CHAPITRE III.
nouvelle méthode pour approcher des racines des équations numériques.
18. Soit l’équation
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\ldots +\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be1084f7b8e9ad0d3bb3a005572ef5690f83264)
et supposons qu’on ait déjà trouvé, par la méthode précédente ou autrement, la valeur entière et approchée d’une de ses racines réelles et positives ; soit cette première valeur
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle x>p\quad {\text{et}}\quad x<p+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c218c9ff03f0093b06bfb2552f0bc99933692ea2)
on fera
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5cc8ca33543f44504f6763940062fd0b3a22fd)
et substituant cette valeur dans l’équation proposée, à la place de
on aura_1, après avoir multiplié toute l’équation par
et ordonné les termes par rapport à
une équation de cette forme
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \qquad \mathrm {A} 'y^{m}+\mathrm {B} 'y^{m-1}+\mathrm {C} 'y^{m-2}+\ldots +\mathrm {K} '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cf6407f87a89f68959ffd4eaf4dd197355cfd1)
Or, comme (hypothèse)
et
on aura
donc l’équation
aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l’unité.
On cherchera donc, par les méthodes du Chapitre Ier, la valeur entière approchée de cette racine ; et comme cette racine doit être nécessairement positive, il suffira de considérer y comme positif (no 4).
Ayant trouvé la valeur entière approchée de
que je nommerai
on fera ensuite
![{\displaystyle y=q+{\frac {1}{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c71963d9adcf6be331e6b3d15a9a3eb0ae42a0f)
et substituant cette valeur de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
dans l’équation
![{\displaystyle (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659bf70e7fc2204493dc325b0e366f879723e111)
, on aura une troisième équation en
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
de cette forme
![{\displaystyle (c)\qquad \qquad \qquad \mathrm {A} ''z^{m}+\mathrm {B} ''z^{m-1}+\mathrm {C} ''z^{m-2}+\ldots +\mathrm {K} ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e3101f5df450cbe6ec2433eaa5dcfe4728781e)
laquelle aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande què l’unité, dont on pourra trouver de même la valeur entière approchée.
Cette valeur approchée de
étant nommée
on fera
![{\displaystyle z=r+{\frac {1}{u}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e773c8a698e1ee4622b20461815e4a98ff2f28)
et, substituant, on aura une équation en
qui aura au moins une racine réelle plus grande que l’unité, et ainsi de suite.
En continuant de la même manière, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de la racine cherchée ; mais, s’il arrive que quelqu’un des nombres
soit une racine exacte, alors on aura
ou
et l’opération sera terminée ; ainsi, dans ce cas, on trouvera pour
une valeur commensurable.
Dans tous les autres cas, la valeur de la racine sera nécessairement incommensurable, et l’on pourra seulement en approcher aussi près qu’on voudra.
19. Si l’équation proposée a plusieurs racines réelles positives, on pourra trouver, par les méthodes exposées dans le Chapitre Ier, la valeur entière approchée de chacune de ces racines ; et nommant ces valeurs
on les emploiera successivement pour approcher davantage de la vraie valeur de chaque racine. Il faudra seulement remarquer :
1o Que si les nombres
sont tous différents l’un de l’autre, alors les transformées
du numéro précédent n’auront chacune qu’une seule racine réelle et plus grande que l’unité car si, par exemple, l’équation
avait deux racines réelles plus grandes que l’unité, telles que
et
on aurait donc
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{y'}}\quad {\text{et}}\quad x=p+{\frac {1}{y''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d234b6ba767caac797691b3e284cba1b125fa531)
de sorte que ces deux valeurs de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
auraient la même valeur entière approchée
![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
contre l’hypothèse : il en serait de même si l’équation
![{\displaystyle (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cced16c6169d8653fa3512190318eb26be63d8e)
ou quelqu’une des suivantes avait deux racines réelles plus grandes que l’unité.
De là il s’ensuit que, pour trouver dans ce cas les valeurs entières approchées
des racines des équations
il suffira de substituer successivement à la place de
les nombres naturels positifs
jusqu’à ce que l’on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire (no 6).
2o Que, s’il y a deux valeurs de
qui aient la même valeur entière approchée
en employant cette valeur, l’équation
aura aussi deux racines plus grandes que l’unité, et si leur valeur entière approchée est la même, l’équation
aura encore deux racines plus grandes que l’unité, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on arrive à une équation dont les deux racines, plus grandes que l’unité, aient des valeurs entières approchées différentes ; alors chacune de ces deux valeurs donnera une suite particulière d’équations qui n’auront plus qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité.
