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qui en marque le déplacement par rapport à l’état d’équilibre ; de sorte que le rayon d’une couche sphérique, qui dans l’état d’équilibre était égal à $\mathrm {V} ,$ sera à présent égal à $\mathrm {V+V} s.$ Donc, si nous posons $\mathrm {V} s=u,$ ou $s={\frac {u}{\mathrm {V} }},$ afin que $u$ exprime le changement de cette couche, la particule $u$ sera déterminée par cette équation

${\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=-{\frac {2u}{\mathrm {V} ^{2}}}+{\frac {2}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {V} }}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {V} ^{2}}}.$

Après plusieurs recherches, j’ai enfin trouvé que cette équation admet une résolution générale semblable au cas où l’on ne suppose à l’air qu’une seule dimension ; que $\Phi (z)$ marque une fonction quelconque de $z,$ et qu’on indique son différentiel en [cette] sorte,

$d\Phi (z)=\Phi '(z)dz.$

Cela posé, on verra qu’on satisfait à notre équation en supposant

$u=\mathrm {\frac {A}{V^{2}}} \Phi \left(\mathrm {V} \pm t{\sqrt {2gh}}\right)-\mathrm {\frac {A}{V}} \Phi '\left(\mathrm {V} \pm t{\sqrt {2gh}}\right).$

Donc, pour le commencement de l’agitation, nous aurons cette équation

$u=\mathrm {\frac {A}{V^{2}}} \Phi (\mathrm {V} )-\mathrm {\frac {A}{V}} \Phi '(\mathrm {V} ),$

d’où l’on voit que, pour appliquer cette formule à la propagation du son, la fonction $\Phi (z)$ doit toujours être égale à zéro, excepté les cas où la quantité $z$ est extrêmement petite. Or il faut que la fonction $\Phi (z)$ ait la même propriété et encore celle-ci $\Phi ''(z),$ en supposant $d\Phi '(z)=\Phi ''(z)dz,$ afin que non seulement la quantité $u,$ mais aussi la vitesse ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ s’évanouissent au commencement, partout excepté dans le petit espace autour de $\mathrm {A} ,$ où s’est fait l’ébranlement primitif. Que le caractère $\Psi$ marque des fonctions discontinues de la même nature, et nous aurons la solution générale qui suit

${\begin{aligned}u=&\mathrm {\frac {A}{V^{2}}} \Phi \left(\mathrm {V} +t{\sqrt {2gh}}\right)-\mathrm {\frac {A}{V}} \Phi '\left(\mathrm {V} +t{\sqrt {2gh}}\right)\\&+\mathrm {\frac {B}{V^{2}}} \Psi \left(\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}\right)-\mathrm {\frac {B}{V}} \Psi '\left(\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}\right)\end{aligned}}$