NOTE XIV.
OÙ L’ON DONNE LA RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS À DEUX TERMES.
1. Quoique les équations à deux termes telles que
![{\displaystyle x^{\mu }-\mathrm {A} =0,\quad {\text{ou plus simplement}}\quad x^{\mu }-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087d79075cd71f04a407ddcbc42475c2db541857)
(puisque cette forme-là peut se réduire à celle-ci, en y mettant
pour
), soient toujours résolubles par les Tables des sinus d’une manière aussi approchée qu’on puisse le désirer, en employant la formule connue
![{\displaystyle x=\cos {\frac {\nu }{\mu }}360^{\circ }+\sin {\frac {\nu }{\mu }}360^{\circ }{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72e68e97e7709a3751b141ac44061d5cefdd259)
et faisant successivement
leur résolution algébrique n’en est pas moins intéressante pour l’Analyse et les géomètres s’en sont beaucoup occupés. Ils ont d’abord réduit la difficulté à résoudre les équations dont le degré a pour exposant un nombre premier, comme nous l’avons vu au commencement de la Note précédente. Ils ont trouvé de plus que, comme l’équation
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3303dabd09768d75e0c122c63b611e811d59d3aa)
a nécessairement
pour l’une de ses racines, en la divisant par
on a pour les autres l’équation du degré ![{\displaystyle \mu -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183985324c261323613836379d2e5cc06a7f51cf)
![{\displaystyle x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9030f48cdff59601168a36f08d34f0552db78647)
laquelle, étant du genre des équations qu’on appelle réciproques, parce qu’elles demeurent les mêmes en y changeant
en
est décomposable en
équations du second degré, telles que
![{\displaystyle x^{2}-yx+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca59dd89cfd16656c08453128bf1ef5e45e04bbd)
dans lesquelles
dépend d’une équation du degré
de la forme
![{\displaystyle y^{\nu }+y^{\nu -1}-(\nu -1)y^{\nu -2}-(\nu -2)y^{\nu -3}+{\frac {(\nu -2)(\nu -3)}{2}}y^{\nu -4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4ff47b8bde6750a6a43fddca1b4e06ba51b5a2)
![{\displaystyle +{\frac {(\nu -3)(\nu -4)}{2}}y^{\nu -5}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9606c721f62ee457d3f17a4e14615eaa345d96a4)
où
comme nous l’avons vu dans la Note X (no 14).
De cette manière on avait pu résoudre l’équation
![{\displaystyle x^{7}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325b495b7b0182ee56c3fff0163170e610994617)
parce qu’elle se réduit à une équation du troisième degré ; mais on était arrêté à l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b491333b01e42a3d17a131b3bdf18fd26d8c320)
qui ne se réduit par ce moyen qu’à une du cinquième.
2. On en était là lorsque M. Gauss donna, en 1801, dans son excellent Ouvrage intitulé Disquisitiones arithmeticæ[1], une méthode aussi originale qu’ingénieuse pour réduire la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb55e109d06767e8a06052a596db7d17080e8be8)
lorsque
est un nombre premier, à la résolution d’autant d’équations particulières que le nombre
contient de facteurs premiers, et dont les degrés soient exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l’équation
![{\displaystyle x^{13}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae043730619313202dcebbef6b352938b258476)
ne demande que la résolution de deux équations du second et d’une du troisième, parce que
L’équation
![{\displaystyle x^{17}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f0828dba057e09307a2323c5b2f2df2cea2929)
ne demande que la résolution de quatre équations du second degré, et ainsi de suite.
Mais, en appliquant les principes de la théorie de M. Gauss à la méthode exposée dans la Note précédente, j’ai reconnu qu’on pouvait obtenir directement la résolution complète de toute équation à deux termes dont le degré est exprimé par un, nombre premier, sans passer par aucune équation intermédiaire ni avoir à craindre l’inconvénient qui naît de l’ambiguïté des racines. C’est ce que je vais développer dans cette Note.
3. Soit l’équation à résoudre
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb55e109d06767e8a06052a596db7d17080e8be8)
étant un nombre premier ; si l’on en sépare la racine
elle s’abaisse à celle-ci du degré ![{\displaystyle \mu -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183985324c261323613836379d2e5cc06a7f51cf)
![{\displaystyle x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d90f65bbedb98c2c7fbf7534a14e7ede3fbfee)
Soit
une racine quelconque de cette équation ; on pourra représenter ses
racines par les termes de la série géométrique
![{\displaystyle r,r^{2},r^{3},r^{4},\ldots ,r^{\mu -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82576cc7c0e9697503a29d1fb07a18f2fffaeb87)
comme nous l’ayons démontré dans la Note précédente (no 5).
M. Gauss a eu l’idée ingénieuse et heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposants de
une progression géométrique, en vertu du fameux théorème de Fermat sur les nombres premiers.
Par ce théorème, démontré d’abord par Euler et ensuite par tous ceux qui se sont occupés de la théorie des nombres, on sait que, si
est un nombre premier et
un nombre moindre que
le nombre
sera nécessairement divisible par
de sorte que le reste de la division de
par
sera l’unité.
Euler a démontré de plus que, si en divisant tous les termes de la progression
par
il se trouve d’autres puissances de
qui donnent aussi l’unité pour reste, les exposants de ces puissances seront nécessairement des diviseurs de
de sorte que, pour savoir si parmi les puissances de
moindres que
il y en a aussi qui étant divisées par
donnent le reste
il suffira d’essayer celles dont l’exposant sera un diviseur de
4. On nomme racines primitives les nombres
dont aucune puissance moindre que
ne donne le reste
par la division par
et ces racines ont la propriété que tous les termes de la progression
étant divisés par
donnent des restes différents et donnent par conséquent tous les nombres moindres que
pour restes, puisque ces restes sont au nombre de
Car, si deux puissances
donnaient le même reste,
et
étant
et
leur différence
serait nécessairement divisible par
mais,
n’étant pas divisible et
étant premier, il faudrait que
le fût ; donc il y aurait une puissance
moindre que
qui donnerait l’unité pour reste ; par conséquent,
ne serait pas racine primitive, contre l’hypothèse.
On n’a pas, jusqu’à présent, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier ; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâtonnement. Euler en a donné, dans les Commentaires de Pétersbourg (T. XVIII), une Table pour tous les nombres premiers jusqu’à
que nous placerons ici :
![{\displaystyle {\begin{array}{r|rrrrrrrrrrrr}\mu &&&&&&a\\3&2,\\5&2,&8,\\7&3,&5,\\11&2,&6,&7,&8,\\13&2,&6,&7,&11,\\17&3,&5,&6,&7,&10,&11,&12,&14,\\19&2,&3,&10,&13,&14,&15,\\23&5,&9,&10,&11,&13,&14,&15,&17,&20,&21,\\29&2,&3,&8,&10,&11,&14,&15,&18,&19,&21,&26,&27,\\31&3,&11,&12,&18,&19,&21,&22,&24,\\37&2,&5,&13,&15,&17,&18,&19,&20,&22,&24,&32,&35,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf59cb6a0ad1fd0c2bd0bd332a2dd887a4da32d)
où l’on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
donné, est toujours égal à celui des nombres moindres que
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
et premiers à
![{\displaystyle \mu -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8ab6b7868e85a91454bc3cd10c6dc3ce15e887)
On peut voir sur ce sujet la Section III des
Disquisitiones arithmeticæ.
Au reste, pour notre objet, il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné, et il sera toujours plus avantageux pour le calcul d’en connaître la plus petite.
5. Soit donc
une racine primitive pour le nombre premier
de manière que les
termes de la progression géométrique
étant divisés par
donnent pour restes tous les nombres moindres que
dont l’unité sera le dernier ; il est facile de voir que les
racines
(no 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l’ordre, être représentées par la série
![{\displaystyle r,r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbdc50d5a2346bc6d2aff32d3336137640b9e93)
car, comme on a par l’équation
dont
est supposé racine,
il est visible qu’à la place de chaque puissance de
comme
lorsque
on pourra toujours prendre la puissance
où
sera le reste de la division de
par
Ainsi, dans la série précédente, on pourra toujours réduire les exposants de
à leurs restes après la division par
restes que nous avons vus comprendre tous les nombres
jusqu’à
mais dans un ordre différent de l’ordre naturel, ce qui est ici indifférent pour les racines ![{\displaystyle r,r^{2},r^{3},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf419933143766e3905658e7b5917e5f4678e94)
L’avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que, si dans la série des racines
![{\displaystyle r,r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7457f3e3e22ba7f2b6ef2740a081ddd57ec1e3)
on met
à la place de
elle devient
![{\displaystyle r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},r^{a^{5}},\ldots ,r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0dde72a10987f7ee6061cbbe6aa619e10bbf73)
et, si l’on y met
à la place de
elle devient
![{\displaystyle r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},r^{a^{5}},r^{a^{6}},\ldots ,r,r^{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262bcd6f7351491fb076e71955deb20f7ea37ba)
et ainsi de suite.
En effet il est visible que, par la substitution de
à la place de
devient
devient
etc., et le dernier terme devient
à cause que le reste de
après la division par
est l’unité.
