NOTE XI.
SUR LES FORMULES D’APPROXIMATION POUR LES RACINES DES ÉQUATIONS.
Nous avons vu dans la Note V que la méthode de Newton consiste à substituer successivement dans une même fonction les résultats des substitutions précédentes ; ainsi l’on peut réduire en formule le résultat général de ces substitutions.
1. Soient
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128b0a7be0646fb210ef8b6eeffd29f826eaf3e4)
l’équation proposée, et
la première valeur approchée d’une des racines de cette équation. Suivant la méthode dont il s’agit, on substitue
à la place de
et l’on rejette dans le développement tous les termes où
monte au-dessus de la première dimension.
Par le développement connu des fonctions, l’équation
devient
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97385025a0224c994db96e91b51ff931fe5eb3a3)
et se réduit d’abord à
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a4e1f6a5b3680a34e681707f5407d3738cb5bb)
d’où l’on tire
![{\displaystyle p=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab52875b81d5bb6dccff95e0ee59c7012f2e685)
Ainsi,
étant une première approximation, si l’on fait
on aura
pour seconde approximation, et celle-ci donnera de la même manière, en faisant
la troisième approximation
a+b+c,
et ainsi de suite ; de sorte que la valeur de
sera exprimée la série
![{\displaystyle a+b+c+d+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e5c9d21a831e10e51506a51fa10cf314a373f4)
Or je remarque que, si
est une quantité très-petite, la valeur de
sera très-petite de l’ordre de
car le développement de
donne
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+b\operatorname {F} '(a)+{\frac {b^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2723ec6957bdb777586444ca0fbe3d11f72257a9)
mais
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+b)={\frac {b^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442eb078146e235e003c9d446c3861ebf571aa5d)
donc, puisque
la valeur de
sera aussi du même ordre
De même, la valeur de
sera de l’ordre de
et par conséquent de l’ordre de
car
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+b+c)=\operatorname {F} (a+b)+c\operatorname {F} '(a+b)+{\frac {c^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a+b)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f4285e0ad69fef99a174775efafd7fef515199)
mais
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+b+c)={\frac {c^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a+b)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea3dac3c821818b1ca633456eee138afc66f858)
donc, puisque
la valeur de
sera aussi de l’ordre de
et ainsi de suite. D’où il s’ensuit que, si
est une quantité très-petite, les erreurs des approximations
![{\displaystyle a+b,\quad a+b+c,\quad a+b+c+d,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f533c84d5718047c16697d88b9ec211d761cdbc)
seront respectivement de l’ordre des puissances
de
.
Ce procédé est assez commode pour le calcul arithmétique ; mais, si l’on voulait avoir une formule ordonnée suivant les puissances de
il faudrait développer successivement toutes les fonctions, et l’on trouverait la série
![{\displaystyle a-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\operatorname {F} (a)-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}}\operatorname {F} ^{2}(a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)\operatorname {F} '''(a)-3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2.3\operatorname {F} '^{5}(a)}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57076c685ff42ee6d7baaeb1e8cee2a8f7061b9f)
2. On pourrait parvenir plus simplement à cette formule, en tirant la valeur de
de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30240a69cc87a65cef52c8652113ff4ff0e0894b)
on aurait d’abord
![{\displaystyle p=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\left[{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6027ef0e5b2cedebeee7d42a1931cacda69ab01)
et l’on substituerait successivement les premières valeurs de
dans les termes qui contiennent
ou bien on supposerait tout de suite
![{\displaystyle p=\mathrm {A} \operatorname {F} (a)+\mathrm {B} \operatorname {F} ^{2}(a)+\mathrm {C} \operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e964038afc66403a9f6e1505eddad1562c4ced6e)
et, égalant à zéro les termes affectés des mêmes puissances de
ce qui donnera les équations nécessaires pour la détermination des coefficients indéterminés
on aurait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} \operatorname {F} '(a)+1=0,\\&\mathrm {B} \operatorname {F} '(a)+{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)=0,\\&\mathrm {C} \operatorname {F} '(a)+\mathrm {AB} \operatorname {F} ''(a)+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d99e7d84f009bd60721e68a76f386aa4fe43063)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}},\\\mathrm {C} =&-{\frac {\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2\operatorname {F} '^{5}(a)}}+{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{2.3\operatorname {F} '^{4}(a)}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1adeb0d27925b95a26ddd1b5958d7f85fc5869c)
et la série
![{\displaystyle a+\mathrm {A} \operatorname {F} (a)+\mathrm {B} \operatorname {F} ^{2}(a)+\mathrm {C} \operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9cd7ce4011d74a7574e4af218f66277ae850fe)
sera la même que celle qu’on a trouvée ci-dessus ; ce qui prouve la correspondance des deux méthodes.
