Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/157

indefinita incrementa $\delta y$ capere assumis quam ob causam etiam non dubito quin tua analysis, si penitius excolatur, ad multo profundiora mox sit perductura. Cujusquidem præstantiae jam eximia exempta a te feliciter confecta circa lineas citissimi appulsus ad datam lineam, quin etiam de methodo maximorum ad superficies applicata commemoras, quæ omnia ut accuratius persequaris, etiam atque etiam te rogo. Mea quidem methodo usus plures hujusmodi quæstiones circa superficies pertractavi in Scientia navali, quæ duobus voluminibus in-4^o, Petropoli pluribus abhinc annis prodiit^[1]. Quod autem ad tuam methodum, qua singulis applicatis $y$ incrementa $\delta y$ tribuis, attinet, antequam hoc ipsum quod non aperte indicas, animadverti, de consensu tuarum formularum cum meis dubitaveram. Ut enim $\int \mathrm {Z} dx$ fiat maximum, existente

$d\mathrm {Z} =\mathrm {N} dy+\mathrm {P} d^{2}y+\mathrm {Q} d^{3}y+\ldots$

(ubi quidem pro $dx$ unitatem ponis, non pro $x$ uti forte lapsu calami notas), necesse est id tuo signandi more sit $\delta \int \mathrm {Z} dx$ seu $\int \delta \mathrm {Z} dx=0.$ At vero invenio ponendo tecum $1$ pro $dx$

${\begin{aligned}\delta \int \mathrm {Z} =&\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y\\&+\left(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y+\left(\mathrm {Q} -d\mathrm {R} +\ldots \right)d\,\delta y+\ldots \end{aligned}}$

et unde concludis esse debere

$\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots =0,$

cum tamen natura maximorum tantum postulet ut sit

$\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y=0,$

Verum perspecta amplitudine

Si unicæ applicatæ $y$ increm

$\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -\ldots \right)\delta y\qquad \qquad$ (il y a ici urte grande déchirure)

partes $\left(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} -\ldots \right)\delta y+(\mathrm {Q}$

$x=a$ referantur, evanescere

sensus deprehendatur.

1. Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Petropoli, 1749, 2 vol in-4^o.