils se réduisent à ${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\,;$ nous aurons alors pour les équations du mouvement :

(1)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+a{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}},$

(2)

$\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-a{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}\cdot$

Cherchons à satisfaire à ces équations en posant

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)}.\\[1.5ex]\end{aligned}}$

Les dérivées partielles de $\xi$ et $\eta$ qui entrent dans les équations du mouvement auront pour valeur

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {A} \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\mathrm {V} ^{2}e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {B} \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\mathrm {V} ^{2}e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=\mathrm {A} \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}&=\mathrm {B} \left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)}.\end{aligned}}$

En portant ces valeurs dans les équations (1) et (2) et en supprimant les facteurs communs aux deux membres, nous obtenons,

(3)

$\mathrm {A} (\rho \mathrm {V} ^{2}-1)=a\mathrm {B} {\frac {2i\pi }{\lambda }},$

(4)

$\mathrm {B} (\rho \mathrm {V} ^{2}-1)=-a\mathrm {A} {\frac {2i\pi }{\lambda }}\cdot$

En divisant ces équations membre à membre nous aurons

${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}=-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }};$

égalité que l’on peut mettre sous la forme

$\mathrm {A} ^{2}=-\mathrm {B} ^{2},$

d’où

$\mathrm {A} =\pm \mathrm {B} i.$

Nous pourrons donc satisfaire aux équations du mouvement en prenant pour $\xi$ et $\eta$ les parties réelles de

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\mathrm {B} ie^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta _{1}&=\mathrm {B} \,e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\\end{aligned}}$

ou de

${\begin{aligned}\xi _{2}&=-\mathrm {B} ie^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta _{2}&=\mathrm {B} \,e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)}.\\\end{aligned}}$

Le premier système de solutions nous donne pour les déplacements de la molécule dans le plan $z=0,$ des expressions de la forme

${\begin{aligned}\xi _{1}&=r\cos(\alpha t+\varphi ),\\[1.5ex]\eta _{1}&=r\sin(\alpha t+\varphi ).\\\end{aligned}}$

Le second système, nous donne pour les déplacements dans le même plan

${\begin{aligned}\xi _{2}&=-r\cos(\alpha t+\varphi ),\\[1.5ex]\eta _{2}&=r\sin(\alpha t+\varphi ).\\\end{aligned}}$

Pour obtenir la courbe décrite par la molécule dans le plan des $x,y,$ il nous suffit d’éliminer $t$ entre les valeurs de $\xi$ et $\eta .$ Nous aurons, en additionnant les carrés de $\xi _{1}$ et $\eta _{1}$ et les carrés de $\xi _{2}$ et $\eta _{2}$ les deux équations,

${\begin{aligned}\xi _{1}^{2}+\eta _{1}^{2}=r^{2},\\[1.5ex]\xi _{2}^{2}+\eta _{2}^{2}=r^{2}.\\[1.5ex]\end{aligned}}$

Ces équations montrent que dans les deux cas la trajectoire de la molécule sera un cercle ; mais, les valeurs de $\xi _{1}$ et de $\xi _{2}$ étant de signes contraires ces deux cercles seront parcourus en sens contraires. Par conséquent, une onde plane qui se propage dans un cristal de quartz peut être considérée comme se dédoublant en deux ondes planes polarisées circulairement l’une dans un sens, l’autre en sens contraire. Il nous suffit maintenant de montrer que la propagation de ces ondes se fait avec des vitesses différentes pour que la polarisation rotatoire du quartz soit expliquée.

Pour avoir ces vitesses faisons successivement dans l’une des formules (3) ou (4), $\mathrm {A} =\mathrm {B} i$ et $\mathrm {A} =-\mathrm {B} i\,:$ nous obtiendrons :

${\begin{aligned}\rho \mathrm {V} ^{2}-1&=-a{\frac {2\pi }{\lambda }},\\[1.5ex]\rho \mathrm {V} ^{2}-1&=a{\frac {2\pi }{\lambda }}\,;\\\end{aligned}}$

d’où nous tirons pour les carrés des vitesses $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ des deux ondes polarisées

(5)

$\mathrm {V} _{1}^{2}={\frac {1}{\rho }}-{\frac {a}{\rho }}{\frac {2\pi }{\lambda }},$

(6)

$\mathrm {V} _{2}^{2}={\frac {1}{\rho }}+{\frac {a}{\rho }}{\frac {2\pi }{\lambda }}\cdot$

Puisque $a$ n’est pas nul, nous avons pour $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ des valeurs différentes ; par conséquent, dans la propagation dans le quartz d’une onde plane polarisée, le plan de polarisation de cette onde doit tourner.

126. Des valeurs que nous venons de trouver pour les vitesses de propagation des ondes polarisés circulairement, il est facile de déduire la loi de Biot sur le pouvoir rotatoire du quartz, c’est-à-dire de montrer que ce pouvoir rotatoire varie en raison inverse du carré de la longueur d’onde.

En désignant par $e$ l’épaisseur de la lame de quartz traversée par les rayons lumineux, la différence de marche de ces rayons à la sortie de la lame sera

${\frac {e}{\mathrm {V} _{1}}}\mathrm {V} -{\frac {e}{\mathrm {V} _{2}}}\mathrm {V} ,$

$\mathrm {V}$ étant la vitesse de propagation dans le vide.

Or, on sait que la rotation du plan de polarisation est égale à 360° quand la différence de marche est égale à la longueur d’onde. Par conséquent, l’épaisseur d’une lame de quartz qui fait tourner de 360° le plan de polarisation est donnée par la formule

$\mathrm {V} \left({\frac {e}{\mathrm {V} _{1}}}-{\frac {e}{\mathrm {V} _{2}}}\right)=\lambda ,$

d’où

$e={\frac {\lambda }{\mathrm {V} }}{\frac {\mathrm {V_{1}V_{2}} }{\mathrm {V} _{2}-\mathrm {V} _{1}}}\cdot$

En retranchant l’une de l’autre les égalités (5) et (6), nous obtenons

$\mathrm {V} _{2}^{2}-\mathrm {V} _{1}^{2}={\frac {4\pi }{\lambda }}\,{\frac {a}{\rho }},$

d’où nous tirons

${\frac {1}{\mathrm {V} _{2}-\mathrm {V} _{1}}}={\frac {(\mathrm {V} _{1}+\mathrm {V} _{2})\lambda }{4\pi }}{\frac {\rho }{a}}\cdot$

L’expression de $e$ devient, en y portant cette valeur de ${\frac {1}{\mathrm {V} _{2}-\mathrm {V} _{1}}},$

$e={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {V} _{1}\mathrm {V} _{2}(\mathrm {V} _{1}+\mathrm {V} _{2})}{4\pi \mathrm {V} }}\,{\frac {\rho }{a}}\cdot$

Comme la valeur de $a$ est très petite, nous pouvons dans les valeurs de $\mathrm {V} _{1}^{2}$ et de $\mathrm {V} _{2}^{2}$ négliger le second terme devant le premier et on a $\mathrm {V} _{1}=\mathrm {V} _{2}={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\cdot$ En remplaçant $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ par cette valeur dans l’expression précédente, nous obtenons

$e={\frac {\lambda ^{2}}{2\pi a\mathrm {V} {\sqrt {\rho }}}}\cdot$

L’épaisseur capable de faire tourner le plan de polarisation de 360° est donc proportionnelle à $\lambda ^{2}\,;$ on en déduit immédiatement que la rotation produite par une lame dont l’épaisseur est égale à l’unité varie en raison inverse du carré de la longueur d’onde.