3. Mais on peut arriver à ce même résultat par\nue autre méthode plus directe et plus analytique.
La question consiste à tirer de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+p)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353a71fe227877ed8379161e367c0db38392aba0)
la valeur de
en série. Je puis regarder la quantité
comme une fonction d’une autre quantité
et supposer que
devienne
lorsque
deviendra
Ainsi, comme
devient en général
![{\displaystyle a+ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a44eeb3d8e979cb6c1ba20e028aaa7302dddf3)
lorsque
deviendra
on aura
![{\displaystyle p=ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fc3152776044bb740d20e41a72d5e1fb11a276)
comme la quantité
est indétermipée, je puis la supposer telle que l’on ait
alors
deviendra
et l’équation
sera
laquelle donne sur-le-champ
![{\displaystyle i=-\alpha =-\operatorname {F} (a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c1892bf41bf27e09205810ac8de3dce2dfb880)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle p=-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b31686f3e20cc60cdf35653484b509fa00b60bb)
et il n’y aura plus qu’à trouver les valeurs de ![{\displaystyle a',a'',a''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b6f8afb1538b85ed68c955d3910fc93a3fadcd)
Ces valeurs sont les fonctions dérivées de
considérée comme fonction de
or on a pour la détermination de
en
l’équation
donc, si l’on prend les fonctions dérivées relativement à
en regardant
comme la fonction de
et qu’on désigne, comme on l’a fait plus haut, par ![{\displaystyle \operatorname {F} '(a),\ \operatorname {F} ''(a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffbedf2d9998421dae3e2e66b1af9b26238dcc6)
les fonctions dérivées de
par rapport à
les fonctions dérivées de
relativement à
seront
et l’équation
donnera d’abord
d’où l’on tire
![{\displaystyle a'={\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a02e511dbbe583e271da296390d594428bfef12)
et de là, en prenant toujours les fonctions dérivées et substituant cette valeur de
![{\displaystyle {\begin{aligned}a''\ =&-{\frac {a'\operatorname {F} ''(a)}{\operatorname {F} '^{2}(a)}}=-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{\operatorname {F} '^{3}(a)}},\\a'''=&-{\frac {a'\operatorname {F} '''(a)}{\operatorname {F} '^{3}(a)}}+{\frac {3a'\operatorname {F} ''^{2}(a)}{\operatorname {F} '^{4}(a)}}=-{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{\operatorname {F} '^{4}(a)}}+{\frac {3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{\operatorname {F} '^{5}(a)}},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65847a73259e04344dda841003e0ba75b5398604)
On peut trouver ainsi successivement les valeurs de
par lesquelles on pourra continuer aussi loin qu’on voudra la série
![{\displaystyle a-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ad62487e5e6487920866f42c0767c3d7efc71c)
qui exprime la valeur de
dans l’équation
et l’on aura la même série qu’on a trouvée ci-dessus.
Cette formule revient à celle qu’Euler a donnée dans la seconde Partie du Calcul différentiel (Chap. IX, art. 234). On voit par un Mémoire de Courtivron imprimé dans le Volume de l’Académie des Sciences pour l’année 1744, qu’Euler l’avait déjà trouvée à cette époque, et on peut la compter au nombre des découvertes dont il a enrichi l’Analyse. Par la manière dont nous venons de la présenter, elle est une suite naturelle de la théorie du développement des fonctions.
4. Nous allons maintenant rapprocher les résultats précédents de ceux qu’on peut tirer des séries récurrentes. Suivant la méthode exposée dans la Note VI, pour avoir la valeur de la racine
de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b8de6e4a526a0f89fcb4c4a7bf3059025c90a0)
il faudrait développer la fraction
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '(a)+p\operatorname {F} ''(a)+{\cfrac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots }{\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\cfrac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7984cd5d0d80228ca20ba12280d97daa8a3c1d11)
suivant les puissances de
![{\displaystyle p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec80b6ff71db5c68d1afcc45e1b7737dd6f8d171)
et, si
![{\displaystyle \mathrm {T} p^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84642c9193b5804128ec5cbc23959f42328d6c5d)
et
![{\displaystyle \mathrm {V} p^{\mu +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb5d21cc92899f45cbc95bf93eb35079d40b1dc)
sont deux termes consécutifs, on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {T}{V}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8737382683438798e9e322fa6e26ade71e95738b)
pour la valeur de
![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
d’autant plus exacte que ces termes seront plus éloignés du commencementde la série.
Dans la méthode ordinaire, les termes d’une série récurrente se forment les uns d’après les autres ; mais cette manière, qui est très-commode pour le calcul-arithmétique, n’est pas propre à donner le terme général en fonction des coefficients de l’équation, et il faut pour cela employer d’autres moyens.
5. Pour donner à cette recherche toute la généralité dont elle est susceptible, je vais considérer la fonction fractionnaire
![{\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2aff352795545fd8a22127a90632a7b1f401c0)
dans laquelle je suppose que
et
sont des fonctions de
telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=&\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,\\\varphi (x)=&\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\mathrm {S} x^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3eb324291aef49bd9ff7b12d32e591b91ee0cc)
Je représente par
![{\displaystyle (0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff0858ae3763c45a9208f7d71db408b48f0638f)
la série résultante du développement de cette fonction suivant les puissances de
et je me propose de trouver l’expression du coefficient (n) de la puissance ![{\displaystyle x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db799005f97162ed8244bbded6d5bf67cda6f01c)
Je commence par développer la fonction suivant les puissances de
j’ai la série
![{\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{u-x}}-{\frac {\varphi (x)f(x)}{(u-x)^{2}}}+{\frac {\varphi (x)f^{2}(x)}{(u-x)^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436409a68ff812053c37e0132c3fb8fd719625f8)
Je considère chacune de ces fractions en particulier, et je cherche les termes multipliés par
qui peuvent résulter de leur développement.
La fraction
donne la série connue
![{\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {x}{u^{2}}}+{\frac {x^{2}}{u^{3}}}+{\frac {x^{3}}{u^{4}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b95440293a270ad53d6062550ff7425bc10af5e)
laquelle, étant multipliée par la série représentée par
![{\displaystyle \varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970e4f02549ef1e5eaee7ab4f198c406ae5ff632)
donnera les termes suivants affectés de
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {P} }{u^{n+1}}}+{\frac {\mathrm {Q} }{u^{n}}}+{\frac {\mathrm {R} }{u^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {S} }{u^{n-2}}}+\ldots \right)x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b7c8831b4719f3dcccabe84c3c2e6bcd209f6f)
où il faut remarquer, que, comme les puissances de
dans les dénominateurs vont en diminuant, il faudra s’arrêter au terme divisé par
.
6. Or, si l’on considère la fonction
qu’on la divise par
qu’ensuite on y change
en
et qu’on ne retienne que les termes divisés par
ou par des puissances de
il est aisé de voir qu’on aura de cette manière la série qui multiplie
Donc la partie multipliée par
provenant de la fonction
pourra être représentée par
en ayant soin de ne retenir que les termes de
qui auront
au dénominateur.
De la même manière, si l’on cherchait la partie multipliée par
provenant du développementde la fraction
suivant les puissances de
on trouverait
en ne retenant dans
que les termes qui auraient une puissance de
au dénominateur. La quantité
est donc identique avec le coefficient de
dans le développement de
donc l’identité subsistera encore entre les fonctions dérivées relativement à
d’où il suit que la fonction dérivée de
que nous dénoterons par
sera égale au coefficient de
dans le développement de la fonction dérivée de
relativement à
.
