Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/131

la Lune, par la figure non sphérique de cet astre ; car si, pour plus de simplicité, on néglige avec vous l’excentricité et l’inclinaison de l’orbite lunaire ; que l’on nomme $\mathrm {L}$ la masse de la Lune, $\mathrm {R}$ sa distance à la Terre, $\varphi$ son mouvement angulaire, et $t$ le temps ; que l’on désigne ensuite par $x'$ et $y'$ les coordonnées d’une molécule $d\mathrm {L}$ de la Lune, rapportées à son centre et au plan de l’écliptique ; le principe dont il s’agit donnera l’équation

$\mathrm {LR} ^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}+\int {\frac {y'\,dx'-x'\,dy'}{dt}}d\mathrm {L=C} \,dt,$

$\mathrm {C}$ étant une constante ; en désignant donc par $\delta$ une variation quelconque et faisant

$\int {\frac {y'\,dx'-x'\,dy'}{dt}}d\mathrm {L=V} ,$

on aura

$0=\mathrm {L} \delta \left(\mathrm {R} ^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}\right)+\delta \mathrm {V} \,;$

or, $\mathrm {T}$ étant la masse de la Terre, on a

$\mathrm {R} \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {\frac {T+L}{R^{2}}} ,$

d’où il est facile de conclure

$\delta \left(\mathrm {R} ^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}\right)=-{\frac {1}{3}}\mathrm {R} ^{2}\delta {\frac {d\varphi }{dt}}\,;$

donc

$\delta {\frac {d\varphi }{dt}}=\mathrm {\frac {3\delta V}{R^{2}L}} .$

La variation $\delta \mathrm {V}$ dépend de celle du mouvement de rotation de la Lune et des variations dans la position de son axe ; or il est facile de s’assurer qu’une très légère variation dans le mouvement moyen de la Lune en donnerai de très grandes, soit dans son mouvement de rotation, soit dans la position de son axe ; car, si l’on suppose, par exemple, que cet axe soit perpendiculaire à l’orbite, on aura

$\mathrm {V=L} k\varpi ^{2}{\frac {d\psi }{dt}},$

${\frac {d\psi }{dt}}$ étant la vitesse angulaire de rotation, $\varpi$ le demi-diamètre de la Lune,