Des expériences très précises ont montré que cette loi n’est pas rigoureusement vérifiée ; ce résultat ne doit pas nous surprendre puisque les calculs que nous avons faits ne sont qu’approximatifs.

127. Polarisation rotatoire des cristaux et des dissolutions. — Il existe un certain nombre de substances cristallisées qui présentent, quoique à un degré moindre que le quartz, la propriété de faire tourner le plan de polarisation de la lumière. Comme jusqu’ici, tous les cristaux pour lesquels on a constaté cette propriété, sont des cristaux hémièdres, on peut leur appliquer l’explication que nous avons donnée du pouvoir rotatoire du quartz. Mais, on connaît un grand nombre de substances organiques dont les dissolutions jouissent du pouvoir rotatoire et, dans ce cas, l’explication du phénomène devient plus difficile, les liquides se comportant en général comme des corps isotropes. On n’a pas trouvé d’ailleurs, une explication satisfaisante et, nous sommes obligés d’admettre que ces substances organiques détruisent l’isotropie des liquides et que leurs dissolutions, qui ont une infinité d’axes de symétrie, n’ont cependant pas de centre de symétrie.

128. Explication de la dispersion. — Nous ne nous occuperons pour le moment que des corps isotropes ou des corps ayant un centre de symétrie. Dans ce dernier cas nous prendrons le centre de symétrie pour origine des coordonnées. Les seconds membres des équations du mouvement ne contiendront alors que des dérivées partielles d’ordre pair des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par rapport à $x,\,y,\,z.$

Considérons une onde plane se propageant dans un tel milieu et prenons pour plan des $xy$ un plan parallèle au plan de l’onde. Les déplacements $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ne dépendant que de $z$ et de $t,$ les seules dérivées partielles de ces quantités qui entreront dans les seconds membres des équations du mouvement seront les dérivées partielles d’ordre pair par rapport à $z.$ En admettant la transversalité des vibrations, la condition $\Theta =0$ nous donne pour la valeur de $\zeta _{2}'$ l’identité $\zeta _{2}'=0\,;$ par conséquent, les dérivées partielles de $\zeta$ sont identiquement nulles et les seconds membres des équations du mouvement ne peuvent contenir que les quantités

${\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}},\;{\frac {d^{4}\xi }{dz^{4}}},\;{\frac {d^{6}\xi }{dz^{6}}},\;\dots {\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}},\;{\frac {d^{4}\eta }{dz^{4}}},\;{\frac {d^{6}\eta }{dz^{6}}},\;\dots$

Prenons la première des équations,

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {P} .$

Cette équation ne doit pas changer par la substitution de $-y$ à $y$ et de $-\eta$ à $\eta$ dans le cas des corps isotropes ou dans le cas des corps possédant un centre de symétrie quand on prend ce point comme origine des axes. Or, le premier membre de l’équation ne changeant pas de signe par cette substitution, les dérivées partielles de $\eta \,;$ ${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}},$ ${\frac {d^{4}\eta }{dz^{4}}},$ $\dots$ dont le signe changerait, ne doivent pas entrer dans le polynôme $\mathrm {P} .$ Par conséquent le second membre de l’équation ne peut contenir que les dérivées de $\xi .$ En nous bornant aux dérivées d’ordre inférieur au huitième, cette équation devient

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=a\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+b\,{\frac {d^{4}\xi }{dz^{4}}}+c\,{\frac {d^{6}\xi }{dz^{6}}}\cdot$

Un raisonnement identique nous montrerait que la seconde équation du mouvement des molécules d’une onde plane se propageant dans un milieu isotrope ou un milieu à centre de symétrie se réduit à

$\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=a\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}+b\,{\frac {d^{4}\eta }{dz^{4}}}+c\,{\frac {d^{6}\eta }{dz^{6}}}\cdot$

Si nous cherchons à satisfaire à ces équations par des expressions de $\xi$ et $\eta$ de la forme suivante

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\\\end{aligned}}$

nous obtiendrons deux équations de condition contenant la vitesse $\mathrm {V}$ de propagation. Pour montrer que $\mathrm {V}$ dépend de la longueur d’onde $\lambda$ de la radiation, il nous suffit de prendre l’une de ces équations. En calculant les dérivées partielles de $\xi$ et en portant les valeurs trouvées dans la première des équations du mouvement, nous obtiendrons, après avoir divisé par le facteur commun aux deux membres

$\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},$

la relation suivante :

$\rho \mathrm {V} ^{2}=a+b\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}+c\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{4}$

ou

$\rho \mathrm {V} ^{2}=a-{\frac {4\pi ^{2}b}{\lambda ^{2}}}+{\frac {16\pi ^{4}c}{\lambda ^{4}}}\cdot$

L’indice de réfraction $n$ étant proportionnel à l’inverse de la vitesse, nous aurons une quantité proportionnelle à $n$ en prenant la puissance $-{\frac {1}{2}}$ du second membre de cette dernière relation. Par conséquent, nous pouvons écrire :

$n=\mathrm {A} _{0}+{\frac {\mathrm {B} _{0}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} _{0}}{\lambda ^{4}}}\cdot$

Cette formule, trouvée par Cauchy, nous montre que l’indice de réfraction varie avec la longueur d’onde et que, par conséquent, les diverses radiations d’une lumière hétérogène seront inégalement déviées. La comparaison des valeurs de $n$ calculée par cette formule avec les valeurs trouvées par l’expérience, a montré qu’il y a une concordance très satisfaisante pour toutes les radiations lumineuses. Les résultats de l’expérience sont déjà suffisamment bien représentés quand on ne prend que les deux premiers termes de la formule.

