NOTE XIII.
SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.
La résolution des équations du second degré se trouve dans Diophante et peut aussi se déduire de quelques propositions des Data d’Euclide ; mais il paraît que les premiers algébristes italiens l’avaient apprise des Arabes. Ils ont résolu ensuite les équations du troisième et du quatrième degré ; mais toutes les tentatives qu’on a faites depuis pour pousser plus loin la résolution des équations n’ont abouti qu’à faire trouver de nouvelles méthodes pour le troisième et le quatrième degré, sans qu’on ait pu entamer les degrés supérieurs, si ce n’est pour des classes particulières d’équations, telles que les équations réciproques, qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié, celles dont les racines sont semblables aux racines des équations du troisième degré et que Moivre a données le premier, et quelques autres du même genre.
1. Dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (années 1770 et 1771)[1], j’ai examiné et comparé les principales méthodes connues pour la résolution des équations algébriques, et j’ai trouvé que ces méthodes se réduisent toutes, en dernière analyse, à employer une équation secondaire qu’on appelle résolvante, dont la racine est de la forme
![{\displaystyle x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c3397cde9ada510b8a373391c21c319e7955af)
en désignant par
les racines de l’équation proposée, et par
une des racines de l’unité, du même degré que celui de l’équation.
Je suis ensuite parti de cette forme générale des racines, et j’ai cherché a priori le degré de l’équation résolvante et les diviseurs qu’elle peut avoir, et j’ai rendu raison pourquoi cette équation, qui est toujours d’un degré plus haut que l’équation donnée, est susceptible d’abaissement pour les équations du troisième et du quatrième degré et peut servir à les résoudre.
J’ai cru qu’un précis de cette théorie ne serait pas déplacé dans le présent Traité, non-seulement parce qu’il en résulte une méthode uniforme pour la résolution des équations des quatre premiers degrés, mais encore parce que cette méthode s’applique avec succès aux équations à deux termes, de quelque degré qu’elles soient.
2. Représentons l’équation proposée par la formule générale
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b78efd381566ee5786c1c7f1106e4cf2a9a182)
et désignons ses
racines par
on aura, par les propriétés connues des équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&x'+x''+x'''+\ldots +x^{(m)},\\\mathrm {B} =&x'x''+x'x'''+\ldots +x''x'''+\ldots ,\\\mathrm {C} =&x'x''x'''+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c9175bae2bb6a0d7fd979f2e2061d26f5f551c)
Soit
l’inconnue de l’équation résolvante ; nous ferons, d’après ce que nous venons de dire,
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e182e5298c0cf47a39552ecabc9b9eafeb6ad4d)
la quantité
étant une des racines
ièmes de l’unité, c’est-à-dire une des racines de l’équation à deux termes ![{\displaystyle y^{m}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703fc574ae598a685190aa2d4c113b987c3dd32d)
Pour avoir l’équation en
il faudra éliminer les
inconnues ![{\displaystyle x',x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce49d201020327a47ec5b0e346886185b3f2a10f)
au moyen des équations précédentes, qui sont aussi au nombre de
mais ce procédé exigerait de longs calculs, et aurait, de plus, l’inconvénient de conduire à une équation finale d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être.
3. On peut parvenir directement et de la manière la plus simple à l’équation dont il s’agit, en employant la méthode dont nous avons fait un fréquent usage jusqu’ici, laquelle consiste à trouver d’abord la forme de toutes les racines de l’équation cherchée, et à composer ensuite cette équation par le moyen de ses racines.
Il est d’abord clair que, dans l’expression de
on peut échanger entre elles à volonté les racines
puisque rien ne les distingue jusqu’ici l’une de l’autre ; d’où il suit qu’on aura toutes les différentes valeurs de
en faisant toutes les permutations possibles entre les racines
et ces valeurs seront nécessairement les racines de la réduite en
qu’il s’agit de construire.
Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre
choses est exprimé en général par le produit
donc l’équation en
aura en général autant de racines qu’il y a d’unités dans ce nombre, et sera par conséquent d’un degré exprimé par le nombre
mais nous allons voir que cette équation est susceptible d’abaissement par la forme même de ses racines.
Comme cette forme dépend de la quantité
qu’on suppose être une racine de l’équation
nous commencerons par quelques remarques sur les propriétés des racines de cette équation, et, pour cela, nous considérerons séparément les cas où l’exposant
est un nombre premier et celui où cet exposant est un nombre composé.
4. Supposons d’abord que le nombre
soit premier. Dans ce cas, toutes les puissances de
jusqu’à
auront des valeurs différentes, à moins que l’on n’ait
car, si deux puissances
et
étaient égales, on aurait
et de là
or, aucune puissance de
moindre que
ne peut être
tant que
n’est pas
En effet, puisque
si l’on avait en même temps
étant
il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune ; et, en cherchant par les règles ordinaires le plus grand commun diviseur des deux quantités
et
on trouve nécessairement
pour ce diviseur, à cause que
est un nombre premier, de sorte que la racine commune aux deux équations
et
ne peut être que l’unité.
5. Il s’ensuit de là : 1o que les puissances
représentent toutes les racines de l’équation
en prenant pour
une quelconque des racines de cette équation, autre que l’unité ; car, puisque
on aura aussi
de sorte que les puissances
seront aussi des racines de la même équation, et, comme elles sont au nombre de
et ont toutes des valeurs différentes, elles donneront nécessairement toutes les racines de l’équation
6. Il s’ensuit aussi : 2o que, si dans la série des puissances ![{\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88ead1512562b26e5d3ccbe78954806e7e52709)
on substitue pour une quelconque de ces puissances ; comme
étant
la nouvelle série
en rabaissant toutes les puissances au-dessous de
à cause de
contiendra encore les mêmes puissances, mais dans un ordre différent ; car il est visible que tous les exposants
sont différents et que leurs restes de la division par
le sont aussi, parce que
est un nombre premier ; de sorte que ces restes, étant au nombre de
et tous différents entre eux, ne peuvent être que les nombres
7. Considérons maintenant le cas où
est un nombre composé. Dans ce cas, si
est un diviseur de
toutes les racines de l’équation
seront communes à l’équation
parce qu’en supposant le nombre
racine de l’équation
on aura
et par conséquent aussi
de sorte que
sera aussi racine de l’équation
En faisant donc
on aura
et, si
il est visible que dans la série des puissances
chacune se trouvera répétée
fois ; par conséquent, ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l’équation
parce que cette équation ne peut avoir de racines égales.
8. Soit
et
étant deux nombres premiers, et soient
une des racines de l’équation
et
une des racines de l’équation
il est clair que
et
seront aussi racines de l’équation
parce que,
et
étant
on aura aussi
mais toutes les racines de l’équation
ne pourront pas être représentées par les puissances successives de ces racines
et
On voit aussi que le produit
sera racine de la même équation
mais aucune puissance de cette racine, dont l’exposant serait inférieur à
ne pourra être égale à l’unité, à moins que
ou
ne soit
car il faudrait que l’exposant de cette puissance fût un diviseur de
et par conséquent égal à
ou à
on aurait donc
ou
Dans le premier cas, on aurait
à cause de
(hyp.), et, comme on a déjà
(hyp.), il en résulterait
à cause que
et
sont premiers entre eux ; dans le second cas, on aurait
9. Ainsi, tant que
et
sont différents de l’unité, la racine de l’équation
a, lorsque
la même propriété que la racine lorsque
est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par les puissances successives de
10. Comme les valeurs de
sont au nombre de
et celles de
au nombre de
les valeurs de
seront au nombre de
c’est-à-dire de
et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles, parce qu’elles peuvent être représentées par
en faisant successivement
et
à cause que les nombres
et
sont supposés premiers ; d’où il suit que toutes les racines de l’équation
étant
peuvent être représentées par les produits
des racines des équations
et
étant des nombres premiers.
