pour que la somme qui en résulte ait la propriété
Un système d’êtres qui ne possède qu’une partie des propriétés 1-17 sera dit un système numérique complexe ou tout simplement un système numérique. Un système numérique sera dit archimédien ou bien non archimédien selon qu’il vérifie ou non la condition 17.
Parmi les propriétés 1-17, exposées ci-dessus, il y en a qui sont la conséquence des autres, il y a lieu de rechercher la dépendance logique de ces propriétés. Dans le Chapitre VI, §32, §33, nous répondrons à deux questions de cette nature en raison de leur grande portée en Géométrie ; en attendant, nous nous contenterons d’affirmer ici que la dernière condition, 17, n’est aucunement la conséquence logique des propriétés restantes ; en effet, nous avons déjà vu, par exemple, que le système numérique complexe considéré au §12 possède toutes les propriétés 1-16, et cependant ne vérifie pas la condition 17.
§ 14.
Démonstration du théorème de Pascal.
Dans ce Chapitre comme dans le suivant, nous allons prendre comme base de nos recherches les axiomes planaires de tous les groupes, exception faite pour l’axiome d’Archimède, c’est-à-dire les axiomes I,1-2 et II-IV. Dans ce Chapitre III, nous nous proposons, au moyen desdits axiomes, d’établir la théorie euclidienne des proportions, c’est-à-dire que nous allons rétablir dans le plan et indépendamment de l'axiome d'Archimède.
À cet effet, nous démontrerons d’abord une proposition qui est un cas particulier du célèbre théorème de Pascal sur les coniques, et que je désignerai dorénavant, pour abréger, sous le nom de théorème de Pascal, en l’énonçant comme il suit :
Théorème XXI (Théorème de Pascal). — Soient A, B, C (fig. 16) et A', B', C' des points situés respectivement trois par trois sur deux droites