Or, comme
ne se trouve ici que dans le dénominateur, et que la fonction dérivée de
est
on en conclura tout de suite que
sera la partie du développement de
qui sera multipliée par
en ayant toujours soin de ne retenir, dans la fonction
et par conséquent aussi dans sa fonction dérivée
les termes qui auront
au dénominateur.
On trouvera pareillement que la partie multipliée par
dans le développement de
suivant les puissances de
sera exprimée par
en ne retenant que les termes divisés par des puissances de
donc l’identité subsistera encore à l’égard des fonctions dérivées relativement à
par conséquent, la seconde fonction dérivée de
relativement à
que nous dénoterons par
sera encore égale à la partie affectée de
dans le développement de la seconde fonction dérivée de
Mais la première fonction dérivée de
étant
la seconde sera
donc, divisant par
on en conclura que
sera la partie du développement de
qui sera multipliée par
en ayant soin de ne retenir dans la valeur de
que les termes divisés par des puissances de
.
On prouvera, par une analyse semblable, qu’en dénotant par
la troisième fonction dérivée, relativement à
de la fonction
et supposant qu’on ne retienne dans cette fonction que les termes divisés par des puissances de
la partie multipliée par
dans le développement de
suivant les puissances de
sera exprimée par
et ainsi de suite.
Donc, en rassemblant toutes ces parties, on aura l’expression complète du terme
du développement de la quantité
suivant les puissances positives de
et l’on trouvera
![{\displaystyle (n)={\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}+\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'+\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\left[{\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}}\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c17d9eabc98caa135e894e797d2fe63638d1b91)
en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de
.
7. Nous remarquerons ici que, en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant
on pourra avoir les expressions des termes multipliés par
dans les développements de
de
de
Ainsi en désignant par
les fonctions dérivées, première, seconde, … de la fonction de
désignée par
on aura
![{\displaystyle -(n)'x^{n},\quad -(n)''{\frac {x^{n}}{2}},\quad -(n)'''{\frac {x^{n}}{2.3}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e593023c501cf754570adfc3a634908932f1986f)
pour les expressions des termes dont il s’agit. Et, pour avoir les valeurs de
il n’y aura qu’à ajouter un trait, deux traits, … aux fonctions
de l’expression de ![{\displaystyle (n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15972a1838e24e8b564d74e1eaa13dfc963dcdf1)
8. Supposons qu’on demande le terme général
de la série provenant du développement de la fraction rationnelle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P+Q} x}{1-2x\cos \omega +x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b00ed2170d1ed513c1c691d30794fbe0fd1722)
On divisera d’abord le numérateur et le dénominateur par
pour le réduire à la forme
et l’on aura, par la comparaison avec cette formule,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (x)=&{\frac {\mathrm {P} }{2\cos \omega }}+{\frac {\mathrm {Q} }{2\cos \omega }}x,\\f(x)=&{\frac {x^{2}}{2\cos \omega }},\\u=&{\frac {1}{2\cos \omega }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8eba8ff1eee4bb2961f918f936192fa6f5c058)
Donc on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (u)\ \,=&{\frac {\mathrm {P} }{2\cos \omega }}+{\frac {\mathrm {Q} }{2\cos \omega }}u,\\f(u)\ \,=&{\frac {u^{2}}{2\cos \omega }},\\f^{2}(u)=&{\frac {u^{4}}{(2\cos \omega )^{2}}},\\f^{3}(u)=&{\frac {u^{6}}{(2\cos \omega )^{3}}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbc3257312293e1a7c9c6e2dc4d29b5c76ad20f)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}\quad =&{\frac {\mathrm {P} u^{-n-1}}{2\cos \omega }}\,\ \ +\ \ {\frac {\mathrm {Q} u^{-n}}{2\cos \omega }},\\{\frac {\varphi (u)f(u)\ \,}{u^{n+1}}}=&{\frac {\mathrm {P} u^{-n+1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {\mathrm {Q} u^{-n+2}}{(2\cos \omega )^{2}}},\\{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{u^{n+1}}}=&{\frac {\mathrm {P} u^{-n+3}}{(2\cos \omega )^{3}}}+{\frac {\mathrm {Q} u^{-n+4}}{(2\cos \omega )^{3}}},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921808d530b7eee48210a73e62949e1c13da051d)
En prenant les fonctions dérivées par rapport à
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\varphi (u)f(u)\ \,}{u^{n+1}}}\right]'\ =&-{\frac {(n-1)\mathrm {P} u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}-{\frac {(n-2)\mathrm {Q} u^{-n+1}}{(2\cos \omega )^{2}}},\\\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''=&{\frac {(n-3)(n-2)\mathrm {P} u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}+{\frac {(n-4)(n-3)\mathrm {Q} u^{-n+2}}{2(2\cos \omega )^{3}}},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5710b91c6aa52247c7106326855f49d665e994c5)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n)&=\mathrm {P} \left[{\frac {u^{-n-1}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-1)u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}\ \ \ +{\frac {(n-3)(n-2)u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[{\frac {u^{-n}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-2)u^{-n+1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-4)(n-3)u^{-n+2}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1023e9f38f88bdf49635508414ad83180c0875e1)
où il n’y aura plus qu’a substituer au lieu de
sa valeur ![{\displaystyle {\frac {1}{2\cos \omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c28c09c1e20d01fa96f9fff15bdf1b53c40dbb)
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n)&=\mathrm {P} \left[(2\cos \omega )^{n}-(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}+{\frac {(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-5)(n-4)(n-3)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-6}+\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[(2\cos \omega )^{n-1}-(n-2)(2\cos \omega )^{n-3}+{\frac {(n-4)(n-3)}{2}}(2\cos \omega )^{n-5}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-6)(n-5)(n-4)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-3}+\ldots \right],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1e37ce808435daabfa73c3769c10518dfff888)
où il suffira de ne point admettre de puissances négatives de ![{\displaystyle \cos \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd489ce07147c06e7713b1ca58454d398e1a87b)
Cette expression peut se réduire à une forme plus simple en employant les formules connues des sinus des angles multiples ; on aura par ce moyen
![{\displaystyle (n)=\mathrm {P} {\frac {\sin(n+1)\omega }{\sin \omega }}+\mathrm {Q} {\frac {\sin n\omega }{\sin \omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ea7e40f8b188742dfbe333a8382e3c172a711a)
comme Euler l’a trouvé dans l’Introduction à l’Analyse ; mais la formule précédente a l’avantage de pouvoir s’appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque.
