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aussi été applicables à l’équation proposée ; mais, comme le calcul devenait assez compliqué et incertain, à cause de quelque équation qui tombait dans le cas de Riccati^[1], j’ai aimé mieux de considérer d’abord la question dans l’état qui peut avoir lieu dans la nature, savoir en supposant que les ébranlements se répandent en forme d’ondes sphériques.

Pour cela, après avoir trouvé l’équation

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=c{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}+2c{\frac {\partial }{\partial \mathrm {Z} }}\left({\frac {z}{\mathrm {Z} }}\right),$

et l’avoir maniée par un grand nombre d’opérations que ma méthode exigeait, je suis enfin parvenu à une construction géométrique assez simple par laquelle, étant donnés les ébranlements primitifs de l’air dans un tuyau conique infiniment prolongé, il était aisé d’en déterminer tous les suivants.

J’ai trouvé que l’air n’étant ébranlé d’abord que par un très petit espace au sommet du cône, cet ébranlement, qui peut être regardé comme une onde sonore, se communique d’une partie de l’air à l’autre et avance toujours avec une vitesse constante, et la même que celle qui convient au cas d’une simple ligne physique ; mais, en même temps, la force de l’ébranlement ira en décroissant dans la raison inverse des carrés des distances, ce qui semble s’accorder avec les expériences ordinaires sur la diminution du son. En examinant ensuite plus intimement la même construction, je me suis aperçu que je pouvais aussi assigner l’intégrale de l’équation proposée en termes algébriques. La voici :

$z+{\frac {\partial }{\partial \mathrm {Z} }}(z\mathrm {Z} )=\varphi \left(\mathrm {Z} \pm t{\sqrt {c}}\right),$

d’où l’on tire

$z={\frac {\int \mathrm {Z} \varphi \left(\mathrm {Z} \pm t{\sqrt {c}}\right)d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}}},$

où la fonction $\varphi$ peut être continue ou discontinue, comme l’on voudra.

1. Voir, sur lui, la Note de la p. 138 du t. XIII.