De même, par la substitution de
au lieu de
devient
devient
etc. l’avant-dernier terme
deviendra
le dernier deviendra
à cause que le reste de la division de
par
est
puisque
et que le reste de la division de
est
6. Cela posé, si pour résoudre l’équation du degré
(no 5)
![{\displaystyle x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9030f48cdff59601168a36f08d34f0552db78647)
dont les racines sont (no 5)
![{\displaystyle r,\ \ r^{a},\ \ r^{a^{2}},\ \ r^{a^{3}},\ \ \ldots ,\ \ r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911eb742c96597c898428e97d9669be96655f66)
étant
en vertu de l’équation
on emploie la méthode de la Note précédente, et qu’en prenant ces racines pour
on fasse (no 14, Note précédente)
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{a}+\alpha ^{2}r^{a^{2}}+\alpha ^{3}r^{a^{3}}+\ldots +\alpha ^{\mu -2}r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8cadbbc51b03faf2004cca1394af660fa74017)
où
est une des racines de l’équation
qu’ensuite on développe la puissance
ième de
en faisant attention de rabaisser les puissances de
et de
au-dessous de
et de
par les conditions
et
de manière qu’on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
![{\displaystyle \theta =t^{\mu -1}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -2}\xi ^{(\mu -2)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bddcfe4b7bdc0b6d790d79472bc7df6c455873d)
les quantités
seront des fonctions rationnelles et entières de
telles qu’elles ne changeront pas par la substitution de
à la place de
puisque nous avons vu (no 16, Note précédente) que ces quantités, regardées comme des fonctions de
sont invariables par les permutations simultanées de
en
en
![{\displaystyle x''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b8a89f461b934464048cb76c676e0ec05f500e)
etc., ainsi que par les permutations simultanées de
![{\displaystyle x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2)
en
![{\displaystyle x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c56431607b889d0f2fff3c7120a466db5aa2e30)
en
![{\displaystyle x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2f40aa048076931a40acffc9c24087af1dc6e3)
etc., auxquelles répondent les changements de
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
en
![{\displaystyle r^{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd896c8d72e20ddbb73af915aaf159fde70b1cc)
en
![{\displaystyle r^{a^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6c0a7d9064609a9575a2577eec404a0339aa3c)
etc. (
no 5).
7. Maintenant il est clair que toute fonction rationnelle et entière de
dans laquelle
peut toujours se réduire à la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {D} r^{3}+\ldots +\mathrm {N} r^{\mu -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2848994021ece12389d83ac34343ff3c895d323)
les coefficients
étant des quantités données, indépendantes de
On peut même prouver que toute fonction rationnelle de
est réductible à cette forme, car, si elle a un dénominateur, on pourra toujours le faire disparaître en multipliant le haut et le bas de la fraction par un polynôme convenable en
comme nous l’avons vu dans la Note IV (no 3).
Or, puisque dans notre cas les puissances
peuvent être représentées, quoique dans un autre ordre, par les puissances
on pourra également réduire toute fonction rationnelle de
à la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{a}+\mathrm {D} r^{a^{2}}+\mathrm {E} r^{\alpha ^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da179c2a78f3200d0932bb5e064800ce28c6399e)
en prenant pour
des coefficients quelconques indépendants de
.
Donc, si cette fonction est telle qu’elle doive demeurer la même en y mettant
à la place de
il faudra que la nouvelle forme
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} r^{a}+\mathrm {C} r^{a^{2}}+\mathrm {D} r^{a^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c84978a847f8f9c5953985f844d2d09b048c2df)
(la puissance
devenant
se change en
puisque
et
divisé par
donne le reste
) coïncide avec la précédente, ce qui donne ces conditions
![{\displaystyle \mathrm {B=C,\quad C=D,\quad D=E,\quad \ldots ,\quad N=B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef759347f2abd27a1305c8336aa5abb791ccec2)
et réduit la forme de la fonction à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {A+B} \left(r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07c3d8d238c76d173e602d43c80128fc54a6446)
8. Donc, si l’on dénote par
la somme des racines
on aura également
![{\displaystyle s=r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248bf43b52be7e690f310d7c33544b7d05547f98)
et les quantités
de la fonction
seront toutes de la forme ![{\displaystyle \mathrm {A+B} s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8698b59a2634f37aeca1721e08b41542c951215)
Les coefficients
et
se détermineront par le développement actuel de la fonction
et la quantité
est connue par la nature de l’équation à résoudre (no 6)
![{\displaystyle x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c55845669fa8a465bd332e4e4b458fc9b3a35c2)
laquelle donne sur-le-champ
Ainsi, on a le cas, où les valeurs des quantités
sont connues immédiatement, sans dépendre d’aucune équation, de sorte qu’en désignant par
les
racines de l’équation
![{\displaystyle y^{\mu -1}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba651da2aa91b16caf0dcfbf23e26cecd46b88d)
et par
les valeurs de
qui répondent aux substitutions de ces racines à la place de
on aura sur-le-champ, par les formules de la Note précédente (no 16), en substituant
pour
et
pour ![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
![{\displaystyle r={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots +{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{(\mu -1)}}}}{\mu -1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f4163423563a3796ef6c00dfe7fcbdacf76006)
Telle est l’expression d’une des racines de l’équation
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e649edc508eafe9e06154a696515e3e5e3933c2)
on aura toutes les autres par les puissances
mais on peut aussi les avoir directement par les mêmes formules, en prenant
pour
pour
etc.
On aura, de cette manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r^{a}\ ={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{\mu -2}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+\beta ^{\mu -2}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots }{\mu -1}},\\&r^{a^{2}}={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{\mu -3}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+\beta ^{\mu -3}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots }{\mu -1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c40bd5156ae009a3721d036978bcef2dc05dc5c)
9. On pourra aussi, si l’on veut, se dispenser de calculer ces quantités
et
car, par ce que nous avons dans l’article 17 de la Note précédente, le terme
au (en faisant ici
) est toujours égal à la somme des racines que nous dénotons en général par
et l’expression de
peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle \theta =s^{\mu -1}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e51eba44fafa03adcd963d899e5ed63363876b)
qui ne renferme pas
et il n’y a plus qu’à substituer
au lieu de
pour avoir les valeurs de ![{\displaystyle \theta ',\theta '',\theta ''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7494c756f6b694f79128aaa5991c123abadf6b84)
De cette manière, la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3303dabd09768d75e0c122c63b611e811d59d3aa)
ne dépendra que de la résolution de l’équation
![{\displaystyle y^{\mu -1}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba651da2aa91b16caf0dcfbf23e26cecd46b88d)
dont
sont les racines. Or celle-ci est d’un degré moindre que la proposée mais de plus, comme
est nécessairement un nombre composé, on aura les racines
par celles d’autant d’équations
qu’il y aura de facteurs premiers
dans le nombre
comme on l’a vu dans la Note précédente (no 12).
10. Soit, par exemple, l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf59943606de64efc911db0709d99de3bffe31)
dont on demande les racines. Cette équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec celle qui résulte de la méthode précédente.
En ôtant par la division la racine
on a l’équation du quatrième degré
![{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8905c1e5afe5e1bb53bc416054e3262ce869d9ea)
dont les racines seront ![{\displaystyle r,r^{2},r^{3},r^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff128ad75d34fefc55a2a82c5453f5db13bd9ea)
Puisqu’on a ici
on trouve par la Table donnée ci-dessus (no 4) que la plus petite racine primitive est
de sorte qu’on a
et que les racines dont il s’agit peuvent être représentées par les puissances
lesquelles se rabaissent, à cause de
à celles-ci
en prenant, au lieu de l’exposant
le reste de la division par
On fera donc
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ce200273b4b80672c13ab16e15bd68c19ad6df)
en prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{4}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a9771bf076b22edf976d7462935b4d54ec2910)
de manière que l’on ait ![{\displaystyle \alpha ^{4}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21961133272c56c081a78c92d60aa0adee59c0f)
Maintenant, pour trouver la fonction
il n’y a qu’à élever à la quatrième puissance le polynôme
ét le développer suivant les puissances de
en rabaissant celles-ci au-dessous de
et celles de
au-dessous de
par les conditions
et
On trouve, par un calcul qui n’a aucune difficulté,
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1001ea4221e0c062b7c2f2e89eabb099bff5016d)
où les quantités
ont les valeurs suivantes, dans lesquelles je mets
pour la somme des racines ![{\displaystyle r,r^{2},r^{4},r^{3}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9542abf18f0374eb801244ebfda4246bf49ab3bf)
![{\displaystyle \xi ^{0}=12+13s,\quad \xi '=16+12s,\quad \xi ''=24+10s,\quad \xi '''=16s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7970a458851918da235ef244df8b4e19c95e5b1c)
Ainsi, comme
par la nature de l’équation en
on aura
![{\displaystyle \xi ^{0}=-1,\quad \xi '=4,\quad \xi ''=14,\quad \xi '''=-16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a55b14f8ce7f32a5065e933959b05a9711891b1)
et la fonction
deviendra
![{\displaystyle \theta =-1+4\alpha +14\alpha ^{2}-16\alpha ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e84a23e384c3f423f3edf04775613c9a522c759)
Or l’équation
![{\displaystyle y^{4}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a9771bf076b22edf976d7462935b4d54ec2910)
se décomposant en ces deux-ci
![{\displaystyle y^{2}-1=0\quad {\text{et}}\quad y^{2}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71465fc3c0dd8b4cdcc0536f082aeccef0d7002b)
donne tout de suite les quatre racines
qu’il
faudra substituer successivement pour
![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
pour avoir les valeurs de
On aura ainsi
![{\displaystyle \theta '=25,\quad \theta ''=-15+20{\sqrt {-1}},\quad \theta '''=-15-20{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba6e4981d0bf6dec5f11c7977ebe4d1bd3a606d)
Donc, substituant ces valeurs dans l’expression de
du no 8 et mettant
au lieu de
(no 9), on aura sur-le-champ
![{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{-15+20{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{4}]{-15-20{\sqrt {-1}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e964f265503c9f23d54d24bf57deee409dd5a5)
11. Mais on peut avoir une expression plus simple de la même racine
en faisant usage de la méthode du no 25 de la Note précédente, laquelle est toujours applicable aux équations du genre que nous traitons, parce que l’exposant
est nécessairement un nombre composé.
