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concourir à la solution du problème un grand nombre d’observations voisines, on doit arriver à des résultats beaucoup plus précis. Je donne des formules très simples pour déterminer les six quantités précédentes par la comparaison d’un nombre quelconque d’observations, et il en résulte que, si l’on prend trois observations faites à des intervalles de temps égaux, et que $\alpha$ et $\theta$ soient la longitude et la latitude moyennes, on aura les valeurs de $\alpha ,\,{\frac {d\alpha }{dt}},\,{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},\,\theta ,\,{\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},$ aux quantités près du second ordre, l’intervalle qui sépare les observations étant considéré comme une quantité très petite du premier ordre ; d’où il suit qu’il y a de l’avantage à choisir trois observations équidistantes.

Vous êtes arrivé à ce même résultat, page 156 de votre second Mémoire, mais par un calcul beaucoup plus composé, parce que, comme vous ne faites tomber les approximations que sur les résultats de l’analyse, vous n’avez dû le trouver qu’après la solution complète du problème. Les observations ne donnent immédiatement que l’ascension droite et la déclinaison de la comète, et leur réduction en longitude et en latitude demande des calculs pénibles par leur longueur, lorsque l’on considère un grand nombre d’observations. Pour obvier à cet inconvénient, au lieu d’opérer comme ci-dessus sur la longitude et sur la latitude, j’opère immédiatement sur l’ascension droite et sur la déclinaison, et en nommant $b$ et $v$ l’ascension droite et la déclinaison correspondantes à la longitude $\alpha ,$ je représente cette ascension droite et cette déclinaison, après le temps $t,$ par les deux séries

${\begin{aligned}b&+t{\frac {db}{dt}}\,+{\frac {t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}b}{dt^{2}}}\,+\ldots ,\\v&+t{\frac {dv}{dt}}\,+{\frac {t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,+\ldots .\end{aligned}}$

Je détermine ensuite $b,\,{\frac {db}{dt}},\,{\frac {d^{2}b}{dt^{2}}},\,v,\,{\frac {dv}{dt}},\,\,{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}$ par la comparaison des observations, et j’en conclus les valeurs de $\alpha ,\,{\frac {d\alpha }{dt}},\,{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},\,\theta ,\,{\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ au moyen des formules qui donnent la longitude et la latitude, lorsque l’ascension droite et la déclinaison sont connues, et au moyen de leurs