J’ai observé, dans l’Introduction, que les méthodes de Viète et de Harriot pour la résolution des équations numériques ne peuvent s’appliquer d’une manière certaine qu’aux équations dont tous les termes qui contiennent l’inconnue ont le même signe et le terme tout connu a un signe différent, et j’ai dit qu’on peut toujours ramener à cette forme toute équation, pourvu qu’on ait deux limites d’une de ses racines, lesquelles soient assez rapprochées, pour que toutes les autres racines réelles, ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s’il y en a, tombent hors de ces limites. Comme j’ignore si cette transformation est connue, je crois devoir l’exposer ici, afin que ceux qui désireraient se servir des anciennes méthodes puissent toujours les employer avec succès.
1. Soient
les deux limites données ou connues d’une manière quelconque,
la limite en moins,
la limite en plus. En supposant que
soit l’inconnue de l’équation proposée, on fera
et, après les substitutions et les réductions, on aura une équation transformée en
du même degré que l’équation en
qui aura la forme demandée si la limite a est assez près de la valeur de la racine.
Car soient
les racines de l’équation proposée en
et
la racine dont
et
sont les limites. Puisque
on aura
![{\displaystyle y={\frac {x-a}{b-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ea63cc86e8aafcb92210c642a27340af4a9ea1)
donc les racines de l’équation en
seront
![{\displaystyle {\frac {\alpha -a}{b-\alpha }},\quad {\frac {\beta -a}{b-\beta }},\quad {\frac {\gamma -a}{b-\gamma }},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db2fd5d0a1a5cded75787f5b2798505727c2c15)
Or on a, par l’hypothèse,
donc
donc la racine
sera positive et d’autant plus petite que la différence entre la limite
et la racine
sera moindre. Ensuite, comme les autres racines
sont supposées tomber hors des limites
et
si
on aura aussi nécessairement
donc
et
donc la racine
sera nécessairement négative. Si, au contraire,
on aura aussi
donc
et
donc
sera encore une quantité négative. Donc la racine
sera dans tous les cas négative. Il en sera de même de toute autre racine, comme
qui correspond à une racine réelle
de l’équation en
Mais supposons que
et
soient imaginaires ; elles seront nécessairement de la forme
![{\displaystyle \rho +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \rho -\sigma {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3463c64d0a800c18b664db0cf173a6aca6eaedaf)
et
étant des quantités réelles (Note IX) ; donc, faisant
la racine
deviendra
![{\displaystyle {\frac {\rho -a+\sigma {\sqrt {-1}}}{b-\rho -\sigma {\sqrt {-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa87c1f0113efafc5b123116d3a4bad77a68851e)
multiplions le haut et le bas par
on aura
![{\displaystyle {\frac {(\rho -a)(b-\rho )-\sigma ^{2}+(b-a)\sigma {\sqrt {-1}}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8b82f669db5ec6fa298977e883dfd0ceffe512)
Mais on suppose que la partie réelle
![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
tombe aussi hors des limites
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83b8ef93e7554f39b94aca8d91e5e0965642aa3)
donc, si
![{\displaystyle \rho <a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3e8966cfa36252cd654f5062ec401eb72844a8)
on aura aussi
![{\displaystyle \rho <b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5901cb9299910eb2eb6f822c22b851db0990062)
par conséquent
![{\displaystyle b-\rho >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55535cb85fc821f2eed0e2870c6f645a520cc959)
donc
![{\displaystyle (\rho -a)(b-\rho )<0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f92c67dae259b6ff3a6864aa62405bed405b52)
et, si
![{\displaystyle \rho >b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72550bd0d2062bc5b115509d1ef4c07b6825b501)
on aura aussi
![{\displaystyle \rho >a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f6635e61d64335e464fd10af76f9b7969bc1aa)
donc
![{\displaystyle \rho -a>0,\ b-\rho <0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c74a110a9e525d8daa0caeeb4a0689ea46ed051)
et par conséquent aussi
![{\displaystyle (\rho -a)(b-\rho )<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b921388c3236b669bc4b8ef323a7128503274ad7)
Donc la quantité
![{\displaystyle (\rho -a)(b-\rho )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73ac91cf5e1c11fb081c57e3c0e9f2012704ef9)
sera dans tous les cas négative.