Supposant donc en général
![{\displaystyle \mu -1=\nu \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f26dbafd94bc732ffdc2b14c4e52768fecfc6c2)
et prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280faa38c7d0453c94523872b3379b464853aac)
la fonction
du no 6 deviendra de la forme
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}X^{\nu }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be4e6a3f2db90201359277bdbfe449f89dbf08)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&r\ \ \ \,+r^{a^{\nu }}\ \ \ +r^{a^{2\nu }}\ \ \ +r^{a^{3\nu }}\ \ \ +\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&r^{a}\ \,+r^{a^{\nu +1}}+r^{a^{2\nu +1}}+r^{a^{3\nu +1}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +1}},\\\mathrm {X} '''=&r^{a^{2}}+r^{a^{\nu +2}}+r^{a^{2\nu +2}}+r^{a^{3\nu +2}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +2}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(\nu )}=&r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu -1}}+r^{a^{3\nu -1}}+r^{a^{4\nu -1}}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu -1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2473641982ff47341bfc5507908a8ce5a8c2dcf4)
On formera ensuite la fonction
laquelle, à cause de
sera de la forme
![{\displaystyle \xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}\xi ^{(\nu -1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc7f97d0c859b8c890b7776d83b3b33cd04a4a3)
et aura la propriété que les quantités
![{\displaystyle \xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1b3343ecb11b1f0da9833c17f2d1c8cb2774d3)
seront des fonctions de
![{\displaystyle \mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d29bdb0a8c332a783a15f5c63de79425bcc3d4b)
telles, qu’elles demeureront invariables en échangeant à la fois
![{\displaystyle \mathrm {X} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1405ad86767bc746a02e8610062f0979dedf218)
en
![{\displaystyle \mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7152ed7f5b3d65d071bf326d7b6b41253f22f9e)
en
![{\displaystyle \mathrm {X} '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d431ac8f81bec3c0c48b28b9bb8a054b6a6e843)
en
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87b154c50b76bc8208ed677f1fbb6d99635715a)
etc., et
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{(\nu )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ae2e7c654f8bc9d912a27806cdccd15d9758f6)
en
Or on voit, par les expressions précédentes de
qu’en y substituant
à la place de
devient
devient
etc., et
devient
car
se change en
![{\displaystyle r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu }}+r^{a^{3\nu }}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6600d338fecbd0c6f13f450802da2ef36311aabc)
mais
et
comme on l’a vu ci-dessus (no 5).
Donc les quantités
devront être des fonctions de
telles qu’elles demeurent invariables par le changement de
en
par conséquent, par le no 7, elles ne pourront être que de la forme
étant des coefficients qui seront donnés par la formation de ces mêmes quantités, et
dénotant la somme des racines
laquelle est
par l’équation proposée de sorte que les quantités
seront toutes données, comme dans le cas précédent (no 10), et l’on aura sur-le-champ par les formules du no 25 de la Note précédente, en y mettant
à la place de
et
somme des racines, à la place du terme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&{\frac {s+\qquad {\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\qquad {\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&{\frac {s+\alpha ^{\nu -1}{\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\beta ^{\nu -1}{\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\mathrm {X} '''=&{\frac {s+\alpha ^{\nu -2}{\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\beta ^{\nu -2}{\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ceebb3b3603ca7bfc53d56df2dcd06a29c65f3)
Dans ces expressions
sont, avec l’unité, les racines de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280faa38c7d0453c94523872b3379b464853aac)
et
sont les valeurs de
qui répondent à la substitution de
au lieu de
On n’aura pas besoin de calculer la valeur de
en employant l’expression de
du no 9, laquelle devient ici
![{\displaystyle \theta =s^{\nu }+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087339015d6fa0cb74a8f1c08f5bbcb74e58e8d8)
12. Le cas de
mérite une attention particulière, parce qu’il donne la division de la circonférence en
parties.
Soit donc
et par conséquent
on aura
Or, puisque
est divisible par
et que
est supposé une racine primitive,
ne sera pas divisible par
mais
![{\displaystyle a^{\mu -1}-1=\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}+1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6fc48bab14eeffb8d09860541caefb461e0ccc)
donc,
étant un nombre premier,
sera divisible par
par conséquent,
sera le reste de la division de
par
donc
sera égal à ![{\displaystyle {\frac {1}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0225ef18d123b92200cc6010a828471aa323c17d)
Ainsi on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '=r+{\frac {1}{r}},\quad \mathrm {X} ''=r^{a}+{\frac {1}{r^{a}}},\quad \mathrm {X} '''=r^{a^{2}}+{\frac {1}{r^{a^{2}}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082d20c7820e0d494cdc9d74812d97954bfd6727)
Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes (no 1},
![{\displaystyle r=\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }}+\sin {\frac {360^{\circ }}{\mu }}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d798e42f840c76b7f370705c06393d8d8e3726d9)
et, en général,
![{\displaystyle r^{m}=\cos {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }+\sin {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13047e33e52cb5ef629bfc4f439f9dd2c144a77b)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {X} '=2\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }},\quad \mathrm {X} ''=2\cos {\frac {a}{\mu }}360^{\circ },\quad \mathrm {X} '''=2\cos {\frac {a^{2}}{\mu }}360^{\circ },\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf585dc1c3998737a6ac9ad0ce2db61a1c19e02)
Ainsi les valeurs de
sont toutes réelles dans ce cas et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en
parties.
13. Ayant trouvé, par les formules générales du no 11, les racines
il faudra poursuivre le calcul de la même manière pour arriver à la racine
. On regardera donc les
racines qui composent la fonction
comme les racines d’une équation du degré
et on les substituera pour
dans l’expression générale de la fonction
on aura ainsi
![{\displaystyle t_{1}=r+\alpha r^{a^{\nu }}+\alpha ^{2}r^{a^{2\nu }}+\alpha ^{3}r^{a^{3\nu }}+\ldots +\alpha ^{\varpi -1}r^{a^{(\varpi -1})\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd884c40e7b48e53ec0dbdca8233f2d507a3265a)
où il faudra prendre pour
une racine de l’équation ![{\displaystyle y^{\varpi }-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261399743cd1de94b6c39e42f9524aa424087a12)
De là on aura, à cause de
![{\displaystyle \theta _{1}=t_{1}^{\varpi }=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1}+\alpha ^{2}\xi ''_{1}+\ldots +\alpha ^{\varpi -1}\xi _{1}^{(\varpi -1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060d74d51c93d9f1361d77ed84de81c98cdd80fa)
(J’écris ici
pour distinguer ces quantités de celles que nous avons désignées plus haut par
) Comme les quantités
sont en général des fonctions de
qui ne varient pas par les permutations de
en
en
etc.,
en
(no 16, Note précédente), elles seront ici des fonctions de
qui ne varieront pas en y changeant
en
puisque par ce changement les racines
deviennent respectivement
Or il n’est pas difficile de prouver, par un procédé semblable à celui du no 8, que toute fonction rationnelle de
qui aura la propriété d’être invariable par le changement de
en
sera nécessairement de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A+BX'+CX''+DX'''+\ldots +HX^{(\nu )}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94c55facfff346469927a8adcd19639fc5a4ab3)
en conservant les expressions de
du no 11.
Car d’abord toute fonction rationnelle de
peut se réduire à la forme (no 7)
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{a}+\mathrm {D} r^{a^{2}}+\mathrm {E} r^{a^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r^{a^{\mu -1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8000c3f51f8b1a8432013390a3a696ecea57849e)
et, pour que cette fonction demeure la même en y changeant
en
il faut que les coefficients des termes qui renferment
soient les mêmes que celui de
que les coefficients des termes qui renferment
soient les mêmes que celui de
que
ceux des termes
![{\displaystyle r^{a^{\nu +2}},r^{a^{2\nu +2}},r^{a^{3\nu +2}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45859dffc4c0ce915e6afdddee1a2ed6af0377a4)
soient les mêmes que celui de
![{\displaystyle r^{a^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6c0a7d9064609a9575a2577eec404a0339aa3c)
et ainsi de suite ; ce qui réduit la fonction à la forme que nous venons de lui assigner. En effet, on voit que chacune des quantités
![{\displaystyle \mathrm {X',X'',X''',\ldots ,X^{(\nu )}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c0250259c252c193fd849de7e2b363d557bd01)
demeure la même en y substituant
![{\displaystyle r^{a^{\nu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a8e3d5bc5d9db22a20af4513b9523ae529958f)
à la place de
![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
car le dernier terme
![{\displaystyle r^{a^{(\varpi -1)\nu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a341ab2106b4058f90a37669afe593f03c2f97)
de
![{\displaystyle \mathrm {X} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1405ad86767bc746a02e8610062f0979dedf218)
devient
![{\displaystyle r^{a^{\varpi \nu }}=r^{a^{\mu -1}}=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99917533223946dff6dde1cfd044f97182e3401a)
le dernier
![{\displaystyle r^{a^{(\varpi -1)\nu +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5e453da85d769c7699ee08ad293245f27826e9)
de
![{\displaystyle \mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7152ed7f5b3d65d071bf326d7b6b41253f22f9e)
devient
![{\displaystyle r^{a^{\varpi \nu +1}}=r^{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594719d8e9d267f70a5b6af236f0e00db30d4759)
et ainsi des autres.