129. Théories diverses de la dispersion. — La théorie de la dispersion que nous venons d’exposer suppose que, lorsque la lumière traverse un milieu pondérable, les quantités de l’ordre du carré du rayon d’activité moléculaire ne sont pas négligeables. Puisque nous pouvions négliger ces quantités quand, dans les chapitres qui précèdent, nous ne nous occupions que de la propagation de la lumière dans le vide et que nous n’envisagions que l’action de l’éther sur lui-même, nous devons conclure que la matière agit sur les molécules d’éther, et que le rayon d’activité des molécules matérielles est incomparablement plus grand que celui des molécules d’éther. Cette action de la matière sur l’éther avait déjà été admise par Fresnel qui supposait que l’éther engagé dans les milieux pondérables avait une densité constante mais plus grande que dans le vide. Plus tard, Cauchy, dans le but d’expliquer la dispersion, admit implicitement que les molécules matérielles sont entraînées par les molécules d’éther et qu’elles vibrent avec la même amplitude. Bien que cette dernière hypothèse puisse paraître peu vraisemblable, il ne faut pas se hâter de la rejeter ; c’est ainsi qu’un corps flottant à la surface d’un liquide, participe, par entraînement, aux mouvements qui sont imprimés au liquide. En tout cas c’est cette hypothèse qui a conduit Cauchy à l’analyse du n^o 128 dont nous avons vu l’accord avec l’expérience.

Après Cauchy, Briot reprit l’étude de la dispersion. Dans une première théorie, il admit l’entraînement de la matière par l’éther, mais il supposa que les amplitudes des vibrations des molécules matérielles étaient incomparablement plus petites que les amplitudes des molécules d’éther. Il résultait de cette hypothèse, que dans les calculs on pouvait considérer les molécules matérielles comme fixes par rapport aux molécules d’éther. Dans ces conditions, les seconds membres des équations du mouvement d’une molécule d’éther contenaient, outre les dérivées secondes de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ ces quantités elles-mêmes. La vitesse de propagation du mouvement vibratoire dépendait alors de la longueur d’onde, et l’indice de réfraction était donné par une formule de la forme

$n=\mathrm {A} +\mathrm {B} \lambda ^{2}.$

Mais, cette formule se trouvant en contradiction avec les résultats de l’expérience, Briot fut conduit à rejeter cette théorie et en proposa une autre que nous allons exposer.

130. Théorie de Briot^[2]. — Dans cette théorie, Briot, considérant les milieux pondérables comme formés de molécules matérielles séparées les unes des autres, admet que la densité de l’éther engagé dans ce milieu est d’autant plus grande que la molécule d’éther est plus proche d’une molécule matérielle. Il en résulte que cette densité $\rho$ est une fonction des coordonnées de la molécule considérée.

Jusqu’ici, nous avons supposé constante la densité de l’éther et au § 33 nous avons montré que dans cette hypothèse et lorsqu’on néglige les quantités de l’ordre du carré du rayon d’activité moléculaire, le mouvement d’une molécule d’éther était donné par trois équations dont la première est

$-\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \,\Delta \xi +2\nu \,{\frac {d\Theta }{dx}}\cdot$

En admettant (46) que l’on a $\nu =-\mu$ cette équation se réduit à

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-2\mu \left(\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}\right)\cdot$

Le coefficient $-2\mu$ est positif, car la vitesse de propagation des vibrations transversales est réelle et on a vu que cette vitesse est donnée par la formule

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {-2\mu }{\rho }}\cdot$

Par conséquent, on pourra, par un choix convenable de l’unité de force, faire en sorte que l’on ait $-2\mu =+1.$ La première des équations du mouvement devient alors

(1)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}\cdot$

On sait qu’il est facile de trouver une solution de cette équation quand $\rho$ est une quantité constante, mais la complication du problème serait singulièrement augmentée si $\rho$ dépendait des coordonnées de la molécule vibrante. Pour concilier l’hypothèse fondamentale de la densité variable de l’éther avec les exigences du calcul, nous admettrons en outre que le rayon d’activité moléculaire de l’éther est très petit, et que, dans l’intérieur d’une sphère de rayon égal au rayon d’activité moléculaire, la densité peut être regardée comme constante. Il en résultera que dans cette sphère le mouvement d’une molécule est donné par trois équations analogues à l’équation (1). Nous allons chercher, sans nous attacher à suivre le mode d’exposition de Briot, comment ces hypothèses peuvent rendre compte de la dispersion dans les corps cristallisés et dans les corps amorphes.

131. Cas des corps cristallisés. — On sait, qu’en s’appuyant sur des considérations dont l’idée est due à Bravais, on peut considérer les corps cristallisés comme formés de molécules matérielles occupant les sommets de parallélipipèdes égaux et juxtaposés. Les faces de ces parallélipipèdes formeront trois systèmes de plans que nous pouvons représenter par les équations

(1)

$\;\,ax+by+cz=dm$

(2)

$\,a'x+b'y+c'z=d'm'$

(3)

$a''x+b''y+c''z=d''m''$

dans lesquelles $m,\,m',\,m''$ seront des entiers variant de $-\infty$ à $+\infty .$ Les valeurs de $x,\,y,\,z$ satisfaisant à ces trois équations seront les coordonnées d’un sommet d’un parallélipipède. Prenons un de ces points $\mathrm {P}$ et donnons à ses coordonnées des accroissements $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ satisfaisant aux équations suivantes

(4)

$\;\,a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma =d$

(5)

$a'\alpha +b'\beta +\,c'\gamma =0$

(6)

$a''\alpha +b''\beta +c''\gamma =0.$

Les deux dernières équations montrent que le point $\mathrm {P} '$ de coordonnées $x+\alpha ,$ $y+\beta ,$ $z+\gamma$ est situé dans les plans des systèmes (2) et (3) qui passent par le point $x,\,y,\,z.$ De l’équation (4), il résulte que les coordonnées du point $\mathrm {P} '$ satisfont à l’équation

$a(x+\alpha )+b(y+\beta )+c(z+\gamma )=d(m+1).$

Par conséquent le point $\mathrm {P} '$ se trouvera dans le plan du système (1) qui est le plus rapproché du plan de ce même système passant par le point $\mathrm {P} .$ Les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ forment donc les extrémités d’une arête d’un parallélipipède et, par suite, $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont les projections de cette arête suivant les trois axes.

On verrait de la même manière que les projections $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '$ et, $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma ''$ des deux autres arêtes des parallélipipèdes sont données par des équations qui se déduisent facilement des équations (4), (5) et (6).