On prouvera de même que, si
en supposant
des nombres premiers, et que
soient respectivement des racines quelconques des trois équations
le produit
en donnant successivement à
toutes leurs valeurs, pourra représenter toutes les racines de l’équation
et que celles de ces racines qui seront exprimées par
en excluant l’unité des valeurs de
auront les mêmes propriétés que les racines de l’équation
lorsque
est un nombre premier.
Et ainsi de suite.
11. Mais, si l’on avait
étant un nombre premier, en prenant
pour une quelconque des racines de l’équation
il est clair que
serait aussi racine de l’équation
et que
le serait aussi. On prendrait donc, dans ce cas, pour
une quelconque des valeurs de
et l’on aurait également
pour l’expression de toutes les racines de
De même, si
en conservant les valeurs de
et
on ferait de plus
et l’on aurait
pour l’expression de toutes les racines de
en donnant successivement à
toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.
12. Donc, en général, si
et que
soient respectivement des racines quelconques des équations
![{\displaystyle y^{p}-1=0,\quad y^{q}-1=0,\quad y^{r}-1=0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292c8b4477a3cced4560a7ecc96495d2a71749ac)
étant des nombres premiers ; si l’on fait de plus
![{\displaystyle \beta '={\sqrt[{p}]{\beta }},\ \ \beta ''={\sqrt[{p}]{\beta '}},\ldots ,\ \ \gamma '={\sqrt[{q}]{\gamma }},\ \ \gamma ''={\sqrt[{q}]{\gamma '}},\ldots ,\ \ \delta '={\sqrt[{r}]{\delta }},\ \ \delta ''={\sqrt[{r}]{\delta '}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a1411d9195345da47852a861f750b69bad0a92)
on aura
![{\displaystyle \beta \beta '\beta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f9b9ce295fb8caad013016d44c37e20038af15)
pour l’expression générale des racines de l’équation
en donnant successivement à
toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.
On voit par là que, pour avoir les racines de l’équation à deux termes
lorsque
n’est pas un nombre premier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposants soient les nombres premiers qui composent le nombre
13. Enfin nous remarquerons que, comme l’équation
manque de tous les termes intermédiaires, si l’on nomme
ses racines, on aura, par les formules générales données au commencement de la Note VI,
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}1+\alpha &+\beta &+\gamma &+\ldots =0,\\1+\alpha ^{2}&+\beta ^{2}&+\gamma ^{2}&+\ldots =0,\\1+\alpha ^{3}&+\beta ^{3}&+\gamma ^{3}&+\ldots =0,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6958fc28d22594c30bbdd6b70e2096b2d8675639)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&1+\alpha ^{m-1}+\beta ^{m-1}+\gamma ^{m-1}+\ldots =0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6420077624653eccaf8827c46992e0f04c05c8)
ensuite, à cause de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+\alpha ^{m}\quad +\beta ^{m}\ \ \ +\gamma ^{m}\quad +\ldots =&m,\\1+\alpha ^{m+1}+\beta ^{m+1}+\gamma ^{m+1}+\ldots =&0,\\1+\alpha ^{m+2}+\beta ^{m+2}+\gamma ^{m+2}+\ldots =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7463e9705d46d8c12c679d124c7143994698ef54)
et ainsi de suite.
Ces différentes remarques nous seront fort utiles dans la suite.
14. Ces préliminaires posés, considérons la fonction
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b0fa9b14a65f0fed970ce21c414e3edf0bac33)
dans laquelle
sont les racines de l’équation proposée du degré
et
est une racine quelconque de l’équation
de manière que l’on ait ![{\displaystyle \alpha ^{m}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef543f83d8d2ba73435a5cb6a6a6a1f812aff021)
On voit d’abord que cette expression est une fonction invariable des quantités
et qu’ainsi le résultat des permutations des racines
entre elles sera le même que celui des puissances de
entre elles.
15. Il s’ensuit de là que
sera le résultat des permutations simultanées de
en
en
en
à cause de
De même,
sera le résultat des permutations simultanées de
en
en
en
et
en
à cause de
et ainsi de suite.
Donc,
étant une des racines de l’équation résolvante en
seront aussi des racines de la même équation, par conséquent, l’équation en
devra être telle qu’elle ne change pas en y changeant
en
en
en
en
d’où il est facile de conclure d’abord que cette équation ne pourra contenir que des puissances de
dont les exposants soient multiples de
.
Si donc on fait
on auraune équation en
qui ne sera que du degré
et dont les racines seront les différentes valeurs de
résultant des permutations des
racines
entre elles.
16. L’expression de
sera, à cause de
de la forme
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{m-1}\xi ^{(m-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9398d396b529aad187d852efa3b05c284e98cf89)
dans laquelle les quantités
seront des fonctions déterminées de
lesquelles auront en général la propriété d’être invariables par les permutations simultanées de
en
en
en
de
en
en
en
en
et ainsi de suite, ce qui suit de ce que
est également ![{\displaystyle =t^{m}=(\alpha t)^{m}=\left(\alpha ^{2}t\right)^{m},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2a1b2d83e912a675b597d893a7e81e163de997)
Lorsque les quantités
seront connues, on aura tout de suite les valeurs de toutes les racines
de la proposée ; car, puisque
on aura
et, si l’on dénote par
les racines de l’équation
et qu’on dénote aussi par
les valeurs de
qui répondent à la substitution successive de
à la place de
dans l’expression de
, on aura, à cause de
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87375c849dd4830e07f10bf16cb341f86722dc85)
les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'+\ \ \ x''+\quad x'''+\ldots +\ \qquad x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}},\\x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta '}},\\x'+\beta x''+\,\beta ^{2}x'''+\ldots +\beta ^{m-1}x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta ''}},\\x'+\gamma x''+\,\gamma ^{2}x'''+\ldots +\gamma ^{m-1}x^{(m)}=&{\sqrt[{m}]{\theta '''}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc53f5e3eea0ce5c51f707127910aa928c8d8167)
Ces équations, étant ajoutées ensemble, donneront d’abord, par les propriétés des racines
(no 13),
![{\displaystyle x'={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+{\sqrt[{m}]{\theta '}}+{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\ldots +{\sqrt[{m}]{\theta ^{(m-1)}}}}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d724a2f2375d802ff4b58a713f90570d36ca8b9)
Ensuite, si on les multiplie respectivement par
et qu’on les ajoute de nouveau ensemble, on aura, par les mêmes propriétés,
![{\displaystyle x''={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta '}}+\beta ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\gamma ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta '''}}+\ldots }{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ff0bf18e2b2e8e1075c15bc294778fbed177e4)
On trouverait de la même manière
![{\displaystyle x'''={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta '}}+\beta ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\gamma ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta '''}}+\ldots }{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a710b2d339dda958667cae094b917fb7a464bcd5)
et ainsi de suite.
17. Nous remarquerons sur ces formules que le terme
étant égal à la somme
des racines, est donné immédiatement par l’équation, de sorte qu’on a
(no 2), équation nécessairement identique, et qui pourrait servir, s’il en était besoin, à s’assurer de la bonté du calcul.