14. Donc chacune des quantités
deviendra, après le développement, de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A+BX'+CX''+DX'''+\ldots } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69f5d570af2f9816505658b4bfbd3a9d4df7c45)
et aura par conséquent une valeur connue. Ainsi la fonction
sera connue, et l’on aura les valeurs de
en y substituant, au lieu de
, les
racines
qui, avec l’unité, résolvent l’équation
![{\displaystyle y^{\varpi }-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261399743cd1de94b6c39e42f9524aa424087a12)
On aura ensuite pour
une formule semblable à celle du no 8, en y mettant
à la place de
et
somme des racines, au lieu du terme
On aura ainsi
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt[{\varpi }]{\theta '}}+{\sqrt[{\varpi }]{\theta ''}}+{\sqrt[{\varpi }]{\theta '''}}+\ldots }{\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7148947bb9437e08b0ed76f024b4da5b7c4eaae0)
15. On aurait aussi, si on le désirait, les expressions des autres racines
qui composent la fonction
(no 11), en multipliant dans l’expression de
les radicaux
d’abord par
ensuite par
par
On pourrait même, sans faire un nouveau calcul, avoir également les racines
qui composent la fonction
par la seule considération que
devient
devient
etc., en y changeant
en
de sorte qu’il suffira de changer, dans l’expression générale de
en
en
etc.,
en
Par la même raison, comme
devient
devient
etc., par la substitution de
à la place de
on pourra déduire des expressions des racines qui composent la fonction
celles des racines qui composent la fonction
en changeant simplement, dans l’expression générale de
,
en
en
etc.,
en
en
et ainsi de suite.
16. Si le nombre
n’est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs, décomposer encore l’opération précédente en d’autres plus simples.
Ainsi, si
on pourra ne prendre pour
qu’une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu '}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4e46a76efd6127cbd28e3b4023be09a1128db4)
en sorte que
et la fonction
(no 11) deviendra
![{\displaystyle t_{1}=\mathrm {X_{1}'+\alpha X_{1}''+\alpha ^{2}X_{1}'''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}X_{1}^{(\nu ')}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72c76837f0618dcc282689a135b4694585ee619)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&r\qquad \ \ +r^{a^{\nu '\nu }}\quad \ \ +r^{a^{2\nu '\nu }}\quad +\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu ')\nu }},\\\mathrm {X} ''_{1}\ =&r^{a^{\nu '}}\quad \ \ +r^{a^{(\nu '+1)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+1)\nu }},\\\mathrm {X} '''_{1}=&r^{a^{2\nu '}}\quad \ +r^{a^{(\nu '+2)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+2)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+2)\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} _{1}^{(\nu ')}=&r^{a^{(\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(2\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(3\nu '-1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd0693bde628afb33a0676f3b6b9e94222a8078)
On fera ensuite
et l’expression de
étant développée sous la forme
![{\displaystyle \theta _{1}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi _{1}'+\alpha ^{2}\xi _{1}''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}\xi _{1}^{(\nu ')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a298d7d2032464dec1f98757a60b40d98888dc7)
à cause de
les quantités
seront des fonctions de
qui ne changeront pas par le changement simultané de
en
de
en
en
etc.,
en
(Note précédente, no 25). Or on voit, par les expressions précédentes de
que ces changements ont lieu en changeant simplement
en
Donc les quantités
regardées comme des fonctions de
devront être invariables par le changement de
en
par conséquent, elles seront nécessairement de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A+BX'+CX''+DX'''} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053d05d24000ae83667b079da8062bcacad10af0)
par ce qu’on a démontré ci-dessus (no 13).
Donc, puisque les valeurs de
sont déjà connues par l’opération précédente, celles de
seront connues aussi. Ainsi la fonction
sera connue aussi, et de là on aura les valeurs des
racines
par des formules semblables à celles du no 11, en y changeant
en
en
en
et prenant pour
les racines de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280faa38c7d0453c94523872b3379b464853aac)
excepté l’unité.
On remarquera aussi que
étant la somme des racines
sera ici égal à
17. La valeur connue de
ne donne que la somme des
racines
il faudra, pour avoir la valeur de
regarder encore ces
racines comme données par une équation du degré
et faire de nouveau
![{\displaystyle t_{2}=r+\alpha r^{a^{\nu '\nu }}+\alpha ^{2}r^{a^{2\nu '\nu }}+\ldots +\alpha ^{\varpi '-1}r^{a^{(\varpi '-1})\nu '\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bf86b473b930a2782b5de5e823b24e88e9672f)
en prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{\varpi '}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6016c08b386e62468e8b6770b305ee6e69aebd)
on fera ensuite
![{\displaystyle \theta _{2}=t_{2}^{\varpi '}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2}+\ldots +\alpha ^{\varpi '-1}\xi _{2}^{(\varpi '-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183b7faeb182733b95a1b3232d721e392cce129f)
et l’on suivra le même procédé que nous avons exposé dans les nos 13 et suivants. Que si le nombre
est composé de manière que l’on ait
on pourra, pour éviter le développement d’une puissance trop haute, prendre pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu ''}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6423fc2c71f94a8864ef64057615e2af068a6a5a)
ce qui donnera à
la forme
![{\displaystyle t_{2}=\mathrm {X_{2}'+\alpha X_{2}''+\alpha ^{2}X_{2}'''+\ldots +\alpha ^{\nu ''-1}X_{2}^{(\nu '')}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496eb76a0670353a16c5bdd9295fe775eb85ed65)
et l’on poursuivra le calcul comme ci-dessus, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un dernier facteur indécomposable.
L’avantage de ces décompositions consiste dans l’abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes
pour avoir les fonctions
ce qui diminue la longueur du calcul, et ensuite dans l’abaissement des radicaux qui entrent dans l’expression de la racine
ce qui simplifie cette expression.
Telle est la marche générale et uniforme du calcul ; nous allons l’appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir, et nous reprendrons d’abord celui de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18314ec2fe53890663f83fc804a5e7914a24bfb3)
que nous avons résolue ci-dessus (no 10).
18. On a ici
ainsi on fera
(no 11). On prendra pour
une des racines de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
de sorte que, à cause de
l’expression de la fonction
du no 10 devient
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,\quad {\text{où}}\quad \mathrm {X} '=r+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827289192368dd40ded415c0b5cbaed026d4218f)
De là on trouve, en faisant le carré de
à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873f3af0479fe358a9a36bf430a8bc5206a06fde)
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df9f13479e6a3ebd60f0dc16ed101f9a838b3d2)
Substituant les valeurs de
en
et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de
au-dessous de
à cause de
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&4+r+r^{2}+r^{3}+r^{4},\\\xi '=&2\left(r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96ac91a972711301239565a8f328735ebd0ac05)
Donc, comme
somme des racines, est
par l’équation, on a
et
Ainsi l’expression générale de
deviendra ![{\displaystyle \theta =3-2\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea35c3a7694625257df4030bac27ac5e5405585)
De là, à cause que les valeurs de
sont
et
en faisant
on aura
et, comme
![{\displaystyle s=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86d5c11f70e4678d88045df6ccbb37838ffc58f)
les formules du
no 11 ci-dessus donneront
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+5{\sqrt {-1}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-5{\sqrt {-1}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55068804b389c9dfaa9d592f9f6bfa3deff8e478)
On aura ainsi par la valeur de
celle de
somme de deux des quatre racines de la proposée. Pour avoir la racine
en particulier, on fera de nouveau un calcul semblable, en considérant les deux racines
et
comme racines d’une équation du second degré.
