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mouvement continu de quelque point, ou par les sections des solides, mais moins commodément qu’on ne les détermine par la seconde des deux manieres dont nous venons de parler. Les calculs qui regardent les courbes, lorsqu’on les décrit de la premiere maniere, se font par une méthode semblable à celle que nous avons donnée jusqu’ici. Supposons, par exemple, que AKC (fig. 9.) soit une ligne courbe décrite par le point vertical K d’un angle droit AKφ, dont un côté AK puisse se mouvoir librement, en passant toûjours par le point A donné de position, tandis que l’autre côté Kφ d’une longueur déterminée coule ou glisse le long d’une ligne droite AD, aussi donnée de position. On demande de trouver le point C, dans lequel une ligne droite CD aussi donnée de position doit couper cette courbe : pour cela on tirera les lignes AC, CF, qui peuvent représenter l’angle droit dans la position qu’on cherche ; on menera la perpendiculaire CB sur AF ; on s’appliquera ensuite à trouver le rapport des lignes, sans examiner celles qui sont données ou celles qui ne le sont pas, & on verra que toutes dépendent de CF, & de l’une des quatre lignes BC, BF, AF & AC ; supposant donc CF=a, & CB=x, on aura d’abord $\scriptstyle BF={\sqrt {aa-xx}}$, & $\scriptstyle AB=\textstyle {\frac {xx}{\sqrt {aa-xx}}}$ ; car à cause des triangles rectangles ACF, CBF, on a BF : BC ∷ BC : AB. De plus, comme CD est donnée de position, AD est donnée ; ainsi on apellera AD, b ; on connoît aussi la raison de BC à BD, qu’on supposera comme d à e, & on aura $\scriptstyle BD={\frac {ex}{d}}$ & $\scriptstyle AB=b-{\frac {ex}{d}}$ : donc $\scriptstyle b-{\frac {ex}{d}}=\textstyle {\frac {xx}{\sqrt {aa-xx}}}$. Si on quarre les deux membres de cette équation, & qu’on les multiplie ensuite par $\scriptstyle aa-xx$, on réduira l’équation à cette forme $\scriptstyle x^{4}={\frac {2bddex^{3}-aaee-bbddxx-2aabdex+aabbdd}{dd+ee}}$ ; & par le moyen des quantités données a, b, d, e, on tirera de cette équation la valeur de x. Cette valeur de x ou de BC étant connue, on tirera à la distance BC une ligne droite parallele à AD, qui coupera la courbe, & CD au point cherché C.

Si, au lieu de descriptions géométriques, on se sert d’équations pour désigner les lignes courbes, les calculs deviendront encore plus simples & plus faciles, puisqu’on aura moins d’équations à trouver ; ainsi supposons que l’on cherche le point d’intersection C de l’ellipse donnée ACE (fig. 10.) avec la ligne droite CD donnée de position ; pour désigner l’ellipse, on prendra une des équation ; qui la déterminent, comme $\scriptstyle rx-{\frac {r}{q}}xx=yy$, dans laquelle x marque une partie indéterminée AB ou Ab de l’axe prise depuis le sommet A, & y une perpendiculaire BC, terminée à la courbe, & où r & q sont données par l’espece donnée de l’ellipse. Or, puisque CD est donnée de position, AD sera aussi donnée ; on la nommera A, & BD sera $\scriptstyle a-x$ ; l’angle ABC sera aussi donné, & par conséquent le rapport de BD à BC, qu’on supposera être celui de 1 à e ; & BC(y) sera $\scriptstyle ae-ex$, dont le quarré $\scriptstyle eeaa-2e2ax+eexx$ doit être égal à $\scriptstyle rx-{\frac {rxx}{q}}$. Cette équation étant réduite, donnera $\scriptstyle xx=\textstyle {\frac {2aeex+rx-aaee}{ee+{\frac {r}{q}}}}$ ou $\scriptstyle x=\textstyle {\frac {aee+{\frac {1}{2}}r\pm e{\sqrt {ar+{\frac {rr}{4ee}}+{\frac {arr}{q}}}}}{ee+{\frac {r}{q}}}}$.