Il s’ensuit de là aussi que, comme
en faisant
on aura
![{\displaystyle \xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\ldots +\xi ^{(m-1)}=\theta ^{0}=\mathrm {A} ^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e315e6af8986d201b7da4116e0da107eebdfa59)
et par conséquent
![{\displaystyle \xi ^{0}=\mathrm {A} ^{m}-\xi '-\xi ''-\xi '''-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eba56e3e1bf7defbfc36c035f9dc0a095ba763)
valeur qui, étant substituée dans l’expression générale de
, la réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle \theta =\mathrm {A} ^{m}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6ba749bc827191578f3b2d1846c0db89eb9ba2)
et l’on aura les valeurs de
en mettant les racines
de l’équation
![{\displaystyle y^{m-1}+y^{m-2}+y^{m-3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b662e7def08012e25c51877ec65ffb92518502)
à la place de
(no 16).
18. La difficulté se réduit donc à trouver les valeurs des quantités
qui entrent dans l’expression de
lorsqu’elles ne sont pas données immédiatement. Dans cette recherche, il convient de distinguer le cas où l’exposant
est un nombre premier de ceux où
est un nombre composé.
Supposons d’abord que
soit un nombre premier ; nous avons démontré ci-dessus (no 6) qu’alors, en prenant pour une racine quelconque de l’équation
autre que l’unité, si dans la série des puissances ![{\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88ead1512562b26e5d3ccbe78954806e7e52709)
on substitue à la place de
une quelconque de ces mêmes puissances, on retrouvera toujours la même série de puissances, seulement dans un ordre différent. Or il est visible que, dans la fonction
le changement de
en
répond aux substitutions simultanées de
à
à
que le changement de
en
répondra aux substitutions simultanées de
à
à
et ainsi de suite. Donc les changements successifs de
en
répondront à autant de permutations où
prendra la place de
ce qui fait
permutations, dont chacune pourra ensuite être combinée avec toutes les permutations possibles entre les autres
racines
Il en sera donc de même de la fonction
et, comme dans cette fonction les changements de
en
répondent à des substitutions de
à
à
correspondantes à celles de
à
à
dans la fonction
il est facile d’en conclure que les quantités
seront les
racines d’une équation en
du degré
dont les coefficients seront des fonctions de
qui ne seront susceptibles que d’autant de valeurs différentes qu’il y aura de permutations entre les
racines ![{\displaystyle x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9356125222f8b2cf859ee0351cbde0627f10cc5)
c’est-à-dire de
valeurs, et dépendront par conséquent d’équations du degré
19. On peut même démontrer que tous ces coefficients ne dépendront que d’une seule équation de ce même degré, car, si l’on représente par
![{\displaystyle \xi ^{m-1}-\mathrm {M} \xi ^{m-2}+\mathrm {N} \xi ^{m-3}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b42573f7192d0d475e02a9cfb05d4d358a4923)
l’équation en
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
dont
![{\displaystyle \xi ',\xi '',\xi ''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711d020b7e644b127a090d5d77e31a1fd7315f82)
sont les racines, en faisant dans les fonctions
![{\displaystyle \mathrm {M,N} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d389a12b87637f6f2ce9c05aff61a68f5c0a49f)
les
![{\displaystyle 1.2.3\ldots (m-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525d8b9698f1fc6b0a231a8996006da1e4a22d0e)
permutations entre les racines
![{\displaystyle x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d27adcabe46d9889ce78dc1be9ba4a3d44409e0)
on aura autant de pareilles équations qui, étanttmultipliées ensemble, donneront une équation finale en
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
du degré
![{\displaystyle 1.2.3\ldots (m-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda3437919ebd5210f21f3a8c640f42e35be8c49)
dans laquelle les coefficients seront des fonctions invariables des racines
![{\displaystyle x',x'',x''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cfeefa3827a49cc42ab6265643631a77785551)
et par conséquent déterminables par les coefficients
![{\displaystyle \mathrm {A,B,C} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e079cc90864c34becc75774066ffc377ea46a1)
de l’équation proposée.
L’équation
![{\displaystyle \xi ^{m-1}-\mathrm {M} \xi ^{m-2}+\mathrm {N} \xi ^{m-3}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b42573f7192d0d475e02a9cfb05d4d358a4923)
sera donc un diviseur de celle-ci ; faisant la division à la manière ordinaire et égalant à zéro les
termes du reste, on aura autant d’équations, dont les premières
donneront les valeurs de
en fonctions rationnelles de
Ainsi il suffira de trouver l’équation en
du degré ![{\displaystyle 1.2.3\ldots (m-2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb18ca28e6bc38f5cb70a1b455da2f0cd67cfe0d)
Si donc cette équation pouvait se résoudre, et il suffirait d’en connaître une seule racine, on aurait les valeurs des coefficients de l’équation en
qui est d’un degré moindre d’une unité que la proposée, et dont les
racines seraient les valeurs des quantités
qui entrent dans l’expression de
20. Mais, au lieu de chercher les racines
il pourrait être plus simple de chercher directement
Il est clair que ces quantités seront les racines d’une équation en
du
ième degré, qu’on trouvera en éliminant
de l’expression de
au moyen de l’équation
![{\displaystyle \alpha ^{m}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038aa92873f365302e9cf1b12f9ae2599176fc28)
après en avoir ôté la racine
c’est-à-dire de l’équation
![{\displaystyle \alpha ^{m-1}+\alpha ^{m-2}+\alpha ^{m-3}+\ldots +1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a2c9f04559ad05ac54a359c2d8a9fa52992d56)
Cette équation en
sera ainsi débarrassée de la racine
et ses coefficients exprimés par les quantités
étant considérés comme fonctions des racines
ne seront susceptibles que de
variations par toutes les permutations possibles entre
ces racines ; car, comme les changements de place de
![{\displaystyle x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c56431607b889d0f2fff3c7120a466db5aa2e30)
répondent aux substitutions de
![{\displaystyle \alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e7bb1e9ff6e5f3a60da41474e6a2083fde27df)
au lieu de
![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
et que la quantité
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
a disparu de l’équation en
![{\displaystyle \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a45ee89f965ec5498b347cb54f45243ef88b218)
il s’ensuit que, dans l’expression de ses coefficients, on pourra regarder
![{\displaystyle x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c56431607b889d0f2fff3c7120a466db5aa2e30)
comme fixe, ainsi que
Sans employer la voie de l’élimination, on pourra parvenir, directement à cette équation en
au moyen de ses racines
dont l’expression est connue car, en représentant cette équation par
![{\displaystyle \theta ^{m-1}-\mathrm {T} \theta ^{m-2}+\mathrm {U} \theta ^{m-3}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e576a841245888c9badc8d97af202e12feebb47)
on aura, par les formules connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&\theta '\ \ \ \,+\theta ''\quad +\theta '''\quad +\ldots ,\\\mathrm {U} =&\theta '\theta ''+\theta '\theta '''+\theta ''\theta '''+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba43eeea50fc35e8d83200674a13cb164cbaa09)
21. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefficients en les déduisant des sommes des puissances successives des racines
jusqu’à la
ième puissance. En effet, si l’on élève successivement le polynôme
![{\displaystyle \xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{m-1}\xi ^{(m-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827d3351ad9ebb7e1ee5bc6407494b9059cf24b4)
aux puissances 2ième, 3ième, …, et qu’on dénote par
les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de la quantité
après avoir substitué partout
pour
pour
et ainsi des autres ; que, de plus, on fasse pour l’uniformité
![{\displaystyle \theta ^{0}=\xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(m-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426ee3f25a322581237942f11dc3d35b94191be7)
en sorte que les quantités
répondent aux racines
il est facile de voir qu’on aura, par les propriétés de ces racines exposées plus haut,
pour les sommes des puissances 1ère, 2ième, 3ième, … des quantités ![{\displaystyle \theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266725b0f05023241090092f689e9073107d1682)
Or
(no 17) ; donc, si l’on retranche respectivement des quantités
les puissances de
les restes
sont les sommes des
racines
de leurs carrés, de leurs cubes, etc., d’où l’on tirera les sommes de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc., par les formules données dans le Chapitre I (no 8), ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} (m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m})}{2}}-{\frac {m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m}}{2}},\\\mathrm {V} =&{\frac {\mathrm {U} (m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m})}{3}}-{\frac {\mathrm {T} \left(m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m}\right)}{3}}+{\frac {m\xi _{3}-\mathrm {A} ^{3m}}{3}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6ab07fa96f139385d3ad7c71df02c0ae2544ae)
22. Maintenant, si l’on fait dans les expressions des coefficients
en
toutes les permutations possibles entre ces racines
on ne trouvera pour chacun de ces coefficients que
permutations, provenant uniquement des permutations entre les
racines
Ainsi, on aura pour la détermination de
une équation de ce même degré, qu’on pourra former par le moyen de ses racines ; ensuite on trouvera les valeurs des autres coefficients
en fonctions rationnelles de
par la méthode donnée plus haut, relativement aux coefficients de l’équation en
(no 19).
