compliquées et en apparence arbitraires, sur un échafaudage de lignes auxiliaires, qui sortent de la figure donnée et y ajoutent des éléments tout à fait étrangers ; il semble alors que l’on ne puisse passer de l’hypothèse à la conclusion que par de longs circuits et par des efforts d’imagination ; de telles démonstrations sont parfois si détournées qu’elles paraissent en effet être, non pas des raisonnements réguliers et suivis, mais des tours de passe-passe. Mais on peut généralement leur substituer des démonstrations beaucoup plus simples et plus directes, fondées sur les propriétés intrinsèques de la figure donnée, et qui le plus souvent n’exigent pas le tracé d’une seule ligne auxiliaire. Pour opposer exemple à exemple, nous croyons devoir citer ici une démonstration de ce genre. Nous l’empruntons à un ouvrage d’enseignement élémentaire, conçu en dehors de tout esprit de système, et inspiré uniquement par le souci de la rigueur logique en même temps que de l’ordre et de la clarté pédagogiques.
Quand deux plans sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à leur intersection dans l’un est perpendiculaire à l’autre. « Car cette droite peut être considérée comme l’intersection du premier plan par un troisième qui serait perpendiculaire sur l’intersection des proposés (95), par suite perpendiculaire sur le second (107, 111). »
Cette démonstration, rédigée en une phrase, ne fait appel à aucun fait d’intuition : elle n’est accompagnée d’aucune figure, et, comme on voit, elle ne demande aucune construction. Elle se réfère simplement à trois propositions antérieures qu’elle se borne à rapprocher et à combiner. Pour la comprendre, il est nécessaire de connaître ces propositions :
« 95. Par un point d’un plan contenant une droite, on ne peut mener qu’une perpendiculaire à cette droite : et cette perpendiculaire est l’intersection du plan donné et du plan perpendiculaire [286]
