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Traité de la lumière/Chapitre VI

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Gauthier-Villars (p. 126-153).


CHAPITRE VI
DES FIGURES DES CORPS DIAPHANES QUI SERVENT À LA RÉFRACTION ET À LA RÉFLEXION



Après avoir expliqué comment les propriétés de la réflexion et de la réfraction s’ensuivent de ce que nous avons posé touchant la nature de la lumière, et des corps opaques, et diaphanes, je ferai voir ici une manière fort aisée et naturelle, pour déduire, des mêmes principes, les véritables figures qui servent, ou par réflexion, ou par réfraction, à assembler, ou à disperser les rayons de lumière, selon que l’on désire. Car encore que je ne voie pas qu’il y ait moyen de se servir de ces figures en ce qui est de la réfraction — tant à cause de la difficulté de former selon elles les verres de lunette dans la justesse requise, que parce qu’il y a dans la réfraction même une propriété qui empêche le parfait concours des rayons, comme M. Newton a fort bien prouvé par les expériences — je ne laisserai pas d’en rapporter l’invention, puisqu’elle s’offre, pour ainsi dire, d’elle-même, et qu’elle confirme encore notre Théorie de la réfraction, par la convenance qui se trouve ici entre le rayon rompu, et réfléchi. Outre qu’il se peut faire qu’on y découvre à l’avenir des utilités que l’on ne voit pas présentement.

Pour venir donc à ces figures, posons premièrement que l’on veuille trouver une surface C D E, qui assemble les rayons venant d’un point A à un autre point B, et que le sommet de la surface soit le point D, donné dans la droite A B (Fig. 56 et 57). Je dis que, soit par réflexion, ou par réfraction, il faut seulement faire cette surface telle, que le chemin de Figure 56 : Focalisation de rayons lumineux par un miroir elliptique.
Fig. 56.
la lumière, depuis le point A jusqu’à tous les points de la ligne courbe C D E, et de ceux-ci au point du concours — comme est ici le chemin par les droites A C, C B, par A L, L B, et par A D, D B — se fasse partout dans des temps égaux, par où l’invention de ces courbes devient fort aisée.

Car pour ce qui est de la surface réfléchissante (Fig. 56), puisque la somme des lignes A C, C B, doit être égale à celle des A D, D B, il paraît que D C E doit être une ellipse ; et pour la réfraction (Fig. 57), ayant supposé la proportion des vitesses des ondes de lumière, dans les diaphanes A et B, connue, par ex., de 3 à 2 (qui est la même, comme nous avons montré, que la proportion des sinus dans la réfraction), il faut seulement mettre D H égale aux 3/2 de D B, et ayant après cela décrit du centre A quelque arc F C, qui coupe D B en F, en faire un autre du centre B, avec le demi-diamètre B X égal à 2/3 de F H, et l’intersection C des deux arcs sera un des points requis, par où la courbe doit passer. Car ce point étant trouvé de la sorte, il est aisé premièrement de faire voir que le temps par A C, C B, sera égal au temps par A D, D B (Fig. 57).

Figure 57 : Stigmatisme parfait des ovales de Descartes.
Fig. 57.

Car prenant que la ligne A D représente le temps qu’emploie la lumière à passer cette même A D dans l’air, il est évident que D H, égal à 3/2 de D B, représentera le temps de la lumière par D B dans le diaphane, parce qu’il lui faut ici d’autant plus de temps, que son mouvement est plus lent. Partant toute la A H sera le temps par A D, D B. De même la ligne A C, ou A F, représentera le temps par A C ; et F H étant par la construction égal à 3/2 de C B, elle représentera le temps par C B dans le diaphane, et par conséquent toute la A H sera aussi le temps par A C, C B. D’où il parait que le temps par A C, C B, est égal au temps par A D, D B. Et l’on fera voir de même, si L et K sont d’autres points dans la courbe C D E, que les temps par A L, L B, et par A K, K B, sont toujours représentés par la ligne A H, et partant égaux au dit temps par A D, D B.