En effet, puisqu’il y a deux valeurs différentes de
qui ont la même valeur entière approchée
ces deux valeurs seront représentées par
de sorte qu’il faudra que
ait nécessairement deux valeurs réelles plus grandes que l’unité ; et si ces deux valeurs de
ont la même valeur approchée
il faudra de nouveau qu’en faisant
ait deux valeurs différentes plus grandes que l’unité, et ainsi de suite.
Mais, si les valeurs entières approchées de
étaient différentes, alors, nommant ces valeurs
et
on ferait successivement
et
et il est clair que
dans l’une et l’autre de ces deux suppositions, n’aurait plus qu’une seule valeur réelle plus grande que l’unité ; autrement, les valeurs de
au lieu d’être seulement doubles, seraient triples ou quadruples, etc.
Donc, quand on sera parvenu à une transformée dont les deux racines plus grandes que l’unité auront des valeurs entières différentes, on sera assuré que les autres transformées résultant de chacune de ces deux valeurs n’auront plus qu’une seule racine plus grande que l’unité. Quant à la manière de trouver les valeurs entières approchées
lorsqu’elles répondent à plus d’une racine, voir ci-après, Chap. VI, art. IV.
On peut faire des remarques analogues sur le cas où il y aurait dans l’équation
trois racines, ou davantage, qui auraient la même valeur entière approchée.
20. Nous avons supposé dans le no 18 que les racines cherchées étaient positives ; pour trouver les négatives, il n’y aura qu’à mettre
à la place de
dans l’équation proposée, et l’on cherchera de même les racines positives de cette dernière équation ce seront les racines négatives de la proposée (no 4).
Quant aux racines imaginaires, qui sont toujours exprimées par
nous avons donné, dans le Chapitre II, le moyen de trouver les équations dont
et
sont les racines ; ainsi il n’y aura qu’à chercher les racines réelles de ces équations, et l’on aura la valeur de toutes les racines imaginaires de l’équation proposée.
21. Pour faciliter les substitutions (no 18) de
au lieu de
de
au lieu de
, etc., il est bon de remarquer que les coefficients de la transformée
peuvent se déduire immédiatement de ceux de l’équation
en cette sorte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '&=\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}+\mathrm {C} p^{m-2}+\mathrm {D} p^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {A} '&=m\mathrm {A} p^{m-1}+(m-1)\mathrm {B} p^{m-2}+(m-2)\mathrm {C} p^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {C} '&={\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {A} p^{m-2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {B} p^{m-3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac374f1d069831f79ce85e6648575a59739f7253)
On aura de même ceux de la transformée
par ceux de la transfor-
mée
![{\displaystyle (b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4d033c9332b538ac7b105b983ab56d5c16ea10)
en mettant, dans les formules précédentes,
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
à la place de
![{\displaystyle \mathrm {A'',B'',C''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd708d727c37de080f88c79cc32f3676f0c842d)
à la place de
![{\displaystyle \mathrm {A',B',C'} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac1c4aa65788225e14a59ec39878dcf16739706)
et
![{\displaystyle \mathrm {A',B',C'} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcc72dad180ebb3bedd5f930bee2c41b339bc1a)
à la place de
![{\displaystyle \mathrm {A,B,C} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f304dcd39959cf7cfad766f08d4bef6a8b371b26)
et ainsi de suite.
De là il est évident que le premier coefficient
ou
ne sera jamais nul, à moins que le nombre
ou
ne soit une racine exacte, auquel cas nous avons vu que la fraction continue se termine à ce nombre (no 18). En effet, si
ou
on aura
ou
donc
ou
22. Soient donc
les valeurs entières approchées des racines des équations
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{y}},\quad y=q+{\frac {1}{z}},\quad z=r+{\frac {1}{u}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2e3f4b33aba072d41e6875cbf3e97ec8203ac3)
Substituant successivement ces valeurs dans celle de
on aura
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e19cdcae7c0e60cb0d8e1a4a37e21ec7e517b3)
Ainsi la valeur de
c’est-à-dire de la racine cherchée, sera exprimée par une fraction continue. Or on sait que ces sortes de fractions donnent toujours l’expression la plus simple, et en même temps la plus exacte qu’il est possible, d’un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel.
Huyghens paraît être le premier qui ait remarqué cette propriété des fractions continuels, et qui en ait fait usage pour trouver les fractions les plus simples et en même temps les plus approchantes d’une fraction quelconque donnée. (Voir son Traité De Automato planetario.)
Plusieurs habiles géomètres ont ensuite développé davantage cette théorie et en ont fait différentes applications ingénieuses et utiles ; mais on n’avait pas encore pensé, ce me semble, à s’en servir dans la résolution des équations.
