à la droite donnée passant par le point donné. « 107. Deux plans sont perpendiculaires quand l’un d’eux contient une droite perpendiculaire à l’autre.
« 111. Quand deux plans qui se coupent sont perpendiculaires à un même troisième, leur intersection lui est perpendiculaire. » Revenons à la démonstration pour l’analyser et la développer. L’hypothèse comprend : deux plans perpendiculaires, soient P et Q ; leur intersection, soit la droite D ; et la droite E perpendiculaire à D dans P. La droite E est (en vertu de 95) l’intersection du plan P par un plan R perpendiculaire à la droite D. Mais (en vertu de 107) le plan R, perpendiculaire à une droite D du plan Q, est perpendiculaire à Q. Les deux plans P et R sont perpendiculaires à Q, donc (en vertu de 111) leur intersection E est perpendiculaire à Q ; c. q. f. d.
Nous nous abstenons à dessein de faire une figure, car elle est absolument inutile. On n’a pas besoin de voir les plans P, Q, R, et les droites D, E ; il suffit de savoir quelles sont leurs relations, et de leur appliquer pour ainsi dire automatiquement les trois propositions 95, 107 et 111. C’est une démonstration verbale, c’est-à-dire formelle. On pourrait dépouiller de toute signification géométrique les entités D, E, P, Q, R, ainsi que les relations de perpendicularité et d’appartenance qui les unissent ; le raisonnement serait le même, et il serait tout aussi valable, du moment que les trois propositions 95, 107 et 111 sont supposées vraies. Cet exemple [287]