132. Ces préliminaires établis, revenons à la théorie de Briot. Soient $x,\,y,\,z$ les coordonnées d’un point quelconque de l’espace ; la densité de l’éther en ce point est une certaine fonction de $x,\,y,\,z$ que nous représenterons par $\mathrm {F} (x,y,z).$ Si nous donnons aux coordonnées des accroissements $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ nous obtiendrons un nouveau point qui sera évidemment situé par rapport aux sommets d’un certain parallélipipède comme le point $x,$ $y,$ $z$ se trouve situé par rapport aux sommets d’un des parallélipipèdes contigus. Puisque la position de ces deux points par rapport aux molécules matérielles est la même, la densité de l’éther en ces points doit avoir la même valeur. On aura donc

$\rho =\mathrm {F} (x,\,y,\,z)=\mathrm {F} (x+\alpha ,\,y+\beta ,\,z+\gamma )\,;$

c’est-à-dire que la densité est une fonction périodique des coordonnées.

En donnant aux coordonnées $x,\,y,\,z$ des accroissements égaux aux projections des deux autres arêtes des parallélipipèdes, on obtiendra deux nouveaux points où l’éther a la même densité ; par suite on a

${\begin{aligned}\rho =\mathrm {F} (x,y,z)&=\mathrm {F} (x+\alpha ',\,y+\beta ',\,z+\gamma ')\\\rho =\mathrm {F} (x,y,z)&=\mathrm {F} (x+\alpha '',\,y+\beta '',\,z+\gamma '').\\\end{aligned}}$

La densité $\rho$ de l’éther dans un milieu cristallisé est donc une fonction triplement périodique des coordonnées.

133. Considérons une onde plane se propageant dans un milieu cristallisé et prenons pour plan des $xy$ un plan parallèle au plan de l’onde. Nous savons que $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ ne dépendent alors que de $z$ et de $t,$ et qu’il résulte de la condition de transversalité que $\zeta$ est identiquement nul. La densité étant supposée constante à l’intérieur d’une sphère de rayon égal au rayon d’activité moléculaire, $\rho$ sera indépendant des déplacements $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ et sera seulement fonction des coordonnées de la position d’équilibre de la molécule considérée. Comme nous voulons seulement pour le moment faire voir l’influence de la périodicité et montrer qu’elle suffit pour expliquer la dispersion nous supposerons pour simplifier, que $\rho$ est une fonction périodique de $z$ seulement, et par conséquent qu’on la peut développer en série trigonométrique. Nous poserons

$\rho =\mathrm {L} _{0}+\mathrm {L} _{1}\cos z+\ldots +\mathrm {M} _{1}\sin z+\mathrm {M} _{2}\sin 2z+\ldots$

Démontrons que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction périodique $\varphi$ soit la dérivée d’une fonction périodique $\psi ,$ est que la valeur moyenne de $\varphi$ soit nulle. Pour cela développons $\varphi$ en série trigonométrique, nous aurons

$\varphi =a_{0}+a_{1}\cos z+a_{2}\cos 2z+\ldots +b_{1}\sin z+b_{2}\sin 2z+\ldots$

Si nous donnons à $z$ toutes les valeurs possibles, les fonctions sinus et cosinus qui entrent dans ce développement prendront une infinité de valeurs comprises entre $+1$ et $-1\,:$ la valeur moyenne de ces fonctions sera donc nulle, et, par conséquent, la valeur moyenne de $\varphi$ se réduit à $a_{0}.$ L’intégrale indéfinie de $\varphi$ sera

$\psi =c+a_{0}z+a_{1}\sin z+a_{2}\sin 2z+\ldots -b_{1}\cos z-b_{2}\cos 2z-\ldots$

Quand la valeur moyenne $a_{0}$ de $\varphi$ est nulle, cette intégrale est une fonction périodique de $z.$ La condition énoncée est donc nécessaire ; il est évident qu’elle est suffisante. Nous nous servirons de cette propriété des fonctions périodiques dans ce qui va suivre.

134. Prenons maintenant les équations du mouvement. Par suite de la transversalité des vibrations, l’équation (1) du § 130 devient dans le cas d’une onde plane parallèle au plan des $xy,$

$\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}\cdot$

Essayons de satisfaire à cette équation en posant

$\xi =e^{i\mu t+\int v\,dz}$

où $\mu$ est égal à $-{\frac {2\pi }{\lambda }}$ et où $v$ est une fonction périodique de $z.$ Nous aurons pour les dérivées premières et secondes de $\xi$ par rapport à $t$ et à $z\,:$

${\begin{alignedat}{6}{\frac {d\xi }{dt}}&=i\mu \xi ,&\qquad \qquad {\frac {d\xi }{dz}}&=v\xi ,\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-\mu ^{2}\xi ,&\qquad \qquad {\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=v^{2}\xi +\xi {\frac {dv}{dz}}\cdot \\\end{alignedat}}$

En portant ces valeurs des dérivées secondes dans l’équation du mouvement, nous avons

(1)

${\frac {dv}{dz}}+v^{2}+\rho \mu ^{2}=0$

équation différentielle qui donne la valeur de $v$ en fonction de $z$ et de $\mu .$ Remarquons que, par suite de l’unité de longueur adoptée, la quantité $\mu$ est très petite. En effet, cette unité, choisie de manière que la période de la fonction périodique $\rho$ soit finie, est comparable avec les dimensions du parallélipipède élémentaire, c’est-à-dire très petite par rapport à $\lambda \,;$ par conséquent $\lambda$ sera exprimée par un nombre très grand, et $\mu ,$ qui est l’inverse de $\lambda ,$ sera un nombre très petit. Il en résulte que, si nous développons $v$ suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ nous obtiendrons une série dont les termes tendront rapidement vers zéro ; il nous suffira donc de calculer les coefficients des premiers termes de cette série pour avoir une valeur de $v$ suffisamment approchée.