23. Maintenant, si l’on réduit les fractions continues
![{\displaystyle {\frac {p}{1}},\quad p+{\frac {1}{q}},\quad p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r}}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e612d0cfbd048a6575316c1f09524bf263c7ec)
en fractions ordinaires, on aura, en faisant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha =&p,&\alpha '=&1,\\\beta =&q\alpha +1,\qquad &\beta '=&q\alpha '=q,\\\gamma =&r\beta +\alpha ,&\gamma '=&r\beta '+\alpha ',\\\delta =&s\gamma +\beta ,&\delta '=&s\gamma '+\beta ',\\.\ldots &\ldots \ldots ,&.\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6062f254d25e6bd74bb51e54e70459b9e4be0a37)
on aura, dis-je, cette suite de fractions particulières
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080caf0a1ed0d5ed86223071947fe82ba35b36d1)
lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de
et dont la première sera plus petite que cette valeur, la deuxième sera plus grande, la troisième plus petite, et ainsi de suite ; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques. C’est ce qu’il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue d’où celles-ci sont tirées.
Or il est facile de voir que les valeurs de
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \quad {\text{et}}\quad \alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2da4ca7ec89595d791c58f1270007370ea696)
sont toujours telles que
![{\displaystyle \beta \alpha '-\alpha \beta '=1,\quad \beta \gamma '-\gamma \beta '=1,\quad \delta \gamma '-\gamma \delta '=1,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513acbd27885d4d863ae138834dbc06624c84d00)
d’où il s’ensuit
1o Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes ; car si
et
par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, en vertu de l’équation
![{\displaystyle \beta \gamma '-\gamma \beta '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0e74f65eaf9fa0db2c4f7c43396af38c4fbc75)
que l’unité fût aussi divisible par ce même diviseur ;
2
o Qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e886ffcde60a43ccd76e08aaad86874f32bfbb3a)
de sorte que les fractions
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c791e807665dcb6d799b58a8bc2a387860c5ec)
ne peuvent jamais différer de la vraie valeur de
que d’une quantité respectivement moindre que
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {1}{\gamma '\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af67ab974df678705accee7978b829b4abdd71a2)
d’où il sera facile de juger de la quantité de l’approximation.
En général, puisque
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha '^{2}}}>{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '^{2}}}>{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1997e769161e12a1d8fd7934d4967fe628ad5d81)
d’où l’on voit que l’erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction.
3o Que chaque fraction approchera de la valeur de
non-seulement plus que ne fait aucune des fractions précédentes, mais aussi plus que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui aurait un moindre dénominateur. En effet, si la fraction
par exemple, approchait plus que la fraction
étant
il faudrait que la quantité
se trouvât entre ces deux
et
donc
![{\displaystyle {\frac {\mu }{\mu '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {1}{\gamma '\delta '}}\quad {\text{et}}\quad >0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86d52606fd324b56393fc05c99f5c0d7a4e72ba)
donc
![{\displaystyle \mu \gamma '-\mu '\gamma <{\frac {\mu '}{\delta '}}<1\quad {\text{et}}\quad >0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77551169b27ce09547744c531e9d1834cfdf5e1b)
ce qui ne se peut, puisque
sont des nombres entiers.
24. Les fractions
peuvent être appelées fractions principales, parce qu’elles convergent le plus qu’il est possible vers la valeur cherchée ; mais, quand les nombres
diffèrent de l’unité, on peut encore trouver d’autres fractions convergentes vers la même valeur, et qu’on appellera, si l’on veut, fractions secondaires.
Par exemple, si
est
on peut, entre les fractions
et
qui sont toutes deux moindres que la valeur de
insérer autant de fractions secondaires qu’il y a d’unités dans
en mettant successivement
au lieu de
De cette manière, à cause de
et
on aura cette suite de fractions
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta +\alpha }{\beta '+\alpha '}},\quad {\frac {2\beta +\alpha }{2\beta '+\alpha '}},\quad {\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},\quad \ldots ,\quad {\frac {r\beta +\alpha }{r\beta '+\alpha '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e790a526a31eb51641d5f36b645d1a65f4c0f1)
dont les deux extrêmes sont les deux fractions principales
et dont les intermédiaires sont des fractions secondaires.
Or, si l’on prend la différence entre deux fractions consécutives quelconques de cette suite, comme entre
et
on trouvera
de sorte que cette différence sera toujours positive et ira en diminuant d’une fraction à l’autre ; d’où il s’ensuit que, comme la dernière fraction
est moindre que la vraie valeur de la fraction continue, les fractions dont il s’agit seront toutes plus petites que cette valeur, et seront en même temps convergentes vers cette même valeur.