On fera donc
étant, comme ci-dessus, racine de
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
et de là, on aura
![{\displaystyle \theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad {\text{où}}\quad \xi _{1}^{0}=r^{2}+r^{3},\quad {\text{et}}\quad \xi '_{1}=2r^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf855a6bec6d1f25d7f90bd330b5e80bf827112)
Ici, on voit tout de suite que les valeurs de
et
sont données au moyen des valeurs déjà connues de
et
En effet, à cause de
et par conséquent
on a
et
Donc on aura
de là, en faisant
on aura
et la formule du no 14 donnera,
étant
![{\displaystyle r=\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X''-2}}}{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ed58431c41840338010cf87f8bfd1a9df8597d)
Enfin, substituant ici les valeurs
et
trouvées ci-dessus, on aura
![{\displaystyle r={\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b4edbb4fcecf607b4ab748227335cdb4638fce)
et, par les remarques du no 15, on aura aussi
![{\displaystyle r^{4}=\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X''-2}}}{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22cac590dafc89212767bd90ef4f28f443097742)
et, changeant
en
en ![{\displaystyle \mathrm {X} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198360cf9b0bd7af529a4cc2b3047079174e3fb0)
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X'-2}}}{2}} ,\quad r^{3}=\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X'-2}}}{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e8e33e20c6f13105685510791d94b4d8393e4f)
d’où l’on aura, par les substitutions des valeurs de
![{\displaystyle \mathrm {X} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1405ad86767bc746a02e8610062f0979dedf218)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5b348825267e65bf2f863604f6a7c8ec30f696)
Comme
est un nombre premier, ces valeurs de
seront les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation (no 3)
![{\displaystyle x^{5}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e5823912d86acc8e2a4d5e5b80d9a0c58f7b96)
19. Les expressions de ces racines coïncident avec celles qu’on trouve en résolvant l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf59943606de64efc911db0709d99de3bffe31)
par les méthodes connues. Car on a d’abord, en divisant par ![{\displaystyle x-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c5bcb680651f0fe04af262674ae3fc37a2cc99)
![{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8905c1e5afe5e1bb53bc416054e3262ce869d9ea)
équation qui, étant mise sous la forme
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+x+{\frac {1}{x}}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69eb8e03350026b9e067170d5e2b218957ef643f)
devient
![{\displaystyle u^{2}+u-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db64c7fe88614617c02dea9b27522eae2381c1c)
par la substitution de
On a ainsi l’équation
![{\displaystyle x^{2}-xu+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf44cfa47d28a3c90e0e2f50d4b78ed674b2015)
laquelle donne
![{\displaystyle x={\frac {u\pm {\sqrt {u^{2}-4}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15dc89b012a30c544efcdebf6b514159cab7068)
ensuite l’équation en
donne
de sorte que, en substi-
tuant cette valeur, on a
![{\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}\pm {\sqrt {-10\mp 2{\sqrt {5}}}}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ed3b8748e02a0e6f23ac10fa3e48120d316d39)
où les signes supérieurs et inférieurs de
doivent se répondre, mais sont indépendants de ceux de l’autre radical, de sorte qu’on a les quatre racines par l’ambiguïté des signes des deux radicaux.
20. Passons à l’équation
![{\displaystyle x^{7}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325b495b7b0182ee56c3fff0163170e610994617)
laquelle, étant dégagée de la racine
devient
![{\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e14d0fb5203e47bfa92ea1a8b3b0d3d052cfc2)
dont les racines seront ![{\displaystyle r,r^{2},r^{3},r^{4},r^{5},r^{6}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd63d60a179927a3cd09e15d0d2bb38348b50c08)
La plus petite racine primitive pour le nombre
est
d’après la Table du no 4 ; ainsi on aura la progression
savoir,
dont les termes, étant divisés par
donneront les restes
qu’on prendra pour exposants de
On aura ainsi, pour les racines de l’équation proposée, les termes
qu’on prendra pour
21. Nous remarquerons ici que, pour avoir les exposants de
qui doivent former toutes les racines, il n’est pas nécessaire d’élever la racine primitive aux puissances successives et de diviser ensuite ces puissances par le nombre premier auquel la racine primitive se rapporte il suffit de multiplier chaque reste par la racine primitive et de ne retenir que le reste de la division par le nombre premier donné. Ainsi, en commençant par
on a, dans le cas présent, les deux premiers termes
multipliant
par la racine primitive
et divisant par
on a le reste
troisième terme ;
multiplié par
donne
quatrième terme ;
multiplié par
et divisé par
donne
enfin
multiplié par
et divisé par
donne
Si l’on voulait continuer en multipliant
par
et divisant par
on retrouverait l’unité et successivement les autres termes déjà trouvés.
22. Maintenant on fera
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{2}+\alpha ^{3}r^{6}+\alpha ^{4}r^{4}+\alpha ^{5}r^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef90ee0e6c6e5a59f21371f1dcbbd5e80e9ca1bf)
en prenant d’abord pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{6}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7a0aeed785f7305aea29e572d780234d4a1a2f)
ensuite on formera la fonction
mais, comme l’exposant
on pourra simplifier le calcul et les résultats par la méthode du no 11, en ne prenant d’abord pour
qu’une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
ce qui, à cause de
réduira l’expression de
à celle-ci
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37aa7e7ffa59a0d4cf23bfdfcdc2de159e362e9)
dans laquelle
![{\displaystyle \mathrm {X} '=r+r^{2}+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{3}+r^{6}+r^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7a9f578d7e52573c3cffabbfbd6e611e6c6c98)
On aura ensuite
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{où}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41715d15f061dc033e137850e3a4096e3c99d85c)
et l’on trouvera après le développement, à cause de ![{\displaystyle r^{7}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82777bfc85042af4641c80e7283938ceb28d558)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&3\left(r+r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right),\\\xi '=&2\left(3+r\ \ +r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5379e33166455b94eef90557e49467091cbf9d0f)
Or
somme des racines, est
donc
et la valeur de
se réduira à
De là, en faisant
on aura
et l’on trouvera sur-le-champ les deux racines
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} \ '=&{\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{2}}\\\mathrm {X} ''=&{\frac {-1-{\sqrt {-7}}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c17b6764102b4fa526af043f618d0c2fb43165)
23. Considérons maintenant les trois termes de l’expression de
comme les racines d’une équation du troisième degré ; prenant
pour racine de l’équation
![{\displaystyle y^{3}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88536421c526d00b89269b6a6f5e7486ff2f64f)
on fera
![{\displaystyle t_{1}=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471e2395a5d8cb5789287abcc1de0e92f5abe480)
ensuite, en faisant
![{\displaystyle \theta _{1}=t_{1}^{3}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbcd2c9c1b54969a4914d2a601df571348be975)
on trouvera, à cause de
et ![{\displaystyle r^{7}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82777bfc85042af4641c80e7283938ceb28d558)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&6+r^{3}+r^{6}+r^{5},\\\xi '\ =&3\left(r\ \ +r^{2}+r^{4}\right),\\\xi ''=&3\left(r^{3}+r^{6}+r^{5}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a622747ec7897e30a05b429157d2f30bf3ff6067)
savoir,
![{\displaystyle \xi =6+\mathrm {X} '',\quad \xi '=3\mathrm {X} ',\quad \xi ''=3\mathrm {X} ''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe44e740347d50c2811628ea102e4e4a323ee8f)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \theta _{1}=6+\mathrm {X''+3\alpha X'+3\alpha ^{2}X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7839d7d5f6cdfa6dd40ddaa83686bf4e9c4f2c1)
donc, en nommant
et
les deux racines imaginaires de
![{\displaystyle y^{3}-1=0,\quad {\text{savoir, de}}\quad y^{2}+y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd37e2d5bee1712b241aed02ccc5c66bc84f1c5b)
lesquelles sont
![{\displaystyle \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef055de4faaeabebf92bf32392d2c9e08307b58)
et faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '_{1}\ =&6+\mathrm {X''+3\alpha X'+3\alpha ^{2}X''} ,\\\theta ''_{1}=&6+\mathrm {X''+3\beta X'+3\beta ^{2}X''} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfee7913f0ff09c12295f0dcd179337b16c38a0b)
on aura (no 14), en faisant ![{\displaystyle \varpi =3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4975a60cae0830e20e81524c52f017a7bb05f903)
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt[{3}]{\theta '_{1}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{1}}}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699731a31b5b7fbf1fe2b65e24d7bdfbfc055c54)
24. Venons à l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b491333b01e42a3d17a131b3bdf18fd26d8c320)
laquelle, étant divisée par
s’abaisse au dixième degré et devient
![{\displaystyle x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1651186a5ebd46d37e4fe06e4f27ea51d75c32)
On voit, par la Table du no 4, que la plus petite racine primitive pour le nombre
est
ainsi la suite des restes, qu’on trouvera facilement par le procédé du no 21, sera ici
de sorte que la série des racines sera
![{\displaystyle r,\ \ r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{9},\ \ r^{7},\ \ r^{3},\ \ r^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d939d3117580803f7f711cb9bee8b7e1c972d0)
dont la somme sera par conséquent
et l’on aura pour
cette expression générale
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{5}+\alpha ^{5}r^{10}+\alpha ^{6}r^{9}+\alpha ^{7}r^{7}+\alpha ^{8}r^{3}+\alpha ^{9}r^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e765f2d4e7654be215d50372f048f13d11416a8)
laquelle, en prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{10}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c32595fbd8659856698cfea90dcb79c1cd3a347)
donnera, à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{10}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b325f968a92391d5cc4b4a3206d13a86665a72)
![{\displaystyle \theta =t^{10}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{9}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42cd4264cb9388265e3fffc56434828a1fd1879c)
d’où l’on tirera la valeur de
par la formule générale du no 8, en y faisant ![{\displaystyle \mu =11.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f93f7b46a2ac351e017c17f08638cde8af25881)
Mais, pour se dispenser d’élever le polynôme
à la dixième puissance, on pourra décomposer l’opération en deux autres correspondantes aux deux facteurs
et
du nombre
par la méthode du no 11.