135. Voyons comment on obtiendra ces coefficients.

Nous pouvons écrire le développement de $v,$

$v=\mu v_{1}+\mu ^{2}v_{2}+\mu ^{3}v_{3}+\mu ^{4}v_{4}+\ldots$

$v_{1},\,v_{2},\,v_{3},\dots$ étant comme $v$ des fonctions périodiques de $z\,;$ nous en tirons

$v^{2}=\mu ^{2}v_{1}^{2}+2\mu ^{3}v_{1}v_{2}+\mu ^{4}(v_{3}^{2}+2v_{1}v_{3})+\mu ^{5}(2v_{1}v_{4}+2v_{2}v_{3})+\ldots$

et

${\frac {dv}{dz}}=\mu {\frac {dv_{1}}{dz}}+\mu ^{2}{\frac {dv_{2}}{dz}}+\mu ^{3}{\frac {dv_{3}}{dz}}+\mu ^{4}{\frac {dv_{4}}{dz}}+\ldots$

En portant ces valeurs dans l’équation (1), nous obtiendrons dans le premier membre un développement ordonné suivant les puissances croissantes de $\mu .$ Ce développement devant être nul quel que soit $\mu ,$ les coefficients des diverses puissances de $\mu$ doivent se réduire à 0. Nous avons donc

(2)	${\frac {dv_{1}}{dz}}=0$
(3)	${\frac {dv_{2}}{dz}}+v_{1}^{2}+\rho =0$
(4)	${\frac {dv_{3}}{dz}}+2v_{1}v_{2}=0$
(5)	${\frac {dv_{4}}{dz}}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{3}=0$
(6)	${\frac {dv_{5}}{dz}}+2(v_{1}v_{4}+v_{2}v_{3})=0$

La première de ces équations nous donne

$v_{1}=\mathrm {constante.}$

De cette égalité et de l’équation (3), il résulte que ${\frac {dv_{2}}{dz}}$ est une fonction périodique de $z,$ puisque, par hypothèse, $\rho$ est une fonction périodique. D’après la propriété des fonctions périodiques démontrée précédemment il faut, pour que $v_{2}$ soit une fonction périodique, que la valeur moyenne de ${\frac {dv_{2}}{dz}}$ soit nulle. Par conséquent la valeur de $v_{1}$ est égale à la racine carrée de la valeur moyenne de $\rho$ changée de signe. La valeur de $v_{1}$ se trouvant ainsi déterminée, l’équation (3) donnera par intégration l’expression de $v_{2}.$

Dans cette expression, la constante d’intégration est arbitraire. Pour avoir sa valeur qui est la valeur moyenne de $v_{2},$ nous aurons recours à l’équation (4). La valeur moyenne de ${\frac {dv_{3}}{dz}}$ doit être nulle pour que $v_{3}$ soit une fonction périodique ; par conséquent la valeur moyenne du produit $v_{1}v_{2}$ doit être nulle. Comme $v_{1}$ est une constante différente de zéro, il faut que la valeur moyenne de $v_{2}$ soit nulle ; la constante introduite par l’intégration dans l’expression de $v_{2}$ se réduit donc à zéro. L’équation (4) permet alors de trouver l’expression de $v_{3}\,;$ la constante d’intégration se trouverait par la considération de l’équation (5). En continuant ainsi, on calculerait les expressions des différentes fonctions $v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3},$ $\dots ,$ que l’on veut introduire dans le développement de la fonction $v.$

136. Cherchons la vitesse de propagation de l’onde plane considérée.

En désignant par $v^{0}$ la valeur moyenne de $v,$ nous aurons

$\int v\,dz=v^{0}z+u,$

$u$ étant une fonction périodique. Par conséquent, la composante $\xi$ du déplacement de la molécule d’éther aura pour expression

$\xi =e^{i\mu t+v^{0}z+u}=e^{i\mu t+v^{0}z}e^{u}.$

Le facteur $e^{u}$ est une fonction périodique de $z$ sur laquelle nous ne savons rien sinon que la période est très petite ; cette période est en effet du même ordre de grandeur que les arêtes du parallélipipède éliminaire. Il en résultera des variations très rapides du facteur $e^{u}.$ Il est donc certain que la valeur moyenne du déplacement interviendra seule dans les expériences.

Par conséquent nous devons dans l’expression précédente de $\xi ,$ remplacer $e^{u}$ par sa valeur moyenne $\mathrm {C} \,;$ nous aurons alors

$\xi =\mathrm {C} e^{i\mu t+v^{0}z}.$

La vitesse de propagation a donc pour valeur

$\mathrm {V} =-{\frac {i\mu }{v^{0}}}\cdot$

L’indice de réfraction $n$ étant inversement proportionnel à la vitesse de propagation, il sera proportionnel au rapport $-{\frac {v^{0}}{i\mu }}\cdot$ Si donc nous désignons par $v_{1}^{0},$ $v_{2}^{0},$ $v_{3}^{0},\dots$ les valeurs moyennes des fonctions $v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3},\dots$ qui entrent dans le développement de $v$ par rapport aux puissances de $\mu ,$ l’indice de réfraction est proportionnel à

$iv_{1}^{0}+i\mu v_{2}^{0}+i\mu ^{2}v_{3}^{0}+i\mu ^{3}v_{4}^{0}+\ldots$

Montrons que cette expression est réelle. L’équation (3) donne pour la valeur de $v_{1}$ la racine carrée de la valeur moyenne de $-\rho \,;$ c’est donc une quantité imaginaire. Désignons-là par $-ia.$ Quant à la valeur moyenne de $v_{2},$ nous avons vu qu’elle était nulle. L’équation (5) nous montre que la valeur moyenne du produit $v_{1}v_{3}$ est égale, au signe près, à la valeur moyenne de $v_{2}^{2}\,;$ $v_{2}^{2}$ étant essentiellement positif, il en sera de même de sa valeur moyenne. La valeur moyenne de $v_{1}v_{3}$ est donc positive, et cette quantité divisée par la valeur $-ia$ de $v_{1}$ donnera pour $v_{3}^{0}$ une quantité purement imaginaire $-ib.$ Pour avoir $v_{4}^{0},$ prenons l’équation (6). Il résulte de cette équation que $v_{1}v_{4}^{0}$ est égal, au signe près, à la valeur moyenne de $v_{2}v_{3}.$ Or, en multipliant le premier membre de l’équation (4) par $v_{3},$ on obtient

$2v_{1}v_{2}v_{3}=-v_{3}{\frac {dv_{3}}{dz}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {dv_{3}^{2}}{dz}}\cdot$

Le second membre de cette nouvelle équation étant la dérivée d’une fonction périodique a pour valeur moyenne zéro ; il en résulte, puisque $v_{1}$ est une constante, que la valeur moyenne de $v_{2}v_{3}$ est nulle. Il en sera de même de la valeur moyenne de $v_{1}v_{4},$ et par suite de $v_{4}^{0}.$ Il serait facile de voir que la valeur de $v_{5}^{0}$ est une quantité purement imaginaire $-ic.$

L’indice de réfraction sera donc proportionnel à

$a+b\mu ^{2}+c\mu ^{4}+\ldots ,$

et comme $\mu$ est inversement proportionnel à $\lambda ,$ la valeur de cet indice sera donnée par une formule de la forme

$n=\mathrm {A} _{0}+{\frac {\mathrm {B} _{0}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} _{0}}{\lambda ^{4}}}+\ldots ,$

formule qui est suffisamment bien vérifiée par l’expérience.