Le problème se trouvera donc réduit à la résolution de l’équation en
du degré
laquelle sera toujours d’un degré plus haut que la proposée lorsque
sera au-dessus de
Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré moindre, mais c’est de quoi il me paraît très-difficile, sinon impossible, de juger a priori.
23. À l’égard des racines
comme elles sont avec l’unité les racines de l’équation
![{\displaystyle y^{m}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35806756751614729ca42e9d38ff09f31533c7a7)
si l’on divise cette équation par
pour en éliminer la racine
on aura l’équation du degré ![{\displaystyle m-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbbd201e0d8f1ccc91cb46362c4b72fa1bbe6c2)
![{\displaystyle y^{m-1}+y^{m-2}+y^{m-3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b662e7def08012e25c51877ec65ffb92518502)
dont
seront les
racines.
Cette équation est d’abord, comme l’on voit, d’un degré moindre d’une unité que l’équation proposée ; mais, étant d’une forme convertible, elle peut toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié ; de plus, par la belle découverte de M. Gauss, on peut la résoudre à l’aide d’autant d’équations qu’il y a de facteurs premiers dans
et qui ne montent qu’aux degrés marqués par ces facteurs. On peut même la résoudre directement sans passer par aucune équation intermédiaire, comme on le verra dans la Note suivante.
24. Nous avons supposé (no 18) que l’exposant
du degré de l’équation est un nombre premier ; considérons maintenant le cas où cet exposant est un nombre composé. Dans ce cas, nous avons vu que les racines de l’équation
sont de deux espèces les unes sont communes à l’équation
étant un diviseur de
et leurs puissances ne peuvent pas représenter toutes les racines de l’équation primitive, parce qu’elles n’ont de valeurs différentes que jusqu’aux puissances
après quoi les mêmes valeurs reviennent toujours dans le même ordre ; les autres n’appartiennent qu’à l’équation
et jouissent des mêmes propriétés que les racines de cette équation lorsque
est un nombre premier. Ainsi, il faudrait d’abord borner le raisonnement du no 18 aux seules racines, qui sont propres à l’équation
et modifier en conséquence les conclusions que nous en avons déduites relativement à l’équation en
De plus, en n’employant même que ces racines pour
on ne peut pas dire que la substitution d’une puissance quelconque de
à la place de
dans la série
redonne toujours les mêmes termes, parce que, si
la substitution de
pour
ne donnera jamais que les puissances
à cause de
Il résulte de là que les quantités
ne pourront plus être les racines d’une même équation, mais devront dépendre d’équations différentes qu’il_ faudrait chercher séparément, ce qui allongerait le calcul.
Mais, en employant les racines communes à l’équation
la méthode générale se simplifie et la résolution du degré
se réduit à celle d’autant d’équations des degrésinférieurs
que l’exposant
a de facteurs premiers ; c’est ce que nous allons développer.
25. Supposons donc que l’équation
ait un diviseur
nous avons vu [(no 7) que toutes les racines de l’équation
sont communes à l’équation
ainsi, dans la fonction
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87375c849dd4830e07f10bf16cb341f86722dc85)
nous pourrons prendre pour
une des racines de l’équation
On aura alors
![{\displaystyle \alpha ^{n}=1,\ \ \alpha ^{n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots ,\ \ \alpha ^{2n}=1,\ \ \alpha ^{2n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{2n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3ae35e9651ca7c8997cccc7febacc8713d3c7e)
jusqu’à
et l’expression de
se réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} ''+\alpha ^{2}\mathrm {X} '''+\ldots +\alpha ^{n-1}\mathrm {X} ^{(n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e0bdf643ec71107f3d991e7b4fed1450425840)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ &=x'\ \ +x^{(n+1)}+x^{(2n+1)}+\ldots +x^{(m-n+1)},\\\mathrm {X} ''\ &=x''\ +x^{(n+2)}+x^{(2n+2)}+\ldots +x^{(m-n+2)},\\\mathrm {X} '''&=x'''+x^{(n+3)}+x^{(2n+3)}+\ldots +x^{(m-n+3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(n)}&=x^{(n)}+x^{(2n)}\ +x^{(3n)}\quad +\ldots +x^{(m)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e9ad90a7a36c353d5229ee37d85734fbba702b)
Regardant maintenant les quantités
n) comme les racines d’une équation du degré
il est clair qu’on pourra appliquer à la fonction
les mêmes raisonnements qu’on a faits dans les nos 15 et 16, et qu’on parviendra à des conclusions semblables.
Ainsi, en faisant
on aura, à cause de
une expression de
de la forme
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\ldots +\alpha ^{n-1}\xi ^{(n-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f296cedf5e872a567bc06b699530d7e82f102345)
dans laquelle les quantités
seront des fonctions connues de
lesquelles auront la propriété d’être invariables par les échanges simultanés de
en
en
en ![{\displaystyle \mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9e4488b56bdfdfd36b3627ab915704ff8af710)
Connaissant ces quantités, on aura immédiatement les valeurs des racines
par des formules semblables à celles du no 16.
Ainsi, en prenant
pour les racines de l’équation
et supposant que
soient les valeurs de
qui répondent à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ &={\frac {{\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}+\qquad {\sqrt[{n}]{\theta '}}+\qquad {\sqrt[{n}]{\theta ''}}+\ldots }{n}},\\\mathrm {X} ''\ &={\frac {{\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{n-1}{\sqrt[{n}]{\theta '}}+\beta ^{n-1}{\sqrt[{n}]{\theta ''}}+\ldots }{n}},\\\mathrm {X} '''&={\frac {{\sqrt[{n}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{n-2}{\sqrt[{n}]{\theta '}}+\beta ^{n-2}{\sqrt[{n}]{\theta ''}}+\ldots }{n}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b1394f4da0ae2bcad117058e4c11cb5a948187)
où l’on remarquera que le terme
est toujours égal à la somme des racines, qui est ici
![{\displaystyle \mathrm {X'+X''+X'''} +\ldots =1'+x''+x'''+\ldots =\mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4368ca827ba95904e0f2d6288d82899b03d2d15d)
On n’aura encore par là que les racines
pour avoir les racines primitives
il n’y aura qu’à regarder séparément celles qui composent chacune des quantités
comme les racines d’une équation du degré égal au nombre de ces racines et y appliquer la même méthode.