Donc, puisque
et
sont essentiellement des quantités positives, la racine
deviendra, dans ce cas, de la forme
![{\displaystyle -\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51347eec676d0018b9d829af159c2114edc13bd)
et
étant des quantités réelles, et
étant essentiellement positive. De même, en faisant
la racine
deviendra
![{\displaystyle -\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b2b985b6e11020407f145ad9bf1a4c083dd98c)
et ainsi des autres racines imaginaires.
Donc, en prenant des quantités positives
les racines réelles de l’équation en
donneront dans la transformée en
les racines réelles
![{\displaystyle p,\ \ -q,\ \ -r,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a752d7a2113cf56f89baed174ab6b4444c7c2b2)
et les racines imaginaires de la même équation donneront dans la transformée les racines
![{\displaystyle -\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b728f6c399d3ebf24555fbc938aaf3293ed5b3e)
Donc la transformée en
sera formée des facteurs
![{\displaystyle y-p,\quad y+q,\quad y+r,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b93148aae3b944c5569a877d94c2aba46a84722)
![{\displaystyle y+\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b139feed2a3de761678d650aa544ef7365fdcb5f)
Or les deux facteurs imaginaires
et
donnent le facteur double réel
![{\displaystyle y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac65b475a49c3e87391c032f4639c2555056573)
et ainsi des autres. Donc l’équation en
sera
![{\displaystyle (y-p)(y+q)(y+r)\ldots \left(y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} \right)\left(y^{2}+2\mathrm {R} y+\mathrm {R^{2}+S^{2}} \right)\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cbb1061aa190079d4431621bc39145206817cf)
2. Considérons le produit de tous ces facteurs, excepté le premier
comme tous les termes de ces facteurs sont positifs, il est visible que leur produit, ordonné par rapport à
ne pourra contenir que des termes positifs. Le produit sera donc de la forme
![{\displaystyle y^{m-1}+\mathrm {A} y^{m-2}+\mathrm {B} y^{m-3}+\ldots +\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9acbac178fac3de2e964f5c69c6b6fd6323f52a)
où les coefficients
seront tous positifs, sans qu’aucun puisse être nul. Multiplions maintenant ce polynôme par le facteur
on aura
![{\displaystyle y^{m}+(\mathrm {A} -p)y^{m-1}+(\mathrm {B-A} p)y^{m-2}+(\mathrm {C-B} p)y^{m-3}+\ldots -\mathrm {K} p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d7893c3a473d1d32cae693a1f7135f73d999bf)
pour l’équation en ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
On voit ici que le dernier terme
est essentiellement négatif et que les termes précédents seront tous positifs si l’on a
Comme en rapprochant la limite
de la racine
la valeur de
qui est
peut devenir aussi petite qu’on voudra, il est clair qu’on pourra toujours prendre
telle que l’on ait
ce qui rendra tous les termes positifs, excepté le dernier.
On ne doit pas craindre qu’en diminuant ainsi la valeur de
les valeurs de
diminuent en même temps, de manière à devenir nulles avec
car, en faisant
ce qui donne
la valeur de
qui est
deviendra
![{\displaystyle -{\frac {\beta -\alpha }{b-\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76329f5ea1a8886611d98c68dcb96b14aa36d119)
et les valeurs de
et
qui sont
et
deviendront
![{\displaystyle -{\frac {(\rho -\alpha )(b-\rho )-\sigma ^{2}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {(b-\alpha )\sigma }{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f933c4e70750399c0e41872805c7d8ffcd1f1e)
et ainsi des autres.
Donc on est assuré que la substitution de
au lieu de
donnera une transformée en
qui aura la condition demandée, pourvu que la limite
en moins soit assez près de la racine dont elle est limite, ce qu’on pourra toujours obtenir en essayant successivement pour
des valeurs de plus en plus grandes.