Prenons d’abord pour une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
de sorte que l’on ait
Par là, l’expression de
se réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37aa7e7ffa59a0d4cf23bfdfcdc2de159e362e9)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \ +r^{4}+r^{5}+r^{9}+r^{3},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{10}+r^{7}+r^{6},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3762c12a1e5fb45b83272738a749fe8830e9b7)
et la valeur de
sera
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2}+2\alpha X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382df462e17567a32c9fa284eaf30d8f0d65fe38)
En développant les carrés des fonctions
et
et rabaissant toutes les puissances de
au-dessous de
à cause de
on trouve
![{\displaystyle \mathrm {X'^{2}=2X'+3X'',\quad X''^{2}=2X''+3X'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a93c125c2294e292e1513946119ccf06947f480)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {X'^{2}+X''^{2}=5(X'+X'')} =-5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa9e06ec0f139bcb79e5bc46a0fade1b36a5bad)
à cause que
est la somme de toutes les racines.
On trouve de même, par la multiplication,
![{\displaystyle \mathrm {X'X''=5+2(X'+X'')} =5-2=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77174e663efa15e2c1c7b9f8c6bd268d0a0f1699)
On aura ainsi
et, faisant
on aura
Donc on aura par les formules du no 11, en y faisant
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea88e045f584de89062971b2cb8eadd6084a2749)
25. Ayant ainsi les valeurs de
et
pour avoir celle de
il faudra considérer les cinq termes qui composent la quantité
comme les racines d’une équation du cinquième degré, et, puisque
est un nombre premier, on ne pourra employer que l’expression générale de
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{5}+\alpha ^{3}r^{9}+\alpha ^{4}r^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0886756101f679c24eed97eb09e020bbe0929b1e)
en prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{5}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dee5c701c474672ddc82ad053e855331ebb988)
Ensuite il faudra faire
![{\displaystyle \theta =t^{5}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020bd08d572429a7caf1133d5e29983373a910a1)
et il ne s’agira que de trouver les valeurs en
des coefficients
par l’élévation de l’expression de
à la cinquième puissance, en ayant soin de rabaisser les puissances de
au-dessous de
et celles de
au-dessous de
à cause de
et
Par un calcul qui n’a de difficulté qu’un peu de longueur et sur l’exactitude duquel on peut compter, j’ai trouvé, en retenant les expressions de
et
en ![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
du numéro précédent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&120+31X'+70X'',\\\xi '\ \ =&100+60X'+45X'',\\\xi ''\ =&\ \ 50+85X'+30X'',\\\xi '''=&60X'+65X'',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&50X'+75X''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d827c180c25c58a46b6dd8e5edc8322a97a319)
Comme les valeurs de
sont déjà connues par l’opération précédente, l’expression de la fonction de
ne présente plus rien d’indéterminé, et elle donnera sur-le-champ la valeur de la première racine
par la formule générale du no 14, en y faisant
et prenant pour
les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation
![{\displaystyle y^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac2d490d3823903944d14941d33d86d67dee755)
et pour
les valeurs de
qui répondent aux substitutions de
à la place de
dans l’expression trouvée pour ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)
26. Si dans les valeurs de
on substitue celles de
et
données dans le no 24, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&\quad \ {\frac {139-39{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi '\ \ =&\quad \ {\frac {95+15{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi ''\ =&-{\frac {15-55{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi '''=&-{\frac {125+5{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-{\frac {125+25{\sqrt {-11}}}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a40b7b893ccc4e7a0f962fac27f494c792f61f)
Si ensuite, au lieu des racines
on substitue les puissances
de la racine
qui les représentent, à cause que
est un nombre premier, et qu’on rabaisse les puissances de
au-dessous de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&\xi ^{0}+\alpha \ \,\xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta ''\ =&\xi ^{0}+\alpha ^{2}\xi '+\alpha ^{4}\xi ''+\alpha \ \,\xi '''+\alpha ^{3}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta '''=&\xi ^{0}+\alpha ^{3}\xi '+\alpha \ \,\xi ''+\alpha ^{4}\xi '''+\alpha ^{2}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\xi ^{0}+\alpha ^{4}\xi '+\alpha ^{3}\xi ''+\alpha ^{2}\xi '''+\alpha \ \,\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c63019844f5410e1277cad9c0824aba0f90603e)
et l’expression de la racine
sera
![{\displaystyle r={\frac {{\frac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {-11}}\right)+{\sqrt[{5}]{\theta '}}+{\sqrt[{5}]{\theta ''}}+{\sqrt[{5}]{\theta '''}}+{\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9019a88dcfd66b63b89bf84d99239fe0c92506fe)
où il n’y aura plus qu’à mettre pour
les valeurs de
que nous avons données plus haut (no 18).
27. On trouverait par les mêmes principes les valeurs des puissances de
qui forment les autres racines de l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b491333b01e42a3d17a131b3bdf18fd26d8c320)
excepté l’unité.
Et d’abord on aura les valeurs des racines
qui entrent dans la fonction
en multipliant, dans l’expression de
les radicaux
respectivement, par
pour la racine
par
pour
par
pour
et par
pour
c’est-à-dire par
par
par
et par
Ensuite, pour avoir les valeurs des autres racines
qui entrent dans la fonction
il n’y aura qu’à changer, dans celles de
en
et
en
ce qui ne demande que de changer le signe du radical
dans les expressions de
28. Je donne ici d’autant plus volontiers ces expressions des racines de l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b491333b01e42a3d17a131b3bdf18fd26d8c320)
qu’elles n’ont jamais été données et qu’elles n’auraient pas même pu
l’être par les méthodes connues, qui demandent la résolution d’une équation du cinquième degré.
Il y a cependant une exception à faire à ce que nous venons de dire car on trouve à la fin du Mémoire de Vandermonde sur la Résolution des équations, dont nous avons parlé dans la Note précédente, l’expression de la racine d’une équation du cinquième degré, d’où dépend la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8370748d7d6432c32fd4cf1f8c504a1dc34aee)
Car cette équation, étant divisée par
devient
![{\displaystyle x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a652d534a1bf2e2f7f6bd4af0f1f84478b51d49)
laquelle, étant du genre des réciproques, peut s’abaisser au cinquième degré, par la substitution de
et l’on obtient, par les formules de la Note X (no 14), cette équation en ![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
![{\displaystyle u^{5}+u^{4}-4u^{3}-3u^{2}+3u+1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3167d3906ee8fe616a532a09ecfab7d06a9a5664)
En prenant
négativement, ce qui change les signes de tous les termes pairs, on a l’équation résolue par Vandermonde. Cet Auteur ne donne l’expression dont il s’agit que comme un résultat de sa méthode générale, sans indiquer en détail les opérations par lesquelles il y est parvenu, et personne, après lui, ne s’est occupé, que je sache, à vérifier ce résultat, qui paraît même être resté ignoré.
29. La valeur que nous venons de trouver pour la racine
de l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b491333b01e42a3d17a131b3bdf18fd26d8c320)
pourrait servir à cette vérification ; mais on peut parvenir directement à un résultat comparable à celui de Vandermonde en prenant pour
dans l’expression générale de
du no 24, une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac2d490d3823903944d14941d33d86d67dee755)
au lieu de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c645758ef1110b32340677f06fab97cdd397139a)
que nous avons employée, ce qui est permis, puisque,
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
et
![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b)
étant les facteurs de
![{\displaystyle 10,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd9b5094185664070761d7d258d9fcbbdaed68a)
on peut partir de l’un ou de l’autre à volonté.
30. Faisant donc
l’expression générale de
(no 24) deviendra
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\alpha ^{3}X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}X^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127520d0fb7aa86d55b9baac4bef94c281f34e05)
dans laquelle
![{\displaystyle \mathrm {X} '=r+r^{10},\ \ \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{9},\ \ \mathrm {X} '''=r^{4}+r^{7},\ \ \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r^{8}+r^{3},\ \ \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=r^{5}+r^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a95a65df6678b8b79f2b9d22fb0773e28d72d25)
et l’on regardera maintenant les quantités
comme les racines d’une équation du cinquième degré ; c’est le cas que nous avons considéré en général dans le no 12.
On fera donc
![{\displaystyle \theta =t^{5}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020bd08d572429a7caf1133d5e29983373a910a1)
et l’on cherchera les valeurs de
en fonction de
par le développement de la puissance cinquième de
en y rabaissant continuellement les puissances de
au-dessous de
et celles de
au-dessous de
à cause de
et
Le calcul n’a d’autre difficulté que la longueur. Voici les résultats que j’ai trouvés et dont je crois pouvoir répondre.