137. Si au lieu de considérer une onde plane, nous voulions traiter le cas général où $\rho$ est une fonction périodique de $x,y,z,$ l’intégration des équations du mouvement présenterait de grandes difficultés. À propos de la double réfraction, nous montrerons comment M. Sarrau est parvenu à trouver des fonctions satisfaisant approximativement aux équations du mouvement dans le cas où $\rho$ est une fonction périodique des coordonnées. Ces fonctions sont de la forme

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\zeta &=\mathrm {C} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t)}.\\[1.5ex]\end{aligned}}$

Pour satisfaire aux équations du mouvement, dans le cas où la densité est constante, on donnerait à $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\mathrm {V}$ des valeurs constantes. En prenant pour $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ des fonctions périodiques des coordonnées on parvient par approximations successives à intégrer les équations du mouvement dans le cas où $\rho$ est variable. Par une première approximation on parvient à l’explication de la double réfraction, par une seconde à celle de la polarisation rotatoire, et par une troisième à celle de la dispersion.

138. Cas des corps amorphes. — Dans les milieux amorphes, les molécules matérielles sont irrégulièrement disposées et la densité de l’éther est une fonction des coordonnées oscillant irrégulièrement autour de sa valeur moyenne. Cette fonction est quelconque et pour arriver à intégrer les équations du mouvement il faut faire une hypothèse sur sa forme. L’hypothèse la plus simple consiste à admettre que $\rho$ est une fonction de la même forme que dans les milieux cristallisés, mais non périodique.

Nous supposerons donc que dans les milieux amorphes $\rho$ est donné par une fonction de la forme

$\rho =\sum \mathrm {R} \sin(ax+by+cz+d)$

où $a,\,b,\,c$ sont des nombres quelconques, non entiers, et $d$ une constante également quelconque. La valeur moyenne de $\rho ,$ autour de laquelle oscillent les valeurs de la fonction $\rho$ n’est autre que le terme de la série pour lequel on $a=b=c=0\,;$ cette valeur moyenne est donc égale à

$\mathrm {R} \sin d$

L’application de la méthode de M. Sarrau à la recherche des intégrales du mouvement présenterait dans ce cas de grandes difficultés. On pourra néanmoins trouver les valeurs moyennes de ces intégrales et nous avons déjà montré que ce sont ces valeurs moyennes qui seules interviennent dans les résultats expérimentaux. L’intégration se ferait d’ailleurs par approximations successives comme dans le cas des milieux cristallisés.

139. Sans traiter complètement la question, il est possible de montrer que dans le cas particulier d’une onde plane parallèle au plan des $xy$ la valeur de l’indice de réfraction dépend de la longueur d’onde.

La première des équations du mouvement est

$\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

Nous avons vu (130), que lorsque $\rho$ est une fonction périodique de $z$ on peut satisfaire à cette équation en posant

$\xi =e^{i\mu t+\int v\,dz},$

($v$ est une fonction périodique de $z$ et les coefficients de son développement suivant les puissances croissantes de $\mu$ sont données par une série d’équations récurrentes). Puisque nous avons supposé que dans les corps amorphes $\rho$ avait la même forme que dans les corps cristallisés, nous pourrons satisfaire aux équations du mouvement dans les premiers milieux en prenant pour $v$ une fonction non périodique dont les coefficients de son développement suivant les puissances de $\mu$ seront donnés par la même suite d’équations récurrentes.

Cherchons la valeur moyenne des coefficients du développement pour avoir ensuite la valeur moyenne de $\xi .$ L’équation (2) du § 135 nous montre que $v_{1}$ se réduit à une constante ; la valeur de cette constante peut se déduire immédiatement de l’équation (3), car la fonction $v_{2},$ quoique n’étant pas une fonction périodique, ne diffère d’une telle fonction que par la valeur des coefficients qui entrent sous les signes sinus et cosinus du développement en série trigonométrique. Comme il en est de même de $\rho ,$ il faut donc que la valeur moyenne de ${\frac {dv_{2}}{dz}}$ soit nulle. En désignant par $-a$ la racine négative de la valeur moyenne de $\rho ,$ nous aurons une des valeurs de $v_{1}\,:$ $v_{1}=-ia.$ Cette même équation (3) nous montre que la valeur moyenne de $v_{2}$ est une quantité réelle. En considérant les unes après les autres les diverses équations on verrait que les coefficients impairs comme $v_{1},v_{3},\dots$ sont purement imaginaires et que les coefficients pairs, $v_{2},v_{4},\dots$ sont réels. Nous allons montrer que ces derniers sont nuls.

L’homogénéité exige que dans les milieux amorphes les molécules matérielles soient disposées de la même manière par rapport à chacune d’elles. Chaque molécule est donc un centre de symétrie et si nous prenons un de ces points pour origine des axes, $\rho$ est une fonction paire, c’est-à-dire conservant le même signe quand on change $z$ en $-z.$ Il résulte de l’équation (3) que ${\frac {dv_{2}}{dz}}$ est une fonction paire ; par conséquent $v_{2}$ est une fonction impaire. Les équations suivantes montrent que $v_{3}$ est paire et $v_{4}$ impaire. Les coefficients $v_{2},$ $v_{4},$ $v_{6}$ sont donc des fonctions impaires dont la valeur moyenne est nulle.

La valeur de moyenne $v_{3}$ sera donnée par l’équation (5). C’est, comme nous l’avons dit, une quantité purement imaginaire. Si nous la désignons par $-ib,$ nous aurons pour la valeur moyenne de $v,$ en nous arrêtant au terme en $\mu ^{4},$

$v^{0}=-ia\mu -ib\mu ^{3}.$

Par conséquent la valeur moyenne de la vitesse de propagation sera

$\mathrm {V} =-{\frac {i\mu }{-ia\mu -ib\mu ^{3}}}={\frac {1}{a+b\mu ^{2}}}\cdot$

et l’indice de réfraction, inversement proportionnel à cette vitesse, sera donné par une expression de la forme

$n=a_{0}+b_{0}\mu ^{2}.$

Comme $\mu$ est inversement proportionnel à la longueur d’onde, on obtiendra enfin

$n=\mathrm {A} _{0}+{\frac {\mathrm {B} _{0}}{\lambda ^{2}}}\cdot$

Nous retrouvons donc l’expression de l’indice de réfraction qui s’accorde avec les résultats des expériences.