26. Lorsque
est un nombre premier, ce qu’on peut toujours supposer en prenant pour
un des facteurs premiers du nombre
les quantités
seront, comme dans le no 18, les racines d’une équation du degré
dont les coefficients dépendront d’une équation du degré
Cette dernière équation aura pour coefficients des fonctions rationnelles de ceux de l’équation en
dont
sont les racines. Or ceux-ci ne sont pas connus ; il n’y a que ceux de l’équation donnée dont
sont les racines qui le soient ; il s’agit donc de voir comment ceux-là pourront dépendre de ceux-ci.
Il est clair que, en substituant pour
leurs valeurs en
les coefficients dont il s’agit deviendront des fonctions connues des racines
et, pour trouver les équations d’où ces fonctions dépendront, la difficulté se réduira à chercher de combien de valeurs différentes ces fonctions seront susceptibles par toutes les permutations possibles entre les racines
27. Le nombre total des permutations entre ces
racines est en général
mais, s’il y a des permutations qui ne produisent aucun changement dans les fonctions dont il s’agit, il faudra diviser par le nombre de ces permutations le nombre total des permutations, parce que chaque permutation se combinant avec toutes les autres ne s’ajoute pas aux autres, mais les multiplie.
Or les racines
qui entrent dans l’expression de
et qui sont au nombre de
à cause de
sont susceptibles de
permutations ; mais, comme elles entrent dans
sous une forme invariable, leurs permutations ne produisent aucun changement dans la valeur de
par conséquent, on aura d’abord le diviseur
L’expression de
étant dans le même cas, donnera de nouveau le diviseur
de sorte qu’on aura le diviseur
à raison des deux fonctions
et
par la même raison, les trois fonctions
donneront le diviseur
et les
fonctions
donneront par conséquent le diviseur
Enfin les
quantités
sont susceptibles en elles-mêmes de
permutations, et, comme les coefficients de l’équation en
sont des fonctions invariables de ces quantités, il en résultera encore le nouveau diviseur
D’où l’on peut conclure que les coefficients de cette équation, regardés comme des fonctions des
racines
ne seront susceptibles que de
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots m}{1.2.3\ldots n(1.2.3\ldots p)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42628e9bf5d60d755420ac91af55aaf302847bc4)
valeurs différentes, et ne dépendront par conséquent que d’une équation de ce degré.
Ainsi, les coefficients de l’équation du degré
qui sont des fonctions rationnelles de ceux de l’équation en
dépendront d’une équation de ce degré.
Donc, en donnant à ces coefficients toutes les valeurs qui répondent aux racines de cette dernière équation, et multipliant ensemble toutes les équations résultantes, on aura enfin une équation du degré
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots m}{1.2.3\ldots n(1.2.3\ldots p)^{n}}}\times 1.2.3\ldots (n-2)\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {1.2.3\ldots m}{(n-1)n(1.2.3\ldots p)^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fe97ee36f26826c928a2d2f4c4683018b3b26a)
ce sera l’équation d’où dépendront les coefficients de l’équation en
du degré
dont les racines seront les valeurs de
Ainsi, on peut dire que c’est à une équation de ce degré que la résolution de l’équation proposée se réduira en dernière analyse.
28. Pour achever la résolution de l’équation proposée en
il faudra encore tirer les valeurs de ses racines
de celles des racines
(no 25). Pour cela, on regardera les
racines
qui composent la valeur de
comme étant les racines d’une équation du
ième degré et qui sera de cette forme
![{\displaystyle x^{p}-\mathrm {X} 'x^{p-1}+\lambda x^{p-2}-\mu x^{p-3}+\nu x^{p-4}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11716eb63867ace4e4c6ff9730dee74eb0b4ac82)
dans laquelle les coefficients
seront inconnus ; mais, comme cette équation est censée renfermer
des
racines de l’équation proposée
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b78efd381566ee5786c1c7f1106e4cf2a9a182)
où
elle devra être un diviseur de celle-ci ; par conséquent, il n’y aura qu’à faire la division ordinaire, en supposant nuls les termes affectés de
dans le reste. On aura, par ce moyen,
équations en
dont les
premières donneront les valeurs de
en
par des équations linéaires. Ainsi,
étant connu, on aura aussi
et il ne s’agira plus que de résoudre cette
équation du degré
![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
De même, en substituant la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7152ed7f5b3d65d071bf326d7b6b41253f22f9e)
à la place de celle de
![{\displaystyle \mathrm {X} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198360cf9b0bd7af529a4cc2b3047079174e3fb0)
on aura l’équation qui donnera les racines
![{\displaystyle x^{(n+2)},x^{(2n+2)},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a88438ce40b20f068770922d4b3c57c99e27e7)
et ainsi de suite.
29. On voit par là que cette dernière méthode revient à décomposer l’équation du degré
en
équations du degré
mais, si pour cette décomposition on suivait la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-p+1)}{1.2.3\ldots p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90573e23a2ee0a691aeca34f5b8917b8e6220d34)
comme nous l’avons vu dans la Note X, au lieu que celle-ci ne demande que la résolution du degré
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots m}{(n-1)n(1.2.3\ldots p)^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547447d242e540e2d731092b4119acae3b11ce84)
qui est toujours moindre que le précédent.
Soit
ces degrés seront
![{\displaystyle {\frac {4.3}{1.2}}=6\quad {\text{et}}\quad {\frac {1.2.3.4}{2(2)^{2}}}=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc31dfea99512476b49e67d3f9df96edc3cd1836)
Soit
on aura
![{\displaystyle {\frac {6.5.4}{1.2.3}}=20,\quad {\frac {1.2.3.4.5.6}{2(1.2.3)^{2}}}=10,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc78f2feb0ddd6cbcfaae27d52cb75cadc73d6b3)
et, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle {\frac {6.5}{1.2}}=15,\quad {\frac {1.2.3.4.5.6}{2.3(1.2)^{3}}}=15,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84885a91b466557a949cf0d5377f1b8ae962aaf4)
et ainsi du reste.
30. Appliquons la théorie précédente aux équations du second, du troisième et du quatrième degré.
Soit d’abord l’équation du second degré
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa859cf76126f5472ab31090db91112df87b7a3c)
dont les racines soient
et ![{\displaystyle x''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271c96f56d28b862c163505f4e3899c45290240d)
On a ici
qu’on peut regarder comme un nombre premier ; prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle \gamma ^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daf77d7600aad5faf93094d8ea942ca6f86572e)
on fera
![{\displaystyle t=x'+\alpha x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70ac323b0a10175a9904a9f130e3f5d3bd6681c)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle \theta =t^{2}=x'^{2}+x''^{2}+2\alpha x'x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a605e8a29232b4f84e6f906f74c009c075a1c17)
à cause de
donc
fonction invariable des racines
et ![{\displaystyle x''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271c96f56d28b862c163505f4e3899c45290240d)
En effet, on a
et par conséquent
Or l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c645758ef1110b32340677f06fab97cdd397139a)
donne
donc
et (no 47)
Ainsi les expressions des deux racines seront (nos 16, 17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ =&\mathrm {\frac {A+{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\\x''=&\mathrm {\frac {A-{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf0c518f0b430d2a64c15a13584fa358f27d0d8)
comme on le sait depuis longtemps.
