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pour que la somme qui on résulte ait la propriété

a + a + a + ... > b.

L’n système d’êtres qui ne possède qu’une partie des propriétés i.i7 sera dit un ~~e numérique complexe ou tout simplement un ~-f/<’w ~M/ ? <c’ « e. Un système numérique sera dit afcAtMM/t’M ou bien ~fw M/r~~Mseton qu’il vérifie ou non la condition t7.

Parmi les propriétés i-17, exposées ci-dessus, il y en a qui sont la i conséquence des autres, î) y a lieu de rechercher la dépendance lo—’) gique de ces propriétés. Dans le Chapitre Yt, §32, §33, nous répon— 1 drons à deux questions de cette nature en raison de leur grande portée en Géométrie ; en attendant, nous nous contenterons d’affirmer ici que la dernière condition, i7, n’est aucunement la conséquence logique (les propriétés restantes ; en effet, nous avons déjà vu, par exemple, que le système numérique complexe Q(<) considéré au § t2 possède toutes les propriétés i-i6, et cependant ne vériue pas la condition {7.

§ 14.

Démonstration du théorème de Pascal.

Dans ce Chapitre comme dans le suivant, nous allons prendre comme base de nos recherches les axiomes planaires de tous tes groupes, exception faite pour l’axiome d’Archimède, c’cst.à-dire tes axiomes t-2 et H-IY. Dans ce Chapitre ! ti, nous nous proposons, au moyen desdits axiomes, d’établir la théorie euclidienne des proportions, c’cst.àdire que nous allons rétablir ~a~ plan et indépendamment de /’aj ? <o/Me ~lrcA<’m<<f/c.

A cet effet, nous démontrerons d’abord une proposition qui est un cas particulier du cétebre théorème de Pascal sur les coniques, et que je désignerai dorénavant, pour abréger, sous le nom de ~ebre~e f/c /’a.M’<~ en l’énoncant comme il suit

THÉORÈME XX ! (THÉORÈME DE PASCAL). Soient A, B, C (/ 16) et A’. B’. C’des points situés respectivement trois par trois sur deux <~H’/M