On remarquera que lors même que l’on détermine les courbes par des descriptions géométriques ou par des sections de solides, on peut toûjours les désigner par des équations, & que par conséquent toutes

les difficultés des problèmes qu’on peut proposer sur les courbes, se réduisent au cas où on envisageroit les courbes sous ce dernier point de vûe. Ainsi dans le premier exemple (fig. 9.), si AB est appellé x, & BC, y, la troisieme proportionnelle BF sera $\scriptstyle {\frac {yy}{x}}$, dont le quarré joint au quarré BC est égal à $\scriptstyle CF^{2}$, c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {y^{4}}{xx}}+yy=aa$ ou $\scriptstyle y^{4}+xxyy=aaxx$. Par cette équation on peut déterminer tous les points C de la courbe AKC, en trouvant la longueur de chaque ligne BC qui répond à chaque partie de l’axe AB ; & cette équation peut être fort utile dans la solution des problèmes qu’on aura à résoudre sur cette courbe.

Quand une courbe n’est point donnée d’espece, mais qu’on propose de la déterminer, on peut supposer une équation à volonté qui exprime sa nature d’une maniere générale ; on prendra cette équation pour la véritable équation de la courbe, afin de pouvoir par ce moyen arriver à des équations, par le moyen desquelles on déterminera la valeur des quantités qu’on a prises pour données.

Jusqu’ici nous n’avons fait que traduire l’article équation à-peu-près tel qu’il se trouve dans l’Encyclopédie angloise. Cet article est tiré presque en entier de l’Arithmétique universelle de M. Newton ; il est aisé d’y reconnoître en effet la main d’un grand maître, & nous avons crû devoir le donner tel qu’il est par cette raison, l’Arithmétique universelle n’ayant point d’ailleurs été traduite jusqu’ici en notre langue. Mais il reste encore sur la théorie des équations beaucoup de choses à dire pour rendre cet article complet dans un ouvrage tel que l’Encyclopédie. Nous allons tâcher de satisfaire à cet objet ; & quoique la matiere ait déjà été fort maniée dans un grand nombre d’ouvrages, nous espérons montrer qu’elle a été traités d’une maniere insuffisante à plusieurs égards, & la présenter d’une maniere presque entierement nouvelle.

Je ne parlerai point ici de la maniere de préparer une équation, en faisant évanoüir les fractions, les radicaux, & toutes les inconnues, excepté une seule, &c. Ces opérations seront détaillées au mot Evanouir.

Je ne parlerai point non plus de l’abaissement des équations. Voyez Abaissement & Réduction.

Je ne parlerai point enfin des équations du premier degré, c’est-à-dire de celles où l’inconnue ne monte qu’à une dimension : leur solution est sans difficulté. V. Transposition. J’entrerai donc en matiere par les équations d’un degré plus élevé que l’unité ; je les suppose abaissées au plus petit degré possible, & délivrés de radicaux & de fractions, enfin ordonnées suivant les dimensions de l’inconnue x, c’est-à-dire de maniere que le premier terme contienne x élevée au plus haut degré, que le second terme contienne x élevée au plus haut degré suivant, & ainsi de suite jusqu’au dernier terme, qui ne contiendra point x ; je suppose enfin que le premier terme n’ait d’autre coefficient que l’unité (nous enseignerons au mot Transformation cette maniere de préparer l’équation), & que le second membre de l’équation soit zéro.

Soit donc $\scriptstyle x^{m}+px^{m-1}+qx^{m-2}....+r=0$, l’équation à résoudre, dans laquelle il faut trouver la valeur de x.

Il est évident, par l’énoncé même de la question, qu’il faut trouver une quantité a, positive ou négative, réelle ou imaginaire, qui étant substituée à la place de x dans $\scriptstyle x^{m}+px^{m-1}+$ &c. tout se détruise. Je suppose qu’on ait trouvé cette quantité a, je dis que la quantité $\scriptstyle x^{m}+px^{m-1}+qx^{m-2}....+r$