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Pour le démontrer prenons le segment c = AB (fig. 18) ; portons, en prenant A comme sommet, de part et d’autre de ce segment les angles α et β ; puis, du point B, abaissons sur les deux autres côtés de ces

angles α et β les perpendiculaires BC et BD ; enfin du point A menons la perpendiculaire AE à CD.

Cela posé, les angles $\angle ACB$ et $\angle ADB$ étant droits, les quatre points A, B, C, D seront situés sur une circonférence et, par suite, les deux angles $\angle ACD$ et $\angle ABD$ inscrits dans un segment sous-tendu par la même corde AD seront congruents. Or, $\angle ACD$ et $\angle CAE$ forment ensemble un angle droit et il en est de même de $\angle ABD$ et de $\angle BAD$ ; par suite, les angles $\angle CAE$ et $\angle BAD$ sont congruents, c’est-à-dire que

$\angle CAE\equiv \beta$

d’où

$\angle DAE\equiv \alpha$

De là résultent immédiatement les congruences segmentaires

$\beta c\equiv AD,\quad \alpha c\equiv AC$

$\alpha \beta c\equiv \alpha (AD)\equiv AE,\quad \beta \alpha c\equiv \beta (AC)\equiv AE$

ce qui démontre l’exactitude de la congruence dont il était question.

Revenons maintenant à la figure du théorème de Pascal et désignons par O le point d’intersection des deux droites et désignons les segments OA, OB, OC ; OA', OB', OC’ ; CB', BC' ; CA', AC’ ; BA’, AB’ (fig. 19) respectivement par a, b, c ; a',. b', c' ; l, l' ; m, m' ; n, n'. Du point O, abaissons ensuite des perpendiculaires à l, m, n. La perpendiculaire à l formera avec les deux droites OA, OA' des angles aigus que nous désignerons respectivement par λ, λ, de même les perpendiculaires à m