En effet, pour la fraction
on aura le terme général
et, en prenant la fonction dérivée de l’expression de
en
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} \left[{\frac {(n+1)u^{-n-2}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-1)nu^{-n-1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)u^{-n}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[{\frac {nu^{-n-1}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-2)(n-1)u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8f31e20b0b01a61611a56f889bcb167d4168d)
et, substituant pour
sa valeur
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} {\biggl [}(n+1)(2\cos \omega )^{n+1}-(n-1)n(2\cos \omega )^{n-1}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{2}}(2\cos \omega )^{n-3}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} {\biggl [}n(2\cos \omega )^{n}-(n-2)(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}-\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac7b8bd4209c786924d94c9ea3c1d40de92da75)
où il suffira aussi de pousser les séries jusqu’aux puissances négatives de
![{\displaystyle \cos \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37b8f211b8a478b2911ced89a0af37917bd7382)
exclusivement, et ainsi de suite.
9. Reprenons maintenant l’expression générale en
du coefficient
de la puissance
dans le développement de la fraction
et supposons que le numérateur
soit
ou plus généralement de la forme
c’est-à-dire qu’il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement par une fonction
qu’on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de
au lieu de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}-{\frac {\psi (u)f'(u)}{u^{n+1}}}&+\left[{\frac {\psi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'\ \ \,-\left[{\frac {\psi (u)f(u)f'(u)}{u^{n+1}}}\right]'\\&+\left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''-\left[{\frac {\psi (u)f'(u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4303f4f73b2ce41f9331628a29c78054249135)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'f(u),\\\left[{\frac {\psi (u)}{2u^{n+1}}}f^{2}(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7465d10af1796ee8aef325875c21bceb0968a0)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''=\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)\right]'+\left\{\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}}\right\}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49c42a234b2e2eb4c50eeff0145ecc938aa8054)
Donc, faisant ces réductions et supposant, pour abréger,
![{\displaystyle \Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcb53ef5f1a46bb518ba1a2ab43deb907ad6d8b)
on aura
![{\displaystyle (u)=\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f8a41af46d1b644975217e0c5156bc35ddf998)
Cette formule servira à trouver l’expression du terme général
dans le développenent de la fraction
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd89f07f9e3b0e7a1b934050733475add33a253f)
suivant les puissances de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
pourvu qu’on ait soin de ne retenir que les termes qui contiennent des puissances négatives de
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
.
10. Supposons
et par conséquent
on aura le terme général
du développement de la fraction
Or, si
sont les racines de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
ce terme sera exprimé par
![{\displaystyle \left({\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {1}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right)x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41cca164ea5ce7f8c78fa2fe4e1ce0d6bb7ef55)
par ce qu’ona démontré dans la Note VI (no 6). On aura donc, en mettant
à la place de ![{\displaystyle n+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b856655b234042054bfe82712a0d020ce8b64ca)
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n}}}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92c1c7519990c80b04068bd2ecfbce7c098b9bd)
![{\displaystyle u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94500b3a242cf07cdf8c74cdd3d2504f9116e150)
en ne conservant que les puissances négatives de
.
11. Soit proposée, par exemple, l’équation
![{\displaystyle a-bx+cx^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e670d74374996b3109a2743d57302b6b662f6137)
dont les racines soient
et ![{\displaystyle \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7eccdb23980e06f136fbea999c8e96e7db1b6b)
On la divisera par
pour la réduire à la forme
on aura
et la valeur de
sera
Donc, changeant
en
dans
, on aura
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(u^{-n}\right)'f(u)\ \,=&-{\frac {ncu^{-n+1}}{b}},\\\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)=&-{\frac {nc^{2}u^{-n+3}}{b^{2}}},\\\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)=&-{\frac {nc^{3}u^{-n+5}}{b^{3}}},\\..\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef55af604be1db92a311ce9c3557b0c5476bdacf)
Donc
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d251891c7114f5a476d32dffb9db07545ff47c0)
![{\displaystyle u^{-n}-{\frac {nc}{b}}u^{-n+1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}u^{-n+2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}u^{-n+3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc677dd1f2fda5f0dd1faa17cf6f5f6ef9efc60)
où il n’y aura plus qu’à faire
On aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d251891c7114f5a476d32dffb9db07545ff47c0)
![{\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8bd18d635a87285f49095df984f02461a761dc)
en continuant cette série tant qu’il y aura de puissances positives de ![{\displaystyle {\frac {b}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce05674bdb462f449549f54de5a49f2a4b8edc2)
Si l’on voulait avoir la somme des puissances positives
il n’y aurait qu’à considérer l’équation
![{\displaystyle ax^{2}-bx+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731dd11e89c2d3baf6aa4ea1c96c4ff6667f12f7)
qui résulte de l’équation précédente, en changeant
en
et dont les racines sont par conséquent
et
ce qui ne demande que de changer
en
et
en
On aura donc ainsi
![{\displaystyle \alpha ^{n}+\beta ^{n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a042db449af60d01fa41455ba16015561dd474)
![{\displaystyle \left({\frac {b}{c}}\right)^{n}-{\frac {na}{b}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)a^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)a^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b5876c6ef20e1c1e5d68d573368bd11b9ae538)
12. En général,
étant les racines de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
on aura