3. On a trouvé dans le Chapitre IV (no 27) que l’équation
![{\displaystyle x^{3}-7x+7=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b366d2352b72f4ef50833edff026ed0cae7f289)
a trois racines, deux positives et une négative, et que les deux racines positives sont exprimées par des fractions continues, dont les termes sont
et
de là on peut former ces fractions convergentes vers les deux racines
![{\displaystyle {\begin{array}{llllll}{\frac {1}{0}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {2}{1}},&{\frac {5}{3}},&{\frac {22}{13}},&\ldots ,\\{\frac {1}{0}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {3}{2}},&{\frac {4}{3}},&{\frac {19}{14}},&\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e825c9ef45f87871d904f10347307802d9be6dff)
On voit d’abord que
et
sont deux limites de la première racine mais, comme la seconde racine est renfermée entre les nombres
et
elle se trouve aussi nécessairement renfermée entre les mêmes limites ; on prendra donc les limites suivantes
et
et l’on fera
et par conséquent
![{\displaystyle x={\frac {{\cfrac {5}{3}}+2y}{1+y}}={\frac {5+6y}{3(1+y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757d471e1adba0e732956f316e89b521528d4024)
Mais, puisque les multiples de
ne changent pas les signes de l’équation en
on pourra faire simplement
![{\displaystyle x={\frac {5+2y}{3+y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322963915b68469806d9dfd13ee3cdbdce57f49)
en mettant
pour
On trouvera ainsi la transformée
![{\displaystyle y^{3}+4y^{2}+3y-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe025f26d11afe7b975b9fd0b8100c3d5ea1ed07)
qui est, comme l’on voit, à l’état demandé.
De même, si l’on prend pour l’autre racine les limites
et
en faisant
et
et on aura la substitution
![{\displaystyle x={\frac {{\cfrac {4}{3}}+{\cfrac {3}{2}}y}{1+y}}={\frac {8+9y}{6(1+y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f168ce09295122201bcd042767de4035f6be4c5)
ou bien, en mettant simplement
au lieu de ![{\displaystyle 3y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d88570b9f7fe1d0ff8ac27bf0419bfd8cec983)
![{\displaystyle x={\frac {8+3y}{6+2y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bbb79322d51e343a1d8971247fa5da103a66d0)
et l’on trouvera la transformée
![{\displaystyle y^{3}+8y^{2}+4y-8=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdccfd399dc4a78de08a1dfa853bf06ce5eec79b)
qui a aussi la forme demandée.
Les limites que nous avons employées ont conduit directement aux transformées que l’on cherchait ; mais, si l’on avait pris, par exemple, pour la première racine les limites
et
qui ont également la propriété qu’aucune autre racine ne s’y trouve comprise, puisque l’autre racine positive est moindre que
on aurait eu
ce qui aurait donné la substitution
![{\displaystyle x={\frac {{\cfrac {3}{2}}+2y}{1+y}}={\frac {3+4y}{2(1+y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf11599ed3f29b52363838bf0a4d9caa80da933)
ou bien, en mettant
pour ![{\displaystyle 2y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8f5325aaae462ccebcf0e62de5fee7e61b6b28)
![{\displaystyle x={\frac {3+2y}{2+y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170394ffbdddcf55cc072a060a7f9277bef74618)
et l’on aurait trouvé la transformée
![{\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7464b0cc26503859811cd125423b8ac59815efd)
qui n’a pas encore la forme demandée, parce que la racine positive se trouve trop grande.
Mais, sans recourir à une nouvelle substitution en augmentant la valeur de
il suffira de diminuer toutes les racines d’une même quantité
en faisant
et chercher ensuite par des essais une valeur de
qui satisfasse aux conditions qu’on demande. On aura ainsi cette transformée
![{\displaystyle z^{3}+(3i+1)z^{2}+\left(3i^{2}+2i-2\right)z+i^{3}+i^{2}-2i-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6cb9ddd2ccb43431fce554734f35681b36861e)
et il s’agira de prendre
positif et tel que
et
On voit tout de suite que
satisfait, et l’on a la transformée
![{\displaystyle z^{3}+4z^{2}+3z-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f79be94e4458c72b6de4e14b02224f565ab337f)
qui est la même que la transformée en
trouvée d’abord.