31. Soit maintenant l’équation générale du troisième degré
![{\displaystyle x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558f2c39cb5c6b2a4885c1d8651d928805a6619f)
dont les racines soient ![{\displaystyle x',x'',x'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01aaf06f7d45fcde4751dcfb5f56999851800d91)
On a ici
nombre premier ; la fonction
sera donc, en prenant pour
une racine de
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49fa5d01c22087c4699ae636beb5ee2f4078d2e)
et la fonction
sera, à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{3}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab76e23758f0b089dbc95c535821403779858df)
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e946e402f06568c9c1d0bb7becec9b861b6f3045)
où l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+6x'x''x''',\\\xi '\ =&3\left(x'^{2}x''\ +x''^{2}x'''+x'''^{2}x'\right),\\\xi ''=&3\left(x'^{2}x'''+x''^{2}x'\ \ +x'''^{2}x''\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3aabbf5d610ca3c953c5040aff7dc49b2c25ce)
Les quantités
seront donc les racines d’une équation du second degré, dont les coefficients dépendront d’une équation du degré
c’est-à-dire du premier degré, et qui seront par conséquent des fonctions rationnelles de ceux de l’équation proposée. En effet on voit que, par toutes les permutations possibles entre les trois racines
les deux fonctions
restent les mêmes ou se changent l’une dans l’autre, de sorte qu’en les supposant racines de l’équation
![{\displaystyle \xi ^{2}-\mathrm {M} \xi +\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fe20e0b3ec938118f59cae60f4a73c27645e25)
on aura
fonctions invariables de
et par conséquent déterminables par les coefficients
de la proposée.
En effet on trouve facilement, par les formules de la Note X (no 4),
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M=\xi '+\xi ''=+AB-9C} ,\\&\mathrm {N\ =\xi '\xi ''=9B^{3}+9\left(A^{3}-6AB\right)C+81C^{2}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9594fb54bcc02956617ae442441e0f8a4f20bb7)
Ainsi l’on n’aura à résoudre que l’équation du second degré
![{\displaystyle \mathrm {\xi ^{2}-(3AB-9C)\xi +9B^{3}+9(A^{3}-6AB)C+81C^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5f862cf99a62504e4a2e5faa4b333096210806)
dont on prendra les deux racines pour les valeurs de
et ![{\displaystyle \xi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b023e54dc790d885871cc605e524806072718eb)
Faisant ensuite (no 17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ =&\mathrm {A} ^{3}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi '',\\\theta ''=&\mathrm {A} ^{3}+(\beta -1)\xi '\,+\left(\beta ^{2}-1\right)\xi '',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedbd701e47ad9ac010f2c451beeebaaa86b946f)
et substituant, dans les formules du no 16,
au lieu de
et
au lieu de
(no 17), on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt[{3}]{\theta '}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta ^{2}{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +\alpha {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\end{aligned}}\right\}\quad {\text{ou bien}}\quad \left\{{\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt[{3}]{\theta '}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +\beta {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\alpha {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +\alpha {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c93beb7a98fdd37291f14c48dbd59b472d08a3)
à cause de
et par conséquent ![{\displaystyle \beta ^{2}=\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884876ab56c439055fd3f2f0cb1751d1391ac427)
Et les deux quantités
seront (no 23) les racines de l’équation
![{\displaystyle y^{2}+y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768b1b6d57ae9e24a33ff0f846b876a496dcaec1)
laquelle donne
![{\displaystyle \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390cd11763b9f17e93709acf105111ce00946a29)
32. Mais on peut avoir des expressions plus simples par le moyen de l’équation en
qui sera ainsi du second degré.
En représentant cette équation par
![{\displaystyle \theta ^{2}-\mathrm {T} \theta +\mathrm {U} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8fc5e1bbd589db8726b96d9fae03a1ddfcdcd3)
on trouvera les valeurs de
et
par les formules données plus haut (no 21).
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} \left(3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3}\right)}{2}}-{\frac {3\xi _{2}-\mathrm {A} ^{6}}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82df326f5d20213c3ca0b619139b4dd6a79aff93)
où
est le premier terme dégagé de
dans le développement de
et l’on trouve, à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{3}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab76e23758f0b089dbc95c535821403779858df)
![{\displaystyle \xi _{2}=\left(\xi ^{0}\right)^{2}+2\xi '\xi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e330f4e11bdc472d2c15a6d2ccfc4197fefd389f)
Or on a (no 17)
![{\displaystyle \xi ^{0}=\mathrm {A} ^{3}-\xi '-\xi ''=\mathrm {A^{3}-M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54b2f28a3e0796c55bf1ff9dd7b5389688950b7)
donc, puisque
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-3M} ,\\&\mathrm {U={\frac {T^{2}}{2}}-{\frac {3\left(A^{3}-M\right)^{2}+6N-A^{6}}{2}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ead923d5102fdf431aa24f612a8ac7c6e24ef75)
et, substituant les valeurs de
et
trouvées ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-9AB+27C} ,\\&\mathrm {U=A^{6}-9A^{4}B+27A^{2}B^{2}-27B=\left(A^{2}-3B\right)^{3}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c8d6d2500691f01d700345b599ab487db9235e)
L’équation en
sera donc
![{\displaystyle \theta ^{2}-\mathrm {\left(2A^{3}-9AB+27C\right)\theta +\left(A^{2}-3B\right)^{3}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1e74a19ef15a2e71329e51e13d093b5fe49ecb)
dont, les deux racines étant prises pour
![{\displaystyle \theta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02a68dba2972e9cf4faf9656f58da0df8be6ae9)
et
![{\displaystyle \theta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c159cee3eb880736ef8b6879a4c345bc84bb187e)
et substituées dans les expressions précédentes de
![{\displaystyle x',x'',x''',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786d50e595e65d2a4cf676a49a86096f375f4e4e)
on aura la résolution la plus simple de l’équation du troisième degré.