![{\displaystyle u-x+f(x)=k(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772e50581e9d4ab1826804e7d6439a8dc5fdd4f9)
étant le coefficient de la plus haute puissance de
et prenant les fonctions dérivées de part et d’autre,
![{\displaystyle -1+f'(x)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0bdffdd72f6f38483850004e7655ad28721692c)
![{\displaystyle k(x-\beta )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\beta )\ldots +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f4227840cd82fe2e7e86592d600ab391c3988f)
donc, divisant et changeant les signes,
![{\displaystyle {\frac {1-f'(x)}{u-x+f(x)}}={\frac {1}{(\alpha -x)}}+{\frac {1}{(\beta -x)}}+{\frac {1}{(\gamma -x)}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7244234b15274ba77674afde7b5f8c70e589c3)
et, multipliant par
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}={\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (x)}{\beta -x}}+{\frac {\psi (x)}{\gamma -x}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b009e548a9109edb0eba405df8cf1b309b559ad)
Or,
étant supposé une fonction entière de
on pourra la diviser par
jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste sans
et, pour trouver tout de suite ce reste, il n’y a qu’à considérer que
est divisible par
le quotient étant une fonction entière de
et
que nous désignerons par
et, si
est une fonction du degré
il est clair que
sera du degré
Donc, puisque
![{\displaystyle \psi (\alpha )-\psi (x)=\operatorname {F} (x,\alpha ).(\alpha -x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c707ca5f0d14e35e1fd988945cb0e04441651529)
on aura
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (\alpha )-\operatorname {F} (x,\alpha ).(\alpha -x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c93921e68b88ff90d7a388d971399e4643341c)
donc
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}=-\operatorname {F} (x,\alpha )+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ed4cc9f53860b6d1efefc2bfd472a4e6aef825)
On trouvera de même
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\beta -x}}=-\operatorname {F} (x,\beta )+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3915585806adb761669ef87549145effaca139)
et ainsi des autres. Donc, en faisant ees substitutions, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}=&-\operatorname {F} (x,\alpha )-\operatorname {F} (x,\beta )-\operatorname {F} (x,\gamma )-\ldots \\&+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma -x}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685fa62a2624e82a06df27ddf04d5ac571bb9066)
En résolvant ces fractions en séries, on aura, après les
premiers termes, dans lesquels se fondent les parties entières
une suite régulière dont le terme général sera
![{\displaystyle \left[{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right]x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59df9be6b75cfc987e843f093693cde8347e8718)
de sorte qu’on aura,
étant ![{\displaystyle >m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e606a381d5fa5ffb0bc46e9a132ca4b7b23fd9)
![{\displaystyle (n)={\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e376fd3f87cf1d3bf13fb65a6c76a08ed7a77718)
C’est le terme général de la suite récurrente qui résulte de la fraction
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70569454974869cc3548b0001422509ab3b542c)
exprimé par les racines
de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a229b0f5477dcf1bd2e808adf049be7e549d76c)
En comparant cette expression avec l’expression générale de
en
trouvée ci-dessus et mettant, pour plus de simplicité,
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots =&\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'\\&+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5d2622bc4cf284d7f8509cfd781b9dec86779b)
où
et où l’on ne doit retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de
.
13. Supposons maintenant que l’exposant
soit infiniment grand, en sorte que le terme
auquel il répond dans la série récurrente, soit pris à une très-grande distance de l’origine ; on pourra alors regarder la fonction
comme ne contenant que des puissances négatives de
et même toutes les fonctions
comme ne contenant aussi que des puissances négatives de
du moins, cette supposition sera d’autant plus exacte que le nombre
sera plus grand. Dans cette hypothèse, il n’y aura aucun terme à rejeter dans l’expression de
et l’on pourra regarder la série
![{\displaystyle \Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ad836c39e074ea54fe5f5137415d5076f72e46)
comme allant à l’infini sans aucune interruption.
14. Or j’observe que toute série de cette forme, dans laquelle
et
sont des fonctions quelconques de
a cette propriété remarquable que, si on la multiplie par une autre série semblable, dans laquelle, à la place de la fonction
il y ait une autre fonction quelconque
le produit sera encore une série semblable, mais dans laquelle il y aura
à la place de
En effet, si l’on multiplie ensemble les deux séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\\\Pi (u)+\Pi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d775175abcc07756c5b9a68fd3e879b3c6a479)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)\right]f(u)\\&+\Psi (u)\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\Psi '(u)\Pi '(u)f^{2}(u)\\&+\Pi (u)\left[{\frac {\psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be20c0e06a911358f2f0160780ace7f6faa08e21)
Or
![{\displaystyle \Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9cef419e245fc7ccf95b65141f034735c831e4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Pi ''(u)f^{2}(u)+\Pi '(u)f(u)f'(u),\\\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Psi ''(u)f^{2}(u)+\Psi '(u)f(u)f'(u)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4819b6df8abac94800cd2f687fa413a394170c)
donc la série devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)+[\Psi (u)\Pi (u)]'f(u)\\&+{\frac {1}{2}}\left[\Psi (u)\Pi ''(u)+2\Psi '(u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi ''(u)\right]f^{2}(u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)f'(u)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd0e848557f44fbc7535ebf22d2f22ad3f60aa7)
savoir
![{\displaystyle \Psi (u)\Pi (u)+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)+\left\{{\frac {\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f^{2}(u)}{2}}\right\}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b3bd2a771cb9ba059f877cb2d8a162af687a11)
Et l’on trouvera la même chose en poussant la multiplication plus loin et en rassemblant les termes qui contiennent les mêmes dimensions de
![{\displaystyle f(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b282ccf3cf0f2b0b601e8629d61612d4951098)
.