140. Théorie de M. Boussinesq. Au lieu de supposer, comme Briot, que la densité de l’éther engagé dans un milieu pondérable dépend de la position de la molécule considérée, M. Boussinesq suppose cette densité uniforme. Pour tenir compte de l’action de la matière sur l’éther et arriver à l’explication de la dispersion, il introduit dans les équations du mouvement des molécules d’éther un terme complémentaire $\mathrm {F}$ représentant les forces élastiques mises en jeu par cette action. Il admet en outre, que les forces élastiques qui s’exercent entre les molécules d’éther sont les mêmes que lorsqu’on considère l’éther dans le vide. Par suite de ces hypothèses, la première des équations du mouvement devient

(1)

$\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}+\mathrm {F} .$

Mais, si les molécules d’éther sont soumises à des forces $\mathrm {F}$ résultant de l’action de la matière, réciproquement les molécules matérielles seront soumises à une force égale et contraire due à l’action de l’éther. De plus, les molécules matérielles sont soumises à des forces élastiques $\mathrm {F} _{1}$ provenant de leurs actions mutuelles. Par conséquent, si nous appelons $\rho _{1}$ la densité de la matière et $\xi _{1}$ le déplacement d’une molécule matérielle, nous aurons

$\rho _{1}{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=-\mathrm {F} +\mathrm {F} _{1}$

Les forces élastiques $\mathrm {F} _{1}$ dues à l’action de la matière sur elle-même doivent être beaucoup plus petites que celles qui s’exercent entre les molécules d’éther, puisque le son, qui résulte des vibrations de la matière, se transmet avec une vitesse incomparablement plus petite que celle de la lumière. Aussi M. Boussinesq admet-il que l’on peut négliger $\mathrm {F} _{1}$ par rapport à $\mathrm {F} .$ L’équation du mouvement d’une molécule matérielle devient alors

(2)

$\rho _{1}{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=-\mathrm {F} .$

En remplaçant dans l’équation (1), $\mathrm {F}$ par la valeur tirée de cette dernière équation, on obtient :

(3)

$\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}-\rho _{1}{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}\cdot$

Le déplacement $\xi _{1}$ des molécules matérielles doit dépendre des déplacements $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de l’éther et de leurs dérivées. Mais, comme ces déplacements sont très petits, on peut réduire $\xi _{1}$ au premier terme de son développement par rapport à ces quantités, c’est-à-dire à une fonction linéaire de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ et de leurs dérivées.

D’ailleurs, dans certains cas, cette fonction se simplifie. Si d’abord nous prenons le plan de l’onde pour plan des $xy\,;$ les dérivées par rapport à $z$ entreront seules dans les milieux isotropes. De plus $\xi _{1}$ ne contient ni $\eta$ ni $\zeta .$ En effet, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on y remplace $y$ et $\eta$ par $-y$ et $-\eta .$ Si l’on fait cette substitution dans l’équation (3), le premier membre ne change pas ; l’ensemble des deux premiers termes du second membre conservant aussi la même valeur, il faut que ${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}$ ne change pas. Cette dérivée, et, par suite $\xi _{1},$ ne doivent donc pas contenir $\eta ,\,{\frac {d\eta }{dz}},\dots .$ Un raisonnement analogue montrerait que $\xi _{1}$ ne doit pas contenir $\zeta .$ Par conséquent $\xi _{1}$ se réduit à une fonction linéaire de $\xi$ et de ses dérivées. Encore toutes les dérivées n’entrent pas, car l’origine étant centre de symétrie, les équations ne doivent pas changer quand on change les signes de $x,$ $y,$ $z,$ $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ ce qui exige que les dérivées d’ordre impair disparaissent de ${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}$ et, par suite, de $\xi _{1}.$

141. Cherchons l’intégrale de l’équation (3) dans le cas d’une onde plane se propageant dans un milieu isotrope. Les dérivées de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ par rapport à $x$ et à $y$ étant alors nulles, $\xi _{1}$ se réduira à une fonction linéaire de $\xi$ et des dérivées de $\xi$ d’ordre pair par rapport à $z.$ En négligeant les dérivées d’ordres supérieurs au troisième, nous aurons

$\xi _{1}=a\xi +b\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\,;$

et, en portant cette valeur de $\xi _{1}$ dans l’équation (3) elle devient, lorsqu’on suppose les vibrations transversales,

(4)

$\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}-\rho _{1}a{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\rho _{1}b{\frac {d^{2}\xi }{dz\,dt}}\cdot$

Si nous essayons de satisfaire à cette équation en posant

$\xi =\mathrm {A} e^{i\alpha (z-Vt)},$

nous aurons comme équation de condition, résultant de la substitution dans (4) des dérivées déduites de cette valeur de $\xi ,$

$\rho \mathrm {V} ^{2}=1-\rho _{1}a\mathrm {V} ^{2}+\rho _{1}b\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}$

d’où

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}a-\rho _{1}b\alpha ^{2}}}\cdot$

Par conséquent l’indice de réfraction sera proportionnel à la racine carrée de

$\rho +a\rho _{1}-b\rho _{1}\alpha ^{2}\,;$

et puisque $\alpha$ est inversement proportionnel à $\lambda ,$ $n$ sera de la forme

$n=\mathrm {A} _{0}+{\frac {\mathrm {C} _{0}}{\lambda ^{2}}}\cdot$

L’indice de réfraction dépend donc de la longueur d’onde.

142. La théorie de M. Boussinesq^[3] peut se présenter d’une autre manière quand il s’agit des corps isotropes.

Puisqu’il y a action de la matière sur l’éther, il faut tenir compte de cette action en introduisant dans les équations du mouvement les forces élastiques qui en résultent. Or l’hypothèse la plus simple que l’on puisse faire sur la nature de ces forces élastiques, est qu’elles sont proportionnelles à la différence $\xi _{1}-\xi$ des déplacements de la matière et de l’éther. En désignant par $\mathrm {M}$ le facteur de proportionnalité, la première des équations du mouvement de l’éther peut s’écrire

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}+\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi ).$

Dans le cas d’une onde plane, elle devient

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi ).$

Si on cherche à satisfaire à cette équation en posant

${\begin{aligned}\xi \,&=\mathrm {A} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\xi _{1}&=\mathrm {B} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes et $\alpha$ ayant pour valeur ${\frac {2\pi }{\lambda }},$ on obtient pour résultat de la substitution

(5)

$-\rho \alpha ^{2}\mathrm {AV} ^{2}=-\alpha ^{2}\mathrm {A} +\mathrm {M} (\mathrm {B} -\mathrm {A} ).$

L’équation qui donne le mouvement de la molécule matérielle est,

$\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=\mathrm {M} (\xi -\xi _{1}).$

En y substituant la valeur prise précédemment pour $\xi _{1},$ on a,

(6)

$-\rho _{1}\alpha ^{2}\mathrm {BV} ^{2}=\mathrm {M} (\mathrm {A} -\mathrm {B} ).$