33. Venons à l’équation du quatrième degré représentée par la formule
![{\displaystyle x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6d0d01a8972352f27322d58cf09be31ebfd61b)
Comme on a ici
il est plus simple de suivre la méthode du no 25 ; en faisant
on prendra pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
en sorte que
On fera ainsi
![{\displaystyle t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} '',\quad \mathrm {X} '=x'+x''',\quad \mathrm {X} ''=x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912e37baa33ef0daa1b3661c1c449794a6b00eb1)
De là, on aura
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{et}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecab29e720a923df76d9891ddcc6a3545ffa03ed)
Ainsi l’équation en
, dont
est racine, ne sera que du degré
c’est-à-dire du premier degré, et ses coefficients ne dépendront que d’une équation du degré
(no 27), de sorte qu’on aura en
une équation du troisième degré, telle que
![{\displaystyle \xi '^{3}-\mathrm {M\xi '^{2}+N\xi '-P} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431a9c5fc2bfd76a32f64e081d903db8015945ca)
Les racines de cette équation seront les valeurs de
![{\displaystyle \xi '=2\mathrm {X'X''} =2\left(x'+x'''\right)\left(x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999a408aa49a258131948cf53fe66463cd9576cb)
qui proviendront des permutations entre les trois racines, et il est facile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les trois suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbbebe3bc8459a11a5c1a8988df798e253601cf)
D’après ces racines, on pourra former les coefficients
qui se
trouveront exprimés par des fonctions invariables de
![{\displaystyle x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2415601d60f993840917ff8b88dce450ae8c92c9)
et seront déterminables en
34. Pour faciliter cette recherche, nous remarquerons que l’on a, par l’équation proposée,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=x'x''+x'x'''+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x'''+x''\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x''\ +x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right)+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''\ x''',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6dccd41c57429ea13d9c2420ceee78ca35e913)
d’où il suit que, si l’on fait
l’équation en
se transformera en une équation en
dont les racines seront
![{\displaystyle x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09ddff38c22bbec21c5aeb1b44ee2ff21ee18fa)
Soit
![{\displaystyle \mathrm {R} =x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e363814afca77dd171f95cff0ebc0742c61c9b)
et l’on trouvera de la même manière, en employant les formules données dans la Note X, les valeurs suivantes :
![{\displaystyle \mathrm {S=AC-4D,\quad T=\left(A^{2}-4B\right)D+C^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee898697946c902d237a79ae7b1da35f2079b6b)
Désignons par
une quelconque des racines de l’équation en
![{\displaystyle u^{3}-\mathrm {B} u^{2}+\mathrm {\left(AC-4D\right)} u-\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)} \mathrm {D} -\mathrm {C} ^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ee347bdf5b8631fc1de86af7df2523ef35a993)
on aura
et de là, en faisant
et
on aura
![{\displaystyle \theta '=\mathrm {A^{2}-2\xi '=A^{2}-4B} +4u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d3486e1d8ac852b4ecbf9bbead4dfa5458968b)
et enfin
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfc3a689978dcd4b46cd771c444e522e4f97604)
35. Maintenant, comme
on peut regarder
et
comme les deux racines de l’équation du second degré (no 28)
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {X} 'x+\lambda =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356fbe0502d78f181e9ab5b9978d87ae1b90db68)
et, pour avoir
![{\displaystyle \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc)
il n’y aura qu’à diviser l’équation proposée du quatrième degré par celle-ci ; le premier terme du reste, égalé à zéro, donnera
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {\frac {X'^{3}-AX'^{2}+BX'-C}{2X'-A}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52133a0c522252159a5f50c5e3ffb1103a7b987a)
Ainsi, en résolvant l’équation du second degré, on aura
![{\displaystyle x'={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},\quad x'''={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe2084fefdfb372b2989585279172edb1a70804)
et, comme
on aura les racines
en changeant dans ces expressions
en
ce qui ne demande que de changer le signe du radical ![{\displaystyle {\sqrt {\theta '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1beb28e8db8c08aa09182aa3546e51e670b2c4e)
Cette solution revient à celle de Descartes, dans laquelle on résout l’équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.
36. On peut simplifier ces formules en substituant d’abord
à la place de
ce qui donnera cette équation en
![{\displaystyle \theta ^{3}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)\theta ^{2}+\left(3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D\right)\theta } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581f6b9551ac5f6c7984e1d2a7a83fd332a0e8a1)
![{\displaystyle -\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456e3e6be03fc8d365c3ceef026f732f4e30ae58)
dont
sera une quelconque des racines à volonté ; mais, en employant les trois racines, on peut avoir tout d’un coup les quatre racines ![{\displaystyle x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd51df19e5881df1686901ca4a0090c13eb11124)
Car, en faisant
on a
![{\displaystyle t=x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cf7a0a5e429ceed542d4d4a3b3a5f8a62b51a2)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4451d4d6dd75619104c30be8b2bc18ad3a132f9)
Cette expression de
n’est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes
![{\displaystyle \left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2b69d5cff0a694b0c0d571698e2a9d76986722)
qui seront, par conséquent, les trois racines de l’équation en ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)
Nommons
les trois racines de cette équation ; on aura donc ces trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'+x'''-x''\ -x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt {\theta '}},\\x'+x''\ -x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt {\theta ''}},\\x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''\ -x'''=&{\sqrt {\theta '''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7310922838b3253047b3c7e84f5e323e02b2e67)
qui, étant jointes à l’équation
![{\displaystyle x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de393cdcb152690e475a2adac3c44843fd9165d4)
laquelle répond à
serviront à déterminer chacune des quatre racines
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1442c1ad53a2d0b0593ce683dd6d31d158d95141)
37. Cette solution, la plus simple de toutes, est due à Euler ; mais elle présente une espèce d’ambiguïté, à cause des radicaux carrés qui peuvent être pris chacun en plus et en moins. En effet on voit que, en changeant le signe d’un quelconque de ces radicaux ou les signes des trois radicaux à la fois, on a un autre système de racines, représenté par les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52d381b289ac854b7e8719006f38939f7c0819f)
Au contraire, en ne changeant à la fois que les signes de deux des radicaux, on a toujours le même système de racines. Ainsi, pour savoir lequel des deux systèmes il faut employer, il n’y a qu’à déterminer le signe que doit avoir le produit
Or l’équation en
donne
![{\displaystyle \theta '\theta ''\theta '''=\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430c7d6df6ce02d2402ba182ed5708bcc05591b8)
donc, extrayant la racine carrée,
![{\displaystyle {\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\pm \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff8eeff6019ad2c0a7b110f8d5155f47b174b23)
et, remettant pour
leurs valeurs en ![{\displaystyle x',x'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d906dc6a6170a505906fa368358e7afc0e1bf818)
![{\displaystyle \left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5892968c383f374786dfffa7fc9d49765d0081)
![{\displaystyle \pm \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3782e0376be69dc53dc915e0392af3a05b9e3ee2)
Pour déterminer le signe ambigu, il n’y a qu’à considérer un cas particulier, par exemple, celui où les trois racines
sont nulles. Dans ce cas, on aura
et l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle x'^{3}=\pm \mathrm {A} ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c3c6cad7227c451fc91a7082f4fcfb122eee46)
par où l’on voit qu’il faut prendre le signe supérieur pour la rendre identique. Ainsi on aura nécessairement
![{\displaystyle {\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6491d7e08f9c76607996f8f4a509ca701e2dd23)
d’où l’on doit conclure que, lorsque la quantité
![{\displaystyle \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c24921e89790e7771e6767bf75d9f44dc0611b2)
aura une valeur positive, il faudra employer le premier système des racines, et que, lorsque cette quantité aura une valeur négative, il faudra employer le second système, en donnant toujours aux radicaux
une valeur positive[2].
38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoique applicable en général, ne conduit plus qu’à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.
Pour le cinquième degré, soit la formule générale
![{\displaystyle x^{5}-\mathrm {A} x^{4}+\mathrm {B} x^{3}-\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x-\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6691f7a30de2d634e728d5096c1664c629fda0f8)
dont les racines soient ![{\displaystyle x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada5dad69c02c1d91db3d93a20868d49bd0e0424)
On aura ici
nombre premier, et l’on fera
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c82c2d1729145b8771e56e26ab8dcb51720d8d)
où
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle y^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac2d490d3823903944d14941d33d86d67dee755)
autre que l’unité.
