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$CBF\,\!$, & qu’on nomme $n\,\!$ le nombre des angles ; on aura, $\mathrm {arc.} rn\times n=\mathrm {arc.} rz\,\!$, & ${\frac {\mathrm {cord.} rn^{2}}{rh}}\times n=\,\!$ à la somme des sinus verses. Mais ${\frac {\mathrm {cord.} rn^{2}}{rh}}\times n<{\frac {\mathrm {arc.} rn^{2}\cdot n}{rh}}={\frac {\mathrm {arc.} rz^{2}}{n\cdot rh}}\,\!$:soit l’arc ${\frac {rz^{2}}{rh}}=\pi \cdot rl\,\!$ ($\pi \,\!$ étant un nombre donné, puisque les lignes $rh\,\!$, $rl\,\!$, & l’arc $rz\,\!$ sont donnés) ; la somme des sinus verses sera donc $<{\frac {\pi \cdot rl}{n}}\,\!$. Or puisque $\pi \,\!$ & $rl\,\!$ sont des quantités constantes, on peut rendre $n\,\!$ si grand, que ${\frac {\pi \times rl}{n}}\,\!$ soit moindre qu’une grandeur donnée ; donc à plus forte raison, la somme des sinus verses sera moindre que cette même grandeur donnée.

Fig. 13

THÉOREME.

42. Si un corps mû suivant une droite $XA\,\!$ (Fig. 12) rencontre la surface courbe $AR\,\!$, touchée en $A\,\!$ par $XA\,\!$, & sur laquelle il soit obligé de se mouvoir ; je dis qu’il ne perdra de $A\,\!$ en $R\,\!$ aucune partie de sa vitesse.

Car on peut inscrire dans la courbe un polygone $ABCDR\,\!$ d’un si grand nombre de côtés, que la somme des sinus verses de ses angles extérieurs, soit toujours (art. 41) moindre qu’une grandeur donnée, & qu’ainsi à plus forte raison (art. 40) la vitesse perdue de $A\,\!$ en $R\,\!$ soit toujours aussi petite qu’on voudra. Donc