Donc, en général, si l’on dénote par
la série qui contient la fonction
et de même par
la série qui contient
la fonction
demeurant la même dans les deux séries, il résulte de ce que nous venons de trouver que l’on aura
![{\displaystyle \left[\Psi (u)\right]\left[\Pi (u)\right]=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e76305281aaf58966445d2994a7dc0a6e4fc9d)
et, comme cette propriété a lieu quelles que soient les fonctions
et
si l’on fait
on aura
![{\displaystyle \left[\Psi (u)\right]\left[\Pi (u)\right]=\left[\Phi (u)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd2e4cfdbb75c9e95acbe959a9718b25a8f792a)
donc
![{\displaystyle \left[\Pi (u)\right]={\frac {\left[\Phi (u)\right]}{\left[\Psi (u)\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f5b0cfc49929d17a2afccfb016ee7ba04cc82a)
Mais
donc
![{\displaystyle {\frac {\left[\Phi (u)\right]}{\left[\Psi (u)\right]}}=\left[{\frac {\Phi (u)}{\Psi (u)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765efbba80e9a4b26fc668be56025a45c7af3baf)
c’est-à-dire que le quotient de deux séries semblables, lesquelles contiennent deux fonctions différentes
et
sera aussi une semblable fonction qui contiendra le quotient de ces mêmes, fonctions.
15. Donc, si l’on prend deux nombres très-grands
et
dont la différence
soit un nombre quelconque positif ou négatif, le quotient de la quantité
![{\displaystyle {\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bed88222150c74ba74e82aa6ed3705ca087fc8)
divisée par la quantité
![{\displaystyle {\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+r}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+r}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+r}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ce27db43dc8339760971e87aff0f622fd80613)
sera exprimé par la série infinie
![{\displaystyle \Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a378f0d671aaa5d0489472282ced18b926f0988c)
en faisant
divisé par
c’est-à-dire ![{\displaystyle \Psi (u)=u^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd81f17828a851ade5152c6fd1d1e5ee33734783)
D’un autre côté,
étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers termes
et
étant la plus petite des racines
Donc le quotient de la première des quantités divisée par la seconde se réduira à
d’où résulte ce théorème très-remarquable :
Si
est la plus petite des racines de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b542f724f3c698219e2f944ce46e1a4f6781e69)
étant un nombre quelconque positif ou négatif.
Ainsi l’on a, par cette formule, non-seulement la racine
mais encore une puissance quelconque de la même racine.
16. Si l’on fait maintenant
étant un nombre fini quelconque, et que l’on compare cette formule avec celle qu’on a donnée plus haut pour la valeur de
on en tirera la conclusion suivante très-singulière :
Si, dans la formule
![{\displaystyle u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94500b3a242cf07cdf8c74cdd3d2504f9116e150)
on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de
elle donne la valeur de la somme des puissances
de toutes les racines
et, si l’on y conserve tous les termes, elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine
17. Ainsi, comme nous avons déjà trouvé plus haut, pour les racines
et
de l’équation
on a la formule
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d251891c7114f5a476d32dffb9db07545ff47c0)
![{\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8bd18d635a87285f49095df984f02461a761dc)
en ne continuant la série que tant qu’il y a de puissances positives de
si l’on continue cette même série à l’infini sans aucune interruption, on aura alors la valeur du seul terme
en prenant pour
la plus petite des deux racines
et
et même on pourra y faire
positif ou négatif à volonté.
Les deux racines de l’équation
étant
et
celles de l’équation
seront
et
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}={\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},\quad {\frac {1}{\beta }}={\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207a7ab6ca1a10f93ed5de462660fa7414a4688c)
étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série
![{\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911131d057ae0d41ec663fbc53476cac4cc4dbb5)
en ne retenant que les puissances positives de
c’est-à-dire les puissances négatives de
sera égale à
![{\displaystyle {\frac {\left(b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)^{n}+\left(b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)^{n}}{(2a)^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7b5d2555d05dbb01b50ea7fd05a57f26a2e424)
étant un nombre entier quelconque, et, si l’on continue la série à l’infini, elle deviendra égale à
![{\displaystyle \left({\frac {b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362a1abbb1cbef2e5e3a32eb229230adcac63320)
étant un nombre quelconque positif ou négatif.
La première partie de cette proposition est facile à vérifier par le simple développement des puissances
ièmes, puisque le radical
disparaît de lui-même, et d’ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.
Pour vérifier l’autre partie, il faut réduire en série le radical lui-même. Ainsi, en faisant, par exemple,
la série devient
![{\displaystyle {\frac {b}{a}}-{\frac {c}{b}}-{\frac {2ac^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {3.4a^{2}c^{4}}{2.3b^{5}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904a78460cd883266db3b9cdbc28c7ec8c2a055f)
laquelle peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {b}{2a}}+{\frac {b}{2a}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {2c}{b}}+{\frac {1.1}{2.4}}.{\frac {8ac^{2}}{b^{3}}}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}.{\frac {32a^{2}c^{3}}{b^{5}}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ae340810b5607fd64f9b45a903254ea51aca5c)
Or cette série est évidemment égale à
![{\displaystyle {\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f15558c7203352cd8f59c33e7e0f1831352016)
18. Soit l’équation indéfinie
![{\displaystyle a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c7cbd35e08f096d4d1e142e4eebfb158fbcdc8)
on fera, dans la formule générale du théorème ci-dessus,
![{\displaystyle f(u)={\frac {cu^{2}-du^{3}+eu^{4}-fu^{5}+\ldots }{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a94057fda2ed95b1c94f8bf859b65ae1bc797d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}(u)=&{\frac {c^{2}u^{4}-2cdu^{5}+(d^{2}+2ce)u^{6}+\ldots }{b^{2}}},\\f^{3}(u)=&{\frac {c^{3}u^{6}-3cdu^{7}+\ldots }{b^{3}}},\\f^{4}(u)=&{\frac {c^{4}u^{8}-\ldots }{b^{4}}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9984dd023663691f9377d8ac4a896baad248964)
Or
