Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/199

et, pour la vitesse,

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}=&{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {2gh}}}{\mathrm {V} ^{2}}}\Phi '\left(\mathrm {V} +t{\sqrt {2gh}}\right)-{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {2gh}}}{\mathrm {V} }}\Phi ''\left(\mathrm {V} +t{\sqrt {2gh}}\right)\\&-{\frac {\mathrm {B} {\sqrt {2gh}}}{\mathrm {V} ^{2}}}\Psi '\left(\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}\right)-{\frac {\mathrm {B} {\sqrt {2gh}}}{\mathrm {V} }}\Psi ''\left(\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}\right).\end{aligned}}$

De là il est clair qu’une couche sphérique, dont le rayon est égal à $\mathrm {V} ,$ demeure en repos tant que la formule $\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}$ ne devienne assez petite ou moindre que le rayon de la petite sphère ébranlée au commencement ; et partant l’agitation primitive sera répandue à la distance $\mathrm {V}$ après le temps $t={\frac {\mathrm {V} }{\sqrt {2gh}}}$ secondes. D’où il suit la même vitesse du son que Newton a trouvée, c’est-à-dire plus petite que selon les expériences. D’où je conclus que, ayant supposé dans ce calcul les ébranlements infiniment petits, leur grandeur cause une propagation plus prompte. Ensuite ces formules nous apprennent que, lorsque les distances $\mathrm {V}$ sont fort grandes, les termes divisés par $\mathrm {V} ^{2}$ s’évanouissant à l’égard des autres divisés par, $\mathrm {V} ,$ tant les petits espaces $u$ que les vitesses ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ diminuent en raison des distances ; d’où l’on peut justement juger de l’affaiblissement du son par des grandes distances.

Voilà mes recherches, que vous pourrez insérer, llonsieur, à votre second Volume, si vous le jugez à propos. Je les ai abrégées autant qu’il m’a été possible, et si vous y vouliez ajouter vos remarques, ou quelques éclaircissements, je vous en serais infiniment obligé. Il y a longtemps que j’ai examiné les sons des cordes qui ne sont pas également épaisses, et je viens de lire à notre Académie quelques Mémoires sur le son des cloches et des tambours ou timbales^[1], fondés sur la même théorie des fonctions discontinues. Faites bien mes compliments

1. Ces Mémoires sur le son des cloches et des tambours ont été publiés dans le Tome X des Novi Commentarii de Pétersbourg, année 1766, sous les titres : De motu vibratorio tympanorum (p. 243-260). – Tentamen de sono campanarum (p. 261-281).