Avant de parler du manuscrit contenant le fragment imprimé dans les dernières pages des Œuvres, je dois dire un mot d’une feuille détachée[1] en partie déchirée, qui, par le format du papier, la couleur de l’encre et la forme de l’écriture, paraît avoir appartenu au cahier dont ce manuscrit faisait partie. Elle contient une rédaction antérieure de la proposition I et de sa démonstration, rédaction qui semble avoir été écrite au moment même où Galois venait de trouver cette démonstration : l’énoncé de la proposition fondamentale est, presque textuellement, le même que dans le Mémoire sur les conditions de résolubilité, puis viennent seize lignes barrées que je reproduis :
Considérons d’abord un cas particulier. Supposons que l’équation donnée n’ait aucun diviseur rationnel et que toutes ses racines se déduisent rationnellement de l’une quelconque d’entre elles. La proposition sera facile à démontrer.
En effet, dans notre hypothèse, toute fonction des racines s’exprimera en fonction d’une seule racine et sera de la forme , étant une racine. Soient
les m racines. Écrivons les m permutations
Le reste de la démonstration suivait, contenu dans une douzaine de lignes qui sont devenues les lignes 13-26 de la page 39 des Œuvres : on distingue assez bien les x surchargés des de la rédaction définitive ; ces douze lignes sont d’ailleurs réunies en marge par un trait, avec l’indication : à reporter plus loin. Galois a changé d’idée ; il trouve maintenant inutile de s’arrêter au cas particulier ; mais il semble que ce cas particulier lui ait été d’abord
- ↑ C’est M. P. Dupuy qui a appelé mon attention sur cette feuille. Quelques autres débris apportent un peu de lueur sur la suite des idées de Galois : ils seront publiés dans un second article.
