Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/197

pourvu que $a={\sqrt {2gh\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)}},$ où $\beta ,\gamma ,\delta$ sont des quantités quelconques, et $\Phi$ la marque d’une fonction quelconque. Donc quelques valeurs qu’on prenne, on aura toujours le cas d’un certain ébranlement dont on pourra déterminer la continuation. Mais, pour notre dessein, il s’agit de trouver un tel cas, où l’ébranlement initial aura été renfermé dans un petit espace, d’où il est répandu ensuite en tout sens. Soit donc $\mathrm {A}$ le centre de l’agitation primitive, et posons

$p=\mathrm {X} s,\qquad q=\mathrm {Y} s,\qquad r=\mathrm {Z} s,$

et $s$ sera une fonction du temps $t$ et de la quantité $\mathrm {\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}} =\mathrm {V} ,$ qui marque la distance du point $\mathrm {A} .$ Donc, puisque

$ds={\frac {\partial s}{\partial t}}dt+{\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}d\mathrm {V} ,$

nous aurons

$ds={\frac {\partial s}{\partial t}}dt+{\frac {\mathrm {X} d\mathrm {X} +\mathrm {Y} d\mathrm {Y} +\mathrm {Z} d\mathrm {Z} }{\mathrm {V} }}{\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}$

et puis

${\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }}=s+\mathrm {\frac {X^{2}}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }},\qquad {\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }}=s+\mathrm {\frac {Y^{2}}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }},\qquad {\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }}=s+\mathrm {\frac {Z^{2}}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}.$

Donc

$u={\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }}+{\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }}=3s+\mathrm {V} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}.$

Maintenant, ayant

${\frac {\partial s}{\partial \mathrm {X} }}=\mathrm {\frac {X}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }},\qquad \mathrm {\frac {\partial V}{\partial X}} =\mathrm {\frac {X}{V}} ,$

notre première équation deviendra

${\frac {\mathrm {X} }{2gh}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\mathrm {\frac {3X}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}+\mathrm {\frac {X}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}+X{\frac {\partial ^{2}s}{\partial \mathrm {V} ^{2}}}$

ou

${\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\mathrm {\frac {4}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial \mathrm {V} ^{2}}},$

à laquelle se réduisent aussi les deux autres, et l’éloignement du point $z$ depuis le centre $\mathrm {A}$ sera

$\mathrm {V} s=s\mathrm {\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}} ={\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}},$