On fera le même raisonnement par rapport à toutes les autres fractions principales ; et si l’on ajoute à ces fractions les deux fractions
et
dont la première est toujours plus petite et dont la seconde est plus grande que toute quantité donnée, on pourra form\delta
deux séries de fractions convergentes vers la valeur cherchée, dont l’une contiendra toutes les fractions plus petites que cette valeur, et dont l’autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la même valeur.
Fractions plus petites.
![{\displaystyle {\frac {0}{1}},\quad \qquad {\frac {1}{1}},\quad \qquad {\frac {2}{1}},\quad \qquad {\frac {3}{1}},\ \ldots ,\ \ \qquad {\frac {p}{1}},\qquad \ldots ,\quad \left({\frac {\alpha }{\alpha '}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db269f08fa96ddb12bdffe9549171c2f1f7ac33c)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\cfrac {\beta +\alpha }{\beta '+\alpha '}},&{\cfrac {2\beta +\alpha }{2\beta '+\alpha '}},&{\cfrac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},&\ldots ,&{\cfrac {r\beta +\alpha }{r\beta '+\alpha '}},&\ldots ,&\left({\cfrac {\gamma }{\gamma '}}\right),\\{\cfrac {\delta +\gamma }{\delta '+\gamma '}},&{\cfrac {2\delta +\gamma }{2\delta '+\gamma '}},&{\cfrac {3\delta +\gamma }{3\delta '+\gamma '}},&\ldots ,&{\cfrac {t\delta +\gamma }{t\delta '+\gamma '}},&\ldots ,&\left({\cfrac {\varepsilon }{\varepsilon '}}\right),\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81f48804ba2757975a49dbeea59afb52691ec79)
Fractions plus grandes.
![{\displaystyle {\frac {1}{0}},\ \,{\frac {\alpha +1}{\alpha '+1}},\ \,{\frac {2\alpha +1}{2\alpha '+1}},\ \,{\frac {3\alpha +1}{3\alpha '+1}},\,\ \ \ldots ,\quad {\frac {q\alpha +1}{q\alpha '+1}},\quad \ldots ,\quad \left({\frac {\beta }{\beta '}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd692d5582167a56a7f81e0cc5fbdfe3f6df2294)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\cfrac {\gamma +\beta }{\gamma '+\beta '}},&{\cfrac {2\gamma +\beta }{2\gamma '+\beta '}},&{\cfrac {3\gamma +\beta }{3\gamma '+\beta '}},&\ldots ,&{\cfrac {s\gamma +\beta }{s\gamma '+\beta '}},&\ldots ,&\left({\cfrac {\delta }{\delta '}}\right),\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719db3db0c661ea2ece109ec1b04087dbfe7179f)
Quant à la nature de ces fractions, il est facile de prouver, comme nous l’avons fait par rapport aux fractions principales : 1o que chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes ; d’où il s’ensuit que, comme les numérateurs et les dénominateurs vont en augmentant, ces fractions se trouveront toujours exprimées par des termes plus grands à mesure qu’elles s’éloigneront du commencement de la série ; 2o que chaque fraction de la première série approchera de la valeur de
plus qu’aucune autre fraction quelconque qui serait moindre que cette valeur et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction ; et que, de même, chaque fraction de la seconde série approchera plus de la valeur de
que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait plus grande que cette valeur et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction.
En effet, s’il y avait une fraction comme
plus petite que la valeur de
et en même temps plus approchante de cette valeur que la fraction
par exemple, en supposant
il faudrait, à cause que la fraction
est plus grande que la valeur dont il s’agit, que la quantité
se trouvât entre les deux quantités
![{\displaystyle {\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\beta }{\beta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e1355dbdf15e83e37364f30b300521f028a530)
donc la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mu }{\mu '}}-{\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bebaa6cdb4df1776dfb89d22ba85a822cccf4dd)
devrait être
![{\displaystyle <{\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}}<{\frac {\beta \alpha '-\alpha \beta '}{\beta '(3\beta '+\alpha ')}}<{\frac {1}{\beta '(3\beta '+\alpha ')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df9014b9b55164b7c66d53135083a72fd700b05)
donc il faudrait que
fût
ce qui ne se peut.
Au reste, il peut arriver qu’une fraction d’une série n’approche pas si près qu’une autre de l’autre série, quoique conçue en termes moins simples ; mais cela n’arrive jamais quand la fraction qui a le plus grand dénominateur est une fraction principale (no 23).