En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle s=r+r^{2}+r^{4}+r^{8}+r^{5}+r^{10}+r^{9}+r^{7}+r^{3}+r^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1536d49ff735ea4fe44c787fe763bc2c65d94c07)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&1640+1836s,\\\xi '\ \ =&1700+1830s,\\\xi ''\ =&2050+1795s,\\\xi '''=&1800+1820s,\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&1900+1810s.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3a29cf50c7e6a251faae2aca4b40134a0b4bc)
Or
est la somme des racines, qui, par la nature de l’équation du dixième degré en
dont le second terme est
doit être égale à
Faisant donc
on aura
![{\displaystyle \xi ^{0}=-196,\quad \xi '=-130,\quad \xi ''=255,\quad \xi '''=-20,\quad \xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=90.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d4a0bf28d37f64744c9a7400fbdc11fe86e6f6)
Ainsi la valeur de
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
sera
![{\displaystyle \theta =-196-130\alpha +255\alpha ^{2}-20\alpha ^{3}+90\alpha ^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9fce8df39d6b2abd45da2611d799d16b9ba8d5)
En mettant successivement à la place de
les quatre racines
de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18314ec2fe53890663f83fc804a5e7914a24bfb3)
on aura les quantités
et, si l’on prend comme ci-dessus (no 26), pour ces racines, les puissances
dont les valeurs sont les mêmes que celles de
du no 18, on aura, à cause de ![{\displaystyle x^{5}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c33bd94104cbd8803048e43898a9d8f76ce7760)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&-196-130\alpha \ \,+255\alpha ^{2}-20\alpha ^{3}+90\alpha ^{4},\\\theta ''\ =&-196-130\alpha ^{2}+255\alpha ^{4}-20\alpha \ \,+90\alpha ^{3},\\\theta '''=&-196-130\alpha ^{3}+255\alpha \ \,-20\alpha ^{4}+90\alpha ^{2},\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-196-130\alpha ^{4}+255\alpha ^{3}-20\alpha ^{2}+90\alpha ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d239c96adc2dcb62855dd76ed06db4e1af621539)
et la formule générale du no 11 donnera tout de suite, en faisant
et ![{\displaystyle s=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3481694aa04ac67a7d0070e8a5c20e6a63fa1b)
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt[{5}]{\theta '}}+{\sqrt[{5}]{\theta ''}}+{\sqrt[{5}]{\theta '''}}+{\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}{5}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba574033b349641e3020aa6767748f392298b318)
Cette quantité
est
à cause de
c’est la valeur de
(no 12) ; c’est aussi celle de la racine
de l’équation en
du cinquième degré (no 28), puisque
est la racine de l’équation
![{\displaystyle x^{11}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8370748d7d6432c32fd4cf1f8c504a1dc34aee)
Ainsi l’expression précédente, prise négativement, doit s’accorder avec celle de Vandermonde.
31. Pour pouvoir les comparer facilement, nous substituerons dans les expressions précédentes de
les valeurs de
qui sont les mêmes que celles de
du no 18.
En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle m={\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}},\quad n={\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530b3939ba8c3eeb0dacab79dc8d3975ca34558d)
on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha \ \,=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}+m}{4}},\qquad &\alpha ^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+n}{4}},\\\alpha ^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-n}{4}},&\alpha ^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-m}{4}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b6f7d40240d71973d357dea0a6fc38f8652fb1)
et, pour s’assurer de la justesse de ces expressions, il n’y a qu’à faire le carré de
qui est
![{\displaystyle 6-2{\sqrt {5}}+m^{2}+2\left({\sqrt {5}}-1\right)m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1936f7b66646beb08076cb7e5fe5e6dd2d6a3dd)
or, en faisant passer sous le signe radical de
le coefficient
élevé au carré, on trouvera
![{\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)m=2n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250ffbc549dfcf4af7a30a60fe148b4b9411dc4d)
de sorte que, en substituant la valeur de
on a
![{\displaystyle \left(-1+{\sqrt {5}}+m\right)^{2}=4\left(-1-{\sqrt {5}}+n\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba25c549a8d44d00f64da057de7a2efb83986a20)
On peut vérifier de même les autres puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Faisant ces substitutions, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}-220m+275n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}-275m-220n\right),\\\theta '''=&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}+275m+220n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}+220m-275n\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8697f4d240f35921792b6d3833468dd7fa33a095)
où l’on remarquera que les coefficients
sont tous divisibles par
et donnent pour quotients
de sorte que les quantités
peuvent être exprimées plus simplement ainsi :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-20m+25n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-25m-20n\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+25m+20n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+20m-25n\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe81b225fb752dcfc4848fc6688e71fd89bf3fa)
32. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de Vandermonde, nous emploierons ces transformations
![{\displaystyle m=p+q,\quad n=p-q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f55353b60aea8cf081cf3ccdf64dd3451e64608)
en supposant
![{\displaystyle p={\sqrt {-5-2{\sqrt {5}}}},\quad q={\sqrt {-5+2{\sqrt {5}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fec2112efbccb1676c9a2d1706ef0b0d7478e1f)
lesquelles se vérifient en faisant les carrés et en observant que
parce que le produit des deux radicaux réels et positifs
est
donc
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=p{\sqrt {-1}}.q{\sqrt {-1}}=-pq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7c9b03d3c4b70bf230bd9183f168c711c3c1c3)
Par ces substitutions, les quantités
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5p-45q\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-45p-\ \ 5q\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+45p+\ \ 5q\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5p+45q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa636d31769cf8f2d9e8f767d0ec094ed5e3a12e)
33. Vandermonde a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1771 (p. 416), pour la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+3x-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794d33e49d92f3bf2728a66aeef5e466c0fbc8f0)
cette expression de la racine
![{\displaystyle x={\frac {1}{5}}\left(1+\Delta '+\Delta ''+\Delta '''+\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf34bc729e8ecdc6124afe1860e152a1214b206)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta '\ \ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}-\ \ 5q+45p\right)}},\\\Delta ''\ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}+\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta '''=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5q+45p\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef87a4449d337888a1d874d609d768e90b41e6a7)
en conservant les valeurs de
et
supposées ci-dessus.
On voit que les expressions de
et
coïncident avec celles de
et
et que les expressions de
et
ne différent de celles de
et
que par l’échange des quantités
et
entre elles, ce qui ne tient qu’au signe du radical
sous le radical carré. À cette différence près, qui peut venir d’une faute d’impression dans le Mémoire de Vandermonde, ses résultats s’accordent parfaitement avec les nôtres, puisque la racine de son équation en
répond à la racine de notre équation en
prise négativement, et que tout radical cinquième
est la même chose que
On peut donc dire que Vandermonde est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée.
34. Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de Vandermonde, nous allons prouver qu’elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l’on désigne, comme lui, par
les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18314ec2fe53890663f83fc804a5e7914a24bfb3)
il est facile de voir, par la formule générale de l’Article VII de son Mémoire, que la quantité
ne peut être que de la forme
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26d9b3e43365b2e6fe61e0597d0bef632e2fd3)
et que, en prenant cette expression pour l’une des quantités
les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci par la substitution de
à la place de
les quantités
étant des fonctions des racines de l’équation à résoudre, indépendantes des racines ![{\displaystyle r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36821b2bc3d4ae22af6d905cb19d32924748f729)
Or, par les relations données dans le même Article entre ces dernières racines, on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}r'^{2}=&r''',&r''^{2}=&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r'''^{2}=&r'',&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}2}=&r',\\r'^{3}=&r'r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &r''^{3}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\quad &r'''^{3}=&r''r'''=r',\quad &r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}3}=&r'\ r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',\\r'^{4}=&r'r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',&r''^{4}=&r''r'''=r',&r'''^{4}=&r'\ r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}4}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6040e095512334b74265b6d0c9714115787542bc)
Donc les quatre expressions dont il s’agit deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'\ \ +\mathrm {C} r''\ +\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'''+\mathrm {C} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {D} r''\ +\mathrm {E} r'\ \ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {C} r'''+\mathrm {D} r'\ \ +\mathrm {E} r''\ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r''\ +\mathrm {C} r'\ \ +\mathrm {D} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {E} r'''}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dd18c203c9cf3ece1feb67dec899895a2da10f)
35. Dans l’Article XXIII du même Mémoire, on trouve pour les racines de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf59943606de64efc911db0709d99de3bffe31)
ces expressions, dans lesquelles j’introduis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres
et
Doi, ci-dessus,
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\begin{aligned}-1\left.{\begin{aligned}&+\\&+\\&-\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ {\sqrt {5}}\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&+\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ q\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&-\\&+\end{aligned}}\right\}\ \ p\end{aligned}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8b7e875dd066b67d23529e47f0a95824de491e)
En prenant la première de ces racines pour
de sorte que l’on ait
![{\displaystyle r'={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+p+q\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e604768145a1c6c2eb9b2ce563f1216527c7a1)
il faudra, d’après les formules du no 31, en prenant
pour
et substituant
pour
supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}r'''=&r'^{2}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}+p-q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r'^{3}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}-p+q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&r'^{4}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}-p-q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd54c9fcfa0be5754040037a2ec157064aefe88)
Substituant ces valeurs dans les expressions ci-dessus, elles se changeront en celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {H} p+\mathrm {K} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {K} p-\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {K} p+\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {H} p-\mathrm {K} q\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d586363c9217a04c38e577961f235b4c5b74464)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {F=4A-B-C-D-E} ,\\&\mathrm {G=\ \ B+C-D-E} ,\\&\mathrm {H=\ \ B-C+D-E} \\&\mathrm {K=\ \ B-C-D+E} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c47a187f5dd4576c4cba241f136027590bd2e2b)
lesquelles doivent coïncider avec celles de
rapportées ci-dessus (no 33). Mais on voit au premier coup d’œil que cette coïncidence ne peut avoir lieu, à moins qu’on ne change à la fois
en
et
en
dans
et
ou dans
et
parce que, dans les formules précédentes, les coefficients de
et
ne sont les mêmes que dans les deux où la racine
est affectée du même signe ; au lieu que dans les expressions de
les quantités
et
ont partout les mêmes coefficients.