Pour démontrer ensuite que les surfaces, que ces courbes feront par leur circonvolution, dirigeront tous les rayons qui viennent sur elles du point A, en sorte qu’ils tendent vers B, soit supposé le point K dans la courbe (Fig. 58 et 59), plus loin de D que n’est C, mais en sorte que la droite A K tombe sur la courbe, qui sert à la réfraction (Fig. 59), en dehors ; et du centre B soit décrit l’arc K S, coupant B D en S, et la droite C B en R ; et du centre A l’arc D N, rencontrant A K en N.

Figure 58 : Focalisation de rayons lumineux par un miroir elliptique.
Fig. 58.

Puisque les sommes des temps par A K, K B, et par A C, C B, sont égales, si de la première somme l’on ôte le temps par K B, et de l’autre le temps par R B, il restera le temps par A K égal aux temps par ces deux, A C, C R. Partant dans le temps que la lumière est venue par A K, elle sera aussi venue par A C, et de plus il se sera fait une onde sphérique particulière dans le diaphane, du centre C, et dont le demi-diamètre sera égal à C R, laquelle onde touchera nécessairement la circonférence K S en R, puisque C B coupe cette circonférence à angles droits. De même ayant pris quelqu’autre point L dans la courbe (Fig. 58 et 59), l’on montrera que dans le même temps du passage de la lumière sur A K, elle sera aussi venue par A L, et que de plus il se sera fait une onde particulière du centre L, qui touchera la même circonférence K S. Et ainsi de tous les autres points de la courbe C D E. Donc, au moment que la lumière sera arrivée en K, l’arc K R B terminera le mouvement qui s’est répandu de A sur Figure 59 : Stigmatisme parfait des ovales de Descartes.
Fig. 59.
D C K. Et ainsi ce même arc sera, dans le diaphane, la propagation de l’onde émanée du point A, laquelle onde on se peut représenter par l’arc D N, ou par quelqu’autre plus près du centre A. Mais tous les endroits de l’arc K R S sont ensuite étendus suivant des droites qui lui sont perpendiculaires, c’est-à-dire qui tendent au centre B (car cela démontre, de même que nous avons prouvé ci-dessus, que les endroits des ondes sphériques s’étendent suivant des droites qui viennent de leur centre), et ces progrès des endroits des ondes sont les rayons mêmes de lumière. Il paraît donc que tous ces rayons tendent ici au point B.

On pourrait aussi trouver le point C et tous les autres, dans cette courbe qui sert à la réfraction, en divisant D A en G (Fig. 59) en sorte que D G soit 2/3 de D A, et décrivant du centre B quelqu’arc C X qui coupe B D en X, et un autre du centre A avec le demi-diamètre A F égal à 3/2 de G X ; ou bien ayant décrit, comme auparavant, l’arc C X, il ne fallait que faire D F égal à 3/2 de D X, et du centre A tracer l’arc F C, car ces deux constructions, comme l’on peut facilement connaître, reviennent à la première qu’on a vue ci-devant. Et il est encore manifeste par la dernière, que cette courbe est la même que celle que M. Descartes a donnée dans sa Géométrie, et qu’il nomme la première de ses Ovales.

Il n’y a qu’une partie de cette ovale qui sert à la réfraction, savoir si A K est supposée la tangente, ce sera la partie D K, dont le terme est K. Quant à l’autre partie, Descartes a remarqué qu’elle servirait aux réfractions, s’il y avait quelque matière de miroir de telle nature, que par elle la force des rayons (nous dirons la vitesse de la lumière, ce qu’il n’a pu dire parce qu’il veut que le mouvement s’en fasse dans un instant) fût augmenté dans la proportion de 3 à 2. Mais nous avons montré que, dans notre manière d’expliquer la réflexion, cela ne peut provenir de la matière du miroir, et qu’il est entièrement impossible.