![{\displaystyle \left(u^{r}\right)'=ru^{r-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92861c9f23988602c11954e5c84aa09674d9e3c)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(u^{r}\right)'f(u)\ \,=&r{\frac {cu^{r+1}-du^{r+2}+eu^{r+3}-fu^{r+4}+\ldots }{b}},\\\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)=&r{\frac {c^{2}u^{r+3}-2cdu^{r+4}+\left(d^{2}+2ce\right)u^{r+5}+\ldots }{b^{2}}},\\\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)=&r{\frac {c^{3}u^{r+5}-3cdu^{r+6}+\ldots }{b^{3}}},\\\left(u^{r}\right)'f^{4}(u)=&r{\frac {c^{4}u^{r+7}+\ldots }{b^{4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a37de1dcae97dddef021ff3ba111fc4b085c5d)
Prenant les fonctions dérivées et substituant dans la formule dont il s’agit, on aura, après avoir fait
et changé
en
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{r}=&{\frac {a^{r}}{br^{2}}}+r\left({\frac {a^{r+1}c}{b^{r+2}}}-{\frac {a^{r+2}d}{b^{r+3}}}+{\frac {a^{r+3}e}{b^{r+4}}}-{\frac {a^{r+4}f}{b^{r+5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {r}{2}}\left[{\frac {(r+3)a^{r+2}c^{2}}{b^{r+4}}}-{\frac {(r+4)a^{r+3}.2cd}{b^{r+5}}}+{\frac {(r+5)a^{r+4}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{r+5}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {r}{2.3}}\left[{\frac {(r+5)(r+4)a^{r+3}c^{3}}{b^{r+6}}}-{\frac {(r+6)(r+5)a^{r+4}.3cd}{b^{r+7}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {r}{2.3.4}}\left[{\frac {(r+7)(r+6)(r+5)a^{r+4}c^{4}}{b^{r+8}}}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b988c83b725854b8a7a0f9426a37012073ab4b6)
19 Si
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {a^{3}d}{b^{4}}}+{\frac {a^{4}e}{b^{5}}}-{\frac {a^{5}f}{b^{6}}}+\ldots \\&+{\frac {2a^{3}c^{2}}{b^{5}}}-{\frac {5a^{4}cd}{b^{6}}}+{\frac {3a^{5}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{7}}}+\ldots \\&+{\frac {5a^{4}c^{3}}{b^{7}}}-{\frac {21a^{5}cd}{b^{8}}}+\ldots \\&+{\frac {14a^{5}c^{4}}{b^{9}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f42ebb8c089fff7989ce6ee6ab7d65dd25977db)
C’est-la formule connue de Newton, pour le retour des suites, qu’on
n’avait encore trouvée que par la méthode des indéterminées. L’analyse précédente, en même temps qu’elle donne la loi de cette formule et le moyen de la continuer aussi loin qu’on voudra, fait voir que la valeur de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
qu’elle exprime est la plus petite des racines de l’équation proposée.
20. Si l’on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur de
dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b8de6e4a526a0f89fcb4c4a7bf3059025c90a0)
que nous avons considérée au commencement de cette Note, il n’y aura plus qu’à substituer
au lieu de
et
au lieu de
on aura ainsi
![{\displaystyle p=-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\operatorname {F} (a)-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}}\operatorname {F} ^{2}(a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)\operatorname {F} '''(a)-3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2.3\operatorname {F} '^{5}(a)}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f0ec98812ec8d8de8f12fd92b8f238827e58e6)
ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.
Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donnée plus haut. En effet, puisque
est une des valeurs de
ce théorème peut se présenter ainsi.
21. L’équation
![{\displaystyle x=u+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938e25f5094371340e6566f5aa6a5edab45025e)
donne, en général
![{\displaystyle x^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1d4d6c533ea5f1c28a3db53c615f09851434ca)
Or, soit
une fonction quelconque donnée de
on peut la supposer réduite à la forme
![{\displaystyle \mathrm {M} x^{r}+\mathrm {N} x^{s}+\mathrm {P} x^{t}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d18b1dc68da4bce9df362eec1669f602d14ae2)
ainsi, pour la valeur de
il n’y aura qu’à ajouter ensemble les
valeurs de
![{\displaystyle x^{r},x^{s},x^{t},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682769d3a2bc3fd10e5925ef2a4747e685c3583a)
multipliées respectivement par
![{\displaystyle \mathrm {M,N,P} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c160eca462bd50bfea006e7b8ee21937b3ae73d1)
on aura par ce moyen une formule dans laquelle, à la place de
![{\displaystyle u^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51edaacbc21527ed989975d96d819310f7dacde2)
il y aura
![{\displaystyle \mathrm {M} u^{r}+\mathrm {N} u^{s}+\mathrm {P} u^{t}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c66445e310fe13f8f7b58ea9b82641b908dc84b)
c’est-à-dire
, et par conséquent
à la place de ![{\displaystyle \left(u^{r}\right)'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e22b6dffc6bce8218f93c2c9888482f861c02da)
De là résulte enfin ce nouveau théorème, remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité :
L’équation
![{\displaystyle x=u+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938e25f5094371340e6566f5aa6a5edab45025e)
donne
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=\operatorname {F} (u)+\operatorname {F} '(u)f(u)+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{2}(u)\right]'+{\frac {1}{2.3}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{3}(u)\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73eb12caa7a85eceebb8db677338caf23e56159)
où les fonctions désignées par les caractéristiques
et
peuvent être quelconques.
En effet ce théorème, présenté de cette manière, est indépendant de la considération des racines et n’est plus qu’un résultat de la transformation des fonctions, qu’on peut vérifier par l’élimination successive de
ou de
J’ai donné le premier ce théorème dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1768 ; j’y étais parvenu par une analyse à peu près semblable à la précédente, mais moins rigoureuse. Plusieurs géomètres se sont occupés depuis à le démontrer a posteriori par le développement des fonctions ; mais Laplace en a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1777, une démonstration directe et élégante, tirée du Calcul différentiel ; c’est cette démonstration que j’ai transportée dans la Théorie des fonctions (no 99).
Il est bon de remarquer qu’en faisant
l’équation
devient
laquelle peut représenter une équation quelconque en
et l’on aura la valeur d’une fonction quelconque
en faisant
dans la série
![{\displaystyle \operatorname {F} (u)+\operatorname {F} '(u)f(u)+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{2}(u)\right]'+{\frac {1}{2.3}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{3}(u)\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9005abd8ef3e9d8d06062cc15a512a6695299777)
après le développement des fonctions, ce qui est beaucoup plus simple.