36. En faisant ce changement dans
et
comme nous l’avons indiqué (no 33) pour accorder les formules de Vandermonde avec les nôtres, on pourra supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta '\ \ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {H} p+\mathrm {K} q\right)}},\\\Delta ''\ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {H} p-\mathrm {K} q\right)}},\\\Delta '''=&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {K} p+\mathrm {H} q\right)}},\\\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {K} p-\mathrm {H} q\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b500e41d81c554a26c863d3e6286b56f381c4937)
ce qui se vérifiera en faisant
![{\displaystyle \mathrm {F=11.89,\quad G=11.25,\quad H=-5,\quad K=45} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4f4ab3f3e65b3fddcdb0b17e55ad23f8f36be5)
De là on aura, par les formules du numéro précédent,
![{\displaystyle \mathrm {B=-A-11.6,\quad C=A-11.26,\quad D=A-11.41,\quad E=A-11.16} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93196661312a054215ff9da605ed7e53ebaa4b3a)
et la quantité
restera indéterminée, parce que, à cause de
![{\displaystyle 1+r'+r''+r'''+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811d4ffe115730875b8a6654a14eb9ecc485b9b3)
elle disparaîtra des expressions des quantités
du no 34.
Si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {A} =196,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c4e06ff60985755682c1f372ab9afd230d824)
on trouve
![{\displaystyle \mathrm {B} =130,\quad \mathrm {C} =-90,\quad \mathrm {D} =-255,\quad \mathrm {E} =20,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc442dd490e96304221b9034430392fa0eb93dce)
et la formule
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26d9b3e43365b2e6fe61e0597d0bef632e2fd3)
du no 34 coïncidera avec celle de
du no 30, parce que, en faisant
on a
(no 35), et les formules dérivées de celle-là coïncideront aussi avec celles de ![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{-\theta ''}},{\sqrt[{5}]{-\theta '''}},{\sqrt[{5}]{-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a030a72e9660c47329e517b9a78409d40014802a)
37. Prenons pour dernier exemple l’équation
![{\displaystyle x^{13}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97c76370c75b9fbc78664b4d41cdb258be2b9a0)
Comme
l’opération pourra se décomposer en trois de la manière suivante.
Il faut d’abord avoir une racine primitive pour le nombre
et la Table du no 4 fournit le nombre
dont les puissances successives jusqu’à la onzième, divisées par
donnent les restes
Ainsi, en nommant
une racine de l’équation
![{\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9bc4e691c76cf416135e8f7feb626ec51a041b)
les autres onze racines seront
![{\displaystyle r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{3},\ \ r^{6},\ \ r^{12},\ \ r^{11},\ \ r^{9},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{7}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b81d0f6cb2f5eb07c6bf237a2df91dfeb2c9e3)
On fera donc, en général,
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{3}+\alpha ^{5}r^{6}+\alpha ^{6}r^{12}+\alpha ^{7}r^{11}+\alpha ^{8}r^{9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ae3d3e2cdb67cb867935a307972ee97f47c925)
![{\displaystyle +\alpha ^{9}r^{5}+\alpha ^{10}r^{10}+\alpha ^{11}r^{7},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9906f65d3254ebf3e9c124bfe1f1f5dab359b07c)
et l’on prendra d’abord pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
en sorte que
ce qui réduira la fonction
à la forme
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37aa7e7ffa59a0d4cf23bfdfcdc2de159e362e9)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \,+r^{4}+r^{3}+r^{12}+r^{9}+r^{10},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{6}+r^{11}+r^{5}+r^{7}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686c199c7daefaf68a97d33badffa5b10118c6bd)
De là on aura
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ,\quad \xi =\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f3ec69a9b9b23a0019bea1854f5e3b5a485fca)
On peut se dispenser de chercher la valeur de
en se servant de l’expression de du no 11, qui ne renferme pas
et qui donne ici, à cause de
et de
somme des racines de l’équation proposée,
de sorte qu’en faisant
on aura la valeur de
et les deux racines
seront (numéro cité)
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c689e09e21418fd69c7269b32af6f9b3304949)
Pour avoir la valeur de
il faut développer le produit
en punissances de
ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à
à cause de
et l’on trouve
en mettant
pour la somme des racines
laquelle est
de sorte qu’on aura
et les valeurs de
seront
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea88e045f584de89062971b2cb8eadd6084a2749)
38. On regardera maintenant les six racines qui composent la quantité
comme celles d’une équation du sixième degré, et l’on fera de nouveau
![{\displaystyle t_{1}=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{3}+\alpha ^{3}r^{12}+\alpha ^{4}r^{9}+\alpha ^{5}r^{10}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f02f529107bb365ea267473257d5c1d59a98e44)
mais, au lieu de prendre en général pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{6}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2d9785ca7be6bd7bb81344254519690195ad11)
ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme
nous prendrons de nouveau une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
de sorte que, au moyen de
la fonction
redeviendra de la forme
![{\displaystyle t_{1}=\mathrm {X} '_{1}+\alpha \mathrm {X} ''_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a482cbc4dd4b9bf27870510d618c7e3d409888)
dans laquelle on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '_{1}=r+r^{3}+r^{9},\quad \mathrm {X} ''_{1}=r^{4}+r^{12}+r^{10}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7f9b8b9e0cb2b6432cdf34c327f02d3398d4d0)
On aura ensuite, comme ci-dessus,
![{\displaystyle \theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad \xi _{1}^{0}=\mathrm {X_{1}^{'2}+X_{1}^{''2},\quad \xi '_{1}=2X'_{1}X''_{1}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312b6fc0ac1c3277547ed5a5ee3a3ac57ef2c7f7)
et, à cause que la somme des racines est ici
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle \mathrm {X} '_{1}={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''_{1}={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685bd71ba5dc5d714bb5b47647bf5eea96ab91c3)
on aura en même temps
et, faisant
![{\displaystyle \theta '_{1}=\mathrm {X} '^{2}-2\xi '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505b076d0c524156cf7c04532da11b575fe463b1)
Pour avoir
il faudra développer le produit de
par
en se souvenant toujours que
et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {X'_{1}X''_{1}=3+X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8850541135b1cb87226974a47e75cc6bbb7cdeb6)
ce qui donnera
![{\displaystyle \xi '_{1}=6+2\mathrm {X} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3717cd0246dfb22694c5098855a6c2ce6cef520b)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} ,\\\mathrm {X} ''_{1}=&\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9b656e2bd75d2284043dbbe631e8c2c84023e2)
39. Nous remarquerons ici que, comme en mettant
au lieu de
la fonction
devient
et la fonction
devient
si l’on dénote par
ce que deviennent les fonctions
en y substituant
au lieu de
dans toutes les puissances de
ce qui donne
![{\displaystyle (\mathrm {X} '_{1})=r^{2}+r^{6}+r^{5},\quad (\mathrm {X} ''_{1})=r^{8}+r^{11}+r^{7},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82349879838887bd31a2926533c1b40822287fb2)
on aura les valeurs de
en échangeant dans celles de
les quantités
entre elles. On trouvera ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {X} '_{1})\ =&\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} ,\\(\mathrm {X} ''_{1})=&\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473b75da567cc8299d825fcb9dac5c33735a5768)
Ce sont les fonctions correspondantes à
qu’on obtiendrait en procédant à l’égard des racines qui composent la fonction
comme on a fait sur celles de
Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de
.
40. Pour cet effet, il faut encore regarder les trois racines qui composent la fonction
comme celles d’une équation du troisième degré, et faire, en conséquence,
![{\displaystyle t_{2}=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{9},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcfa53931b0f1808714bc0f843246771b1de605)
en prenant pour
une racine de l’équation ![{\displaystyle y^{3}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e4e4c8fe0261111603a1d32da85d4dc091910)
De là, on formera la fonction
![{\displaystyle \theta _{2}=t_{2}^{3}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd2644d62e2e6a06cd0cdc1adb270ef11d63a8c)
et l’on trouvera, par le développement, en faisant
et
ces expressions
![{\displaystyle \xi _{2}^{0}=6+\mathrm {X} '_{1},\quad \xi '_{2}=3(\mathrm {X} '_{1}),\quad \xi ''_{2}=3(\mathrm {X} ''_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f67170b5a28cf7e7e6f61aaa455279f785fcef)
Donc, nommant
et
les deux racines de l’équation
![{\displaystyle y^{2}+y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768b1b6d57ae9e24a33ff0f846b876a496dcaec1)
et faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '_{2}\,=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\alpha (\mathrm {X} '_{1})+3\alpha ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\\\theta ''_{2}=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\beta \,(\mathrm {X} '_{1})+3\beta ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912ccb9a77f59d302c4423e927740dc128b2f516)
on aura, comme dans le no 23,
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {X} '_{1}+{\sqrt[{3}]{\theta '_{2}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{2}}}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c414cc733935251e3f2aca0022010d3811c8e21)
Ainsi la valeur de
est entièrement déterminée ; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d’employer pour la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{13}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2405795b24ca85ff5a2a8a58d86e3496b8ad6eea)
ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues en sinus et cosinus.
41. Je remarquerai, en finissant, que la méthode exposée dans cette Note peut être regardée comme une simplification de celle que M. Gauss a indiquée d’une manière générale dans l’Article 360 des Disquisitiones arithmeticæ. Celle-ci est fondée aussi sur le développement d’une fonction semblable à la fonction que nous avons désignée par
mais elle demande de plus la formation et le développement d’autant d’autres fonctions du même ordre que l’équation a de racines, ce qui allonge considérablement le calcul. Notre méthode est indépendante de ces fonctions auxiliaires, et conduit directement aux expressions les plus simples des racines.