4. Nous avons vu dans l’Article III du Chapitre V (no 72) que, si
et
sont deux fractions convergentes vers une des racines de l’équation en
la transformée en
qui doit servir à trouver la fraction suivante, résulte directement de la substitution de
au lieu de
dans l’équation proposée. Faisons
on aura
![{\displaystyle x={\cfrac {{\cfrac {\rho \varpi 'y}{\rho '}}+\varpi }{\varpi '(y+1)}}={\cfrac {{\cfrac {\rho }{\rho '}}y+{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{y+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1de51bb21411a964953b05ca66b68f85e431b26)
Cette substitution est, comme l’on voit, analogue à celle que nous avons employée ci-dessus, en prenant
et
pour les deux limites que nous avons nommées
et
Or, comme deux fractions consécutives sont elles-mêmes des limites alternativement plus grandes et plus petites que la racine cherchée, et qui se resserrent continuellement, il s’ensuit que les transformées qui répondent aux fractions plus petites que la racine approcheront de plus en plus d’avoir les conditions nécessaires pour pouvoir être de la forme proposée ; et les transformées intermédiaires auront la même propriété, en y substituant
au lieu de
car, si
l’expression de
devient par cette substitution
![{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}y+{\cfrac {\rho }{\rho '}}}{y+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a181c0554042bede618c578c9ee1668800621150)
La différence entre les deux fractions
et
étant
lorsque cette différence sera devenue moindre que la plus petite différence entre les racines de l’équation proposée, c’est-à-dire moindre que la limite
(Note IV), on sera assuré qu’il ne pourra tomber entre ces fractions qu’une seule racine ; mais, à l’égard des parties réelles des racines imaginaires, il ne sera pas facile de s’assurer a priori qu’elles tombent hors de ces fractions, à moins de former l’équation dont les racines seraient
et de chercher ensuite une limite plus petite que chacune de ces racines, pour la comparer avec la même différence
Au reste, quoique les fractions consécutives fournissent des limites qui se resserrent de plus en plus autour de la même racine, il est possible que les transformées n’acquièrent jamais la forme dont il s’agit, par la raison que, les deux limites se resserrant à la fois, la racine positive peut aller en augmentant au lieu de diminuer. Mais, lorsqu’on sera parvenu à des fractions entre lesquelles il n’y aura qu’une seule racine réelle et aucune des parties réelles des racines imaginaires, il suffira de diminuer toutes les racines de la transformée correspondante d’une même quantité qu’on pourra trouver par quelques essais, comme on l’a vu plus haut.
Lorsqu’une équation est réduite à la forme dont nous parlons, c’est-à-dire que tous ses termes ont le même signe, à l’exception du dernieir terme tout connu, on fera passer ce dernier terme dans le second membre, et l’on pourra en extraire la racine à peu près comme dans les équations à deux termes où il n’y a qu’une seule puissance de l’inconnue seulement on aura besoin de plus d’essais et d’épreuves, à raison des différentes puissances de l’inconnue qu’elle contiendra.
Ainsi, par exemple, si l’on a l’équation du troisième degré
![{\displaystyle y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y-\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db42d44a01ded426f044762e268894a082e0be9c)
dans laquelle
sont supposés des nombres positifs, en la mettant sous la forme
![{\displaystyle y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9b0e1bf7ed3ce68064f1b4ce8c27556c8c96e5)
on voit que, au lieu d’extraire simplement du nombre
la racine de la puissance
il s’agit d’en extraire celle de la somme des puissance :
et, si
est la partie de cette racine déjà trouvée et
le reste, on aura
![{\displaystyle \left(3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)p+(3a+\mathrm {A} )p^{2}+p^{3}=\mathrm {N} -a^{3}-\mathrm {A} a^{2}-\mathrm {B} a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1a50ce788e913dbea4630ad55768f41df23724)
et par conséquent
![{\displaystyle p<{\frac {\mathrm {N} -a\left(a^{2}+\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)}{3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c44f24aa1ea2c85442f2fabb3453f6861c0857f)
formule qui répond à celle-ci
![{\displaystyle p<{\frac {\mathrm {N} -a^{3}}{3a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fcf764125c381430d679801696541ef0b65482)
sur laquelle est fondé le procédé de l’extraction de la racine cubique.
Prenons l’équation trouvée plus haut
![{\displaystyle y^{3}+4y^{2}+3y-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b68cc0575dbef23b9266d941f358d16d2efcf3)
la formule sera ici
![{\displaystyle p<{\frac {1-a\left(a^{2}+4a+3\right)}{3a^{2}+8a+3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe5f1fc8a8ad6a49f9d6e57abc0e1add6432dc)
Il est d’abord facile de voir que le premier chiffre de la valeur de
ne peut être que
faisant donc
on trouvera
En prenant
la nouvelle valeur de
sera
et l’on trouvera
![{\displaystyle p<{\frac {0{,}035776}{5{,}0728}}<0{,}008,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86d23c69cd9a0d7784a7f3735669bb3b154bb67)