De ce qui a été démontré de cette ovale, il sera aisé de trouver la figure qui sert à assembler vers un point les rayons incidents parallèles. Car en supposant toute la même construction, mais le point A infiniment distant, ce qui donne des rayons parallèles, notre ovale devient une vraie ellipse, dont la construction ne diffère en rien de celle de l’ovale, sinon que F C (Fig. 61) est ici une ligne droite perpendiculaire à D B, qui auparavant était un arc de cercle. Car l’onde de lumière D N, étant de même représentée par une ligne droite, l’on fera voir que tous les points de cette onde, s’étendant jusqu’à la surface K D par des parallèles à D B, s’avanceront ensuite vers le point B et y arriveront en même temps. Pour l’ellipse qui servait à la réflexion, il est manifeste qu’elle devient ici une parabole (Fig. 60), puisqu’on considère son foyer A infiniment Figure 60 : Focalisation de rayons lumineux parallèles par une parallèle.
Fig. 60.
distant de l’autre B, qui est ici le foyer de la parabole, auquel tendent toutes les réflexions des rayons parallèles à A B. Et la démonstration de ces effets est toute la même que la précédente.

Mais que cette ligne courbe C D E (Fig. 61), qui sert à la réfraction, est une ellipse, et telle dont le grand diamètre est à la distance de ses foyers comme 3 à 2, qui est la proportion de la réfraction, on le trouve facilement par le calcul d’algèbre. Car D B, qui est donnée, étant nommée , sa perpendiculaire D T indéterminée , et T C, , F B sera , C B . Mais la nature de la courbe est telle, que 2/3 T C avec C B est égal à D B, comme il a été dit dans la dernière construction : donc l’équation sera entre Figure 61 : Propriété de stigmatisme d’une ellipse réfringente pour les rayons issus de l’infini.
Fig. 61.
et , qui étant réduite, vient égal à , c’est-à-dire qu’ayant fait D O égal à 6/5 D B, le rectangle D F O est égal à 9/5 du carré de F C. D’où l’on voit que D O est une ellipse, dont l’axe D O est au paramètre comme 9 à 5, et partant le carré de D O au carré de la distance des foyers, comme 9 à 9−5, c’est-à-dire 4 ; et enfin la ligne D O à cette distance comme 3 à 2.

Derechef, si l’on suppose le point B infiniment loin, au lieu de notre première ovale, nous trouverons que C D E est la véritable hyperbole (Fig. 62), qui fera en sorte que les rayons, qui viennent du point A, deviendront parallèles. Et par conséquent aussi, que ceux qui sont parallèles dans le corps transparent, s’assembleront au dehors au point A. Or il faut remarquer que C X et K S deviennent des lignes droites perpendiculaires à B A, parce qu’elles représentent des arcs de cercles dont le centre B est infiniment distant, et que l’intersection de la perpendiculaire C X et de l’arc F C donnera le point C, un de ceux par où la courbe doit passer, qui fera en sorte que toutes les parties de l’onde de lumière D N, venant à rencontrer la surface K D E, s’avanceront de là par des parallèles à K S, et arriveront à cette droite en même temps ; donc la démonstration est encore la même que celle qui a servi dans la première ovale. Au reste on trouve, par un calcul aussi aisé que le précédent, Figure 62 : Action d’une lentille hyperbolique sur des rayons lumineux issus de son foyer.
Fig. 62.
que C D E est ici une hyperbole dont l’axe D O est 4/5 de A D, et le paramètre égal à A D. D’où l’on démontre facilement que D O est à la distance des foyers comme 3 à 2.

Ce sont ici les deux cas où les sections coniques servent à la réfraction, et les mêmes qu’explique Descartes dans sa Dioptrique, qui a trouvé le premier l’usage de ces lignes en ce qui est de la réfraction, comme celui des Ovales dont nous avons Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/143 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/144 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/145 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/146 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/147 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/148 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/149 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/150 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/151 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/152 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/153 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/154 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/155 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/156 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/157 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/158 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/159 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/160 Page:Huyghens - Traité de la lumière, Gauthier-Villars, 1920.djvu/161