Éliminons $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ entre les équations (5) et (6) pour avoir la vitesse en fonction de $\alpha .$ Pour cela mettons ces équations sous la forme suivante

${\begin{aligned}\mathrm {A} \left[\mathrm {M} -\alpha ^{2}(\rho \mathrm {V} ^{2}-1)\right]&=\mathrm {MB} ,\\[1.5ex]\mathrm {B} \left(\mathrm {M} -\alpha ^{2}\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}\right)&=\mathrm {MA} ,\\\end{aligned}}$

et multiplions membre à membre ; nous obtiendrons après simplification,

$-\alpha ^{2}\mathrm {M} (\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}+\rho \mathrm {V} ^{2}-1)+\alpha ^{4}\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}(\rho \mathrm {V} ^{2}-1)=0,$

ou

$\mathrm {M} (\rho +\rho _{1})\left(\mathrm {V} ^{2}-{\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}\right)=\alpha ^{2}\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}(\rho \mathrm {V} ^{2}-1).$

Par suite de la grandeur de l’unité de longueur imposée par la forme sous laquelle nous avons pris l’équation du mouvement, $\alpha$ est très petit. Par conséquent l’équation précédente, mise sous la forme

(7)

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}+{\frac {\alpha ^{2}}{\mathrm {M} (\rho +\rho _{1})}}\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}(\rho \mathrm {V} ^{2}-1),$

nous donne comme résultat d’une première approximation

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}\cdot$

Remplaçant $\mathrm {V} ^{2}$ par cette valeur dans le second membre de l’équation (7), nous obtenons pour seconde approximation

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}+{\frac {\alpha ^{2}}{\mathrm {M} (\rho +\rho _{1})}}{\frac {\rho _{1}}{\rho +\rho _{1}}}\left({\frac {\rho }{\rho +\rho _{1}}}-1\right),$

ou, en simplifiant.

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {1}{\rho +\rho _{1}}}-{\frac {\alpha ^{2}\rho _{1}^{2}}{\mathrm {M} (\rho +\rho _{1})^{3}}}\cdot$

Nous obtenons donc encore pour la vitesse, une expression qui dépend de $\alpha ,$ et, par suite, de $\lambda .$

143. Montrons maintenant comment la théorie de M. Boussinesq rend compte de la polarisation rotatoire dans les milieux qui, comme les dissolutions de composés organiques, sont dépourvus de centre de symétrie, mais dans lesquels une direction quelconque est un axe de symétrie.

Puisqu’il n’y a pas de centre de symétrie, la fonction $\xi _{1}$ dépend à la fois des dérivées d’ordre pair et des dérivées d’ordre impair des déplacements $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ de l’éther. Mais par suite de l’existence d’axes de symétrie, cette fonction se simplifie. En exprimant que les équations du mouvement ne changent pas quand on fait tourner d’un angle quelconque deux des axes de coordonnées autour du troisième, et en négligeant les dérivées d’ordre supérieur au premier, on trouve pour $\xi _{1},$

$\xi _{1}=a\xi +b\left({\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}}\right)\cdot$

Pour les autres composantes $\eta _{1}$ et $\zeta _{1}$ du déplacement de la matière on aura

${\begin{aligned}\eta _{1}&=a\eta +b\left({\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}}\right)\\[1.5ex]\zeta _{1}&=a\zeta +b\left({\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Dans le cas d’une onde plane parallèle au plan des $xy,$ les dérivées par rapport à $x$ et $y$ étant nulles, on a

${\begin{aligned}\xi _{1}&=a\xi +b{\frac {d\eta }{dz}},\\[1.5ex]\eta _{1}&=a\eta -b{\frac {d\xi }{dz}}\,;\\\end{aligned}}$

et les équations du mouvement de l’éther deviennent

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}-a\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-b\rho _{1}\,{\frac {d^{3}\eta }{dz\,dt^{2}}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&={\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-a\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+b\rho _{1}\,{\frac {d^{3}\xi }{dz\,dt^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Si nous essayons de satisfaire à ces équations par des valeurs de $\xi$ et $\eta$ de la forme

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\\end{aligned}}$

nous obtenons les deux équations de conditions :

${\begin{aligned}-\rho \mathrm {AV} ^{2}=&-\mathrm {A} +a\rho _{1}\mathrm {AV} ^{2}+bi\alpha \rho _{1}\mathrm {BV} ^{2},\\[1.5ex]-\rho \mathrm {BV} ^{2}=&-\mathrm {B} +a\rho _{1}\mathrm {BV} ^{2}-bi\alpha \rho _{1}\mathrm {AV} ^{2}.\\\end{aligned}}$

Ces équations peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {A} \left(1-\rho \mathrm {V} ^{2}-a\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}\right)&=\;bi\alpha \rho _{1}\mathrm {BV} ^{2}\\[1.5ex]\mathrm {B} \left(1-\rho \mathrm {V} ^{2}-a\rho _{1}\mathrm {V} ^{2}\right)&=-bi\alpha \rho _{1}\mathrm {AV} ^{2}.\\\end{aligned}}$

En les divisant membre à membre, on obtient

${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}=-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }},$

d’où

$\mathrm {A} ^{2}=-\mathrm {B} ^{2}.$

Nous aurons donc deux systèmes de valeurs de $\xi$ et $\eta ,$ satisfaisant aux équations du mouvement. Ces deux systèmes correspondent à $\mathrm {A} =+\mathrm {B} i$ et à $\mathrm {A} =-\mathrm {B} i.$ Nous pourrons donc montrer, comme nous l’avons fait au § 125, que l’onde plane donne naissance à deux ondes planes polarisées circulairement en sens inverses et se propageant avec des vitesses inégales. — Nous en concluons immédiatement que le plan de polarisation de la lumière incidente doit tourner d’un certain angle en traversant le milieu.

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1. Voir plus loin le chapitre relatif à la double réfraction dans les milieux hémiédriques, où nous revenons sur cette question avec plus de détails.
2. Nous avons conservé le nom de Théorie de Briot à l’explication que nous allons développer, parce que Briot est le premier qui ait cherché à fonder une théorie complète de la dispersion sur l’hypothèse de la périodicité de l’éther. Mais le mode d’exposition que nous allons suivre diffère absolument de celui de Briot et se rapproche bien davantage des idées de M. Sarrau.
3. Sous cette forme, la théorie de M. Boussinesq se rapproche d’une théorie de Helmholtz, où le savant allemand rend compte, non seulement de la dispersion ordinaire, mais de la dispersion anormale et que je regrette de n’avoir pas eu le temps de développer dans les leçons de ce semestre.