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Ensuite, nous trouvons

$\mathrm {A=E,\qquad B=F,\qquad {\text{et}}\qquad C=G} ,$

et enfin, pour nous débarrasser des autres lettres, remarquons que

$\mathrm {L} =1+{\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }},\qquad \mathrm {Q} =1+{\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }},\qquad \mathrm {V} =1+{\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }},$

de sorte que, outre les coordonnées $\mathrm {X,Y,Z}$ avec le temps $t,$ il ne reste dans le calcul que les lettres $p,q,r$ qui marquent le déplacement de chaque point ; car, substituant ces valeurs que nous venons de trouver, le mouvement causé par une agitation quelconque, mais fort petite, sera déterminé par les trois équations suivantes

${\begin{aligned}&&{\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}q}{\mathrm {\partial X\partial Y} }}+{\frac {\partial ^{2}r}{\mathrm {\partial X\partial Z} }},\\&&{\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\mathrm {\partial X\partial Y} }}+{\frac {\partial ^{2}q}{\mathrm {\partial Y^{2}} }}+{\frac {\partial ^{2}r}{\mathrm {\partial Y\partial Z} }},\\{\text{et}}\qquad \qquad &\\&&{\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\mathrm {\partial X\partial Z} }}+{\frac {\partial ^{2}q}{\mathrm {\partial Y\partial Z} }}+{\frac {\partial ^{2}r}{\mathrm {\partial Z^{2}} }},\end{aligned}}$

ou bien, en posant

${\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }}+{\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }}=u,$

nous aurons

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=2gh{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {X} }},\qquad {\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}=2gh{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {Y} }},\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{2}r}{\partial t^{2}}}=2gh{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {Z} }}\,;$

d’où il est aisé de conclure

${\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}\,;$

d’où il faut déterminer la nature de la fonction $u$ déterminée par les coordonnées $\mathrm {X,Y,Z}$ et le temps $t.$

De là, il n’est pas difficile de trouver une infinité de solutions particulières, comme

${\begin{aligned}&&p=\beta \Phi (\alpha t+\beta \mathrm {X+\gamma Y+\delta Z} ),\\&&q=\gamma \Phi (\alpha t+\beta \mathrm {X+\gamma Y+\delta Z} ),\\{\text{et}}\quad \qquad \qquad &\\&&r=\delta \,\Phi (\alpha t+\beta \mathrm {X+\gamma Y+\delta Z} ),\end{aligned}}$