On fera ensuite
et l’on parviendra à une équation en
du
degré
mais qui sera décomposable en
équations chacune du quatrième degré, de manière que, en représentant chacune de ces équations par la formule
![{\displaystyle \theta ^{4}-\mathrm {T} \theta ^{3}+\mathrm {U} \theta ^{2}-\mathrm {X} \theta +\mathrm {Y} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84fd210644ecf14ee879b0477fb95900715254a)
les coefficients
ne seront susceptibles chacun que de six valeurs différentes par toutes les permutations possibles entre les cinq racines
dont ces coefficients sont fonctions, et ces six valeurs ne dépendront par conséquent que d’une équation du sixième degré ; de sorte qu’en dernière analyse la résolution de l’équation du cinquième degré serait réduite à celle d’une équation du sixième. Il est donc inutile d’entreprendre ce calcul, dont on peut au reste voir le commencement dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (année 1771, p. 130 et suiv.)[3].
39. Nous n’avons considéré jusqu’ici que des fonctions résolvantes de la forme
mais les principes que nous avons
employés pour trouver directement l’équation dont ces fonctions seraient les racines peuvent s’appliquer à toute autre fonction des racines
de l’équation proposée. Il ne s’agit que de chercher toutes les différentes formes dont la fonction proposée est susceptible par toutes les permutations des racines
entre elles, et former une équation qui ait toutes ces différentes formes pour racines. Les coefficients de cette équation, étant des fonctions invariables de ses racines, seront aussi des fonctions invariables des racines de la proposée et pourront, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients de celles-ci, qu’on trouvera toujours par les formules données dans la Note X.
On pourrait croire que chaque fonction différente des racines d’une même équation dépendrait aussi d’une équation différente ; cela a lieu, en effet, pour toutes les fonctions qui ne sont pas semblables, mais pour celles que j’appelle semblables, et dont la propriété consiste en ce que, par les mêmes permutations, elles varient ensemble ou demeurent les mêmes, on peut les faire dépendre toutes d’une même équation, parce qu’on peut toujours les exprimer par des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles.
J’ai donné dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de l’année 1771 (p. 203 et suiv.)[4] une méthode générale pour la détermination des fonctions semblables des racines d’une équation quelconque donnée ; je ne la rapporterai point ici, pour ne pas trop allonger cette Note.
40. Mais je ne saurais la terminer sans dire un mot du beau travail que feu Vandermonde a donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris (année 1771) sur la résolution générale des équations. Son Ouvrage et le mien ont été composés et lus à peu près en même temps, l’un à l’Académie des Sciences de Paris et l’autre à celle de Berlin. Vandermonde, en partant d’un principe général, est arrivé à des résultats semblables à ceux auxquels m’avait conduit l’examen des différentes méthodes connues jusqu’alors. Comme ce rapprochement est intéressant pour l’analyse, on sera bien aise de les trouver ici.
Le principe dont il s’agit est que l’expression analytique des racines d’une équation doit être une fonction de ces racines, telle qu’elle puisse égaler indifféremment chacune des racines, et qui ne soit qu’une fonctian de leur somme, de la somme de leurs produits deux à deux, de celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, afin que cette fonction puisse en même temps se déterminer par les seuls coefficients de l’équation donnée.
41. En examinant, conformément à ce principe, la résolution connue de l’équation du second degré, Vandermonde observe que la fonction qui donne cette résolution est de la forme
![{\displaystyle {\frac {a+b+{\sqrt {(a-b)^{2}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaba2fc47e464480abb4df2e274a1d3caff03982)
et
étant les deux racines de l’équation. En effet, à cause de l’ambiguïté du radical carré, cette expression devient indifféremment
ou
et, en même temps, les deux quantités
et
sont exprimables par les coefficients de l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa859cf76126f5472ab31090db91112df87b7a3c)
car on a
![{\displaystyle a+b=\mathrm {A} ,\quad (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=(a+b)^{2}-4ab=\mathrm {A^{2}-4B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5379a231a226e29c0517306520ac2bb82f29e89)
ce qui donne la résolution connue
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A\pm {\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a996ba8bbd671724bce7ceb54749f5006e8bd951)
L’auteur applique ensuite le même principe aux équations du troisième degré, et il trouve que la fonction qui donne leur résolution peut se réduire à la forme
![{\displaystyle {\frac {a+b+c+{\sqrt[{3}]{(a+rb+r''c)^{3}}}+{\sqrt[{3}]{(a+r''b+rc)^{3}}}}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496bf4fb562e98f718540c3190695540b1f0c0c2)
où
![{\displaystyle a,b,c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d)
sont les trois racines de l’équation, et
![{\displaystyle r',r''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4db42a89efb1de41e72e5d595408f4f4537fae)
les valeurs qui satisfont avec l’unité à l’équation
![{\displaystyle r^{3}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567ec1678182283509f0decb23f2e801c2c0a92c)
En effet, cette expression devient d’abord égale à
à cause de
ensuite, comme chaque radical cube peut être multiplié par
ou
la même expression deviendra
ou
en multipliant les deux radicaux par
et
ou par
et
à cause de
(no 5). De là Vandermonde conclut que, pour un nombre quelconque
de racines, la fonction qui deviendra indifféremment
ou
ou
etc. sera de la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}\left[(a+b+c+\ldots )+{\sqrt[{m}]{(a+r'b+r''c+\ldots )^{m}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e820e0538f85d24da1d97bc2cb9d0ced7024de06)
![{\displaystyle +\left.{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{2}b+r''^{2}c+\ldots \right)^{m}}}+{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{3}b+r''^{3}c+\ldots \right)^{m}}}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12f152c2889ed82992d1027ca69da6702c7b04d)
étant avec l’unité les racines de l’équation
![{\displaystyle r^{m}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de12424b4c92475812d014c59b5972278e95996)
Si l’on compare cette expression à celle de la racine
du no 16, on verra facilement leur accord, en considérant que
est en général
(no 15), et que
sont les valeurs de
qui répondent aux racines
de l’équation
![{\displaystyle y^{m}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35806756751614729ca42e9d38ff09f31533c7a7)
lesquelles sont désignées par
dans l’analyse de Vandermonde, et que, lorsque
est un nombre premier, toutes les racines sont représentées également par
par
(no 5).
Pour déterminer les valeurs de
en fonctions des coefficients de l’équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l’Auteur emploie un algorithme ingénieux, fondé sur une notation particulière il ne cherche pas a priori, comme nous l’avons fait, le degré de l’équation d’où cette détermination doit dépendre, mais il donne pour les équations du troisième et du quatrième degré leur résolution complète, et pour celles du cinquième et du sixième degré des formules générales qu’il appelle types, et qui font voir que la résolution de l’équation du cinquième degré dépend en dernière analyse d’une équation du sixième et que la résolution de celle-ci dépend de celle d’une équation du quinzième ou du dixième degré, comme nous l’avons trouvé.
42. Vandermonde a aussi remarqué les simplifications dont la formule générale des racines est susceptible dans les degrés dont l’exposant est un nombre composé ; par exemple, il trouve que, pour les équations du quatrième degré, les racines
peuvent être représentées par la fonction
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[a+b+c+d+{\sqrt {(a+b-c-d)^{2}}}+{\sqrt {(a+c-b-d)^{2}}}+{\sqrt {(a+d-b-c)^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bca19ac2dd6d24e5a2547fcb7ece3bae41a27c)
en prenant les radicaux carrés en plus et en moins, et il en déduit la résolution donnée plus haut (no 36).
Comme la méthode de Vandermonde découle d’un principe fondé sur la nature des équations, et qu’à cet égard elle est plus directe que celle que nous avons exposée dans cette Note, on peut regarder les résultats communs de ces méthodes sur la résolution générale des équations qui passent le quatrième degré comme des conséquences nécessaires de la théorie générale des équations.