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LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN)

cette formule se réduisent d’ailleurs à 20 équations distinctes.

Ce n’est pas la loi cherchée puisque l’Espace-Temps n’est pas euclidien dans son ensemble, mais la loi $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$ convient dans une région de l’espace située à l’infini de toute masse ; il faut donc chercher une relation tensorielle plus générale, comportant la précédente comme cas particulier, c’est-à-dire qui se trouve satisfaite lorsque $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.$

Partant du tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho },$ à quatre indices (du quatrième ordre), on peut construire un tenseur du second ordre, c’est-à-dire à deux indices (seize composantes) en imposant la condition que les indices $\sigma$ et $\rho$ soient toujours les mêmes (opération qu’on nomme contraction) : ce nouveau tenseur, que nous désignerons par $\mathrm {R} _{\mu \nu }$, est le tenseur de Riemann-Christoffel contracté ; à l’aide de ce tenseur contracté, on peut enfin former un tenseur d’ordre nul (une seule composante) : or tout tenseur d’ordre nul est un invariant. L’invariant en question, $\mathrm {R} ,$ se trouve être une généralisation de la courbure de Gauss (p. 96), on peut donc l’appeler courbure totale d’Univers.

La loi $\mathrm {R} =0,$ c’est-à-dire l’annulation de la courbure totale en tout point-événement ne saurait convenir non plus, car c’est une loi trop générale, insuffisante pour déterminer un champ de gravitation.

On n’a donc pas le choix, car pour que $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.$ soit une solution particulière, il n’y a qu’une loi générale possible, l’annulation du tenseur contracté

(21)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }=0.$

C’est la loi générale de la gravitation dans le vide (appendice, note 12).

Le tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ étant symétrique $(\mathrm {R} _{\mu \nu }=\mathrm {R} _{\nu \mu })$ n’a que