22. Avant de terminer cette Note, je vais faire voir comment la méthode du no 13 pour résoudre par approximation l’équation
peut être appliquée à la résolution simultanée de plusieurs équations à plusieurs inconnues.
Supposons que l’on ait deux équations entre les deux inconnues
et
que nous désignerons en général par
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588afb53e6e5b914b03249d2353b4b3811167482)
Supposons en même temps que l’on connaisse déjà deux valeurs approchées
et
de
et
, en sorte qu’en faisant
les quantités
et
aient des valeurs fort petites. Il s’agira de tirer ces valeurs des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+p,b+q)=0\quad f(a+p,b+q)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08e0843b85c4d0783e199e18978333cbbca845c)
Suivant l’esprit de la méthode de Newton, on développerait les deux fonctions en séries ; les deux équations deviendraient ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (a,b)+\mathrm {M} p+\mathrm {N} q+\ldots =&0,\\f\,(a,b)+mp+n\,q+\ldots =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9101998959b2a2e5e635c368ba49f9fd5a31980b)
d’où l’on tire pour première approximation
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {\quad \mathrm {N} f(a,b)-n\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\p=&{\frac {-\mathrm {M} f(a,b)+m\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834b558ed7159bc22dfb46174257fe7db020d327)
Ainsi,
et
étant les premières valeurs approchées de
et
seront des valeurs plus approchées, qu’on pourra substituer à la place de
et
dans les fonctions
et
et, désignant par
ces nouvelles valeurs de
et
on aura
et
pour les valeurs de
et
encore plus approchées, et ainsi de suite.
Ce procédé a été donné par Thomas Simpson dans ses Essais sur plusieurs sujets mathématiques, et il est assez commode pour le Calcul arithmétique ; mais il serait difficile d’en tirer des expressions de
et
en séries ordonnées suivant les puissances des quantités
et
qui expriment les erreurs provenantes des premières suppositions, et surtout d’avoir la loi de ces séries ; voici comment on peut y parvenir.
On regardera les quantités
et
comme des fonctions quelconques de deux autres quantités
et
de manière que, ces quantités devenant
et
les quantités
et
deviennent
et
et l’on supposera que ces fonctions soient telles que
et
ce qui donnera en mettant
et
au lieu de
et
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+p,b+q)=\alpha +i\quad f(a+p,b+q)=\beta +o\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ecd990cf59181ff9e6be9458cfdc50ea35ac40)
de sorte que les équations proposées deviendront alors
![{\displaystyle \alpha +i=0,\quad \beta +o=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041b2da07272e1cd2121b58a66236ab7f0ac8db2)
d’où l’on tire
![{\displaystyle i=-\alpha =-\operatorname {F} (a,b),\quad o=-\beta =-f(a,b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8fe0ace926aa704fa8a6acbbaf48a1b7d0932a)
Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées, indiquée dans la Note précédente (no 9), les fonctions
et
des quantités
et
lorsque ces quantités deviennent
et
se développent dans les séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a+\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)i+\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)o+\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right){\frac {i^{2}}{2}}+\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right)io+\left({\frac {a''}{\beta '^{2}}}\right){\frac {o^{2}}{2}}+\ldots ,\\&b\,+\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)i+\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)o+\left({\frac {b''}{\alpha '^{2}}}\right){\frac {i^{2}}{2}}+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)io+\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right){\frac {o^{2}}{2}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6d79a766b34a747e4d55362ccd01e0de27f7fc)
Donc, substituant
pour
et
pour
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&-\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a''}{\beta '^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b2cd5daa95acc987ac17d131a9c97bc9e344d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&-\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta ''^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51a86fed27aee443b29531353250d31d9c96495)
où il n’y aura plus qu’à substituer les valeurs des fonctions partielles
qu’on tirera des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (a,b)=\alpha \quad {\text{et}}\quad f(a,b)=\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5467657dee6ee2ea2e496e7b343310df80e52ff9)
en prenant successivement les fonctions dérivées relativement à
et
et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.
Ainsi l’on aura d’abord
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&1,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&0,&\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&1.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0496c05e6ab9e737ce0afadd589255ad567ba1d)
Mais on a en général, relativement à
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(a,b)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)b',\\f'(a,b)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)b'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2454334781cb380df01e2ec4ae4adcf6924fb1ab)
donc, en regardant
et
comme fonctions de
et
on aura, relativement à chacune de ces quantités en particulier,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=1,\\\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01b0d99985cac567f8767133b31d005a21136ff)
d’où l’on tirera les valeurs des quatre fonctions dérivées partielles du premier ordre
![{\displaystyle \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\quad \left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\quad \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right),\quad \left({\frac {b'}{\beta '}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093d9482e855dc62416746afd1efc295ceba1786)
exprimées par les fonctions partielles
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right),\ \ \left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right),\ \ \left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right),\ \ \left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e206dc84dad4b47e670cf83089ce5b745c476d)
qui sont faciles à déduire des fonctions données
en prenant leurs fonctions dérivées, relativement à
et
en particulier.
Ensuite, en prenant de nouveau les fonctions dérivées des valeurs
relativement à
et
on aura les valeurs de ![{\displaystyle \left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9e9ff121ccf7ee51b14c02d1002a652fe9e872)
et ainsi de suite.
Si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)=&\mathrm {M} ,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)=&\mathrm {N} ,\\\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)=&m,&\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)=&n,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5b0ead3fecb9d914fb8f8db4290b06148ea330)
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)=&\quad \ {\frac {n}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\qquad &\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)=&-{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=&-{\frac {m}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},&\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=&\quad \ {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8224b4d809b394365c9fecd3c0c021837e83955)
et les premières valeurs de
et
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&-{\frac {n\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}+{\frac {\mathrm {N} f(a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\q=&\ \quad {\frac {m\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}-{\frac {\mathrm {M} f(a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1539aec601a23696b01b864058c681455ba4e2c)
Ces premières valeurs de
et
coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus ; mais les formules que nous venons de donner pour les expressions générales de
et
ont l’avantage de présenter des séries toutes développées et faciles à continuer aussi loin que l’on veut.