Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/228

où les signes supérieurs donnent $p=123$ et $q=34,$ mais quelle raison nous conduit à supposer $q_{1}=47$ et $p_{1}=13\ ?$

J’ai aussi fort admiré votre méthode d’employer les nombres irrationnels et même les imaginaires dans cette espèce d’analyse, qui est uniquement attachée aux nombres rationnels. Il y a déjà quelques années que j’ai eu de semblables idées ; mais je n’en ai encore rien donné là-dessus ni dans nos Commentaires, ni dans les Mémoires de Berlin ; cependant, ayant publié ici une Algèbre complète en langue russe, j’y ai développé cette matière fort au long, où j’ai fait voir que, pour résoudre l’équation $x^{2}+ny^{2}=\left(p^{2}+nq^{2}\right)^{\lambda },$ on n’a qu’à résoudre celle-ci : $x+y{\sqrt {-n}}=\left(p+q{\sqrt {-n}}\right)^{\lambda }.$ Cet Ouvrage s’imprime actuellement aussi en allemand, en 2 vol. in-8^o[1], et, quand je vous expédierai le Volume III du Calcul intégral, j’y ajouterai un exemplaire de cette Algèbre ou en russe ou en allemand.

Mais je n’y ai pas poussé mes recherches au delà des racines carrées et l’application aux racines cubiques et ultérieures vous a été réservée uniquement. C’est de là que j’ai tiré cette formule très remarquable

$x^{3}+ny^{3}+n^{2}z^{3}-3nxyz,$

dont les trois facteurs sont $x+y{\sqrt[{3}]{n}}+z{\sqrt[{3}]{n^{2}}}\,;$ d’où l’on voit qu’on peut toujours aisément déterminer les lettres $x,y$ et $z$ pour que cette formule devienne un carré, ou un cube, ou un carré-carré, ou quelque plus haute puissance. Au reste, pour juger si l’équation $\mathrm {A} =p^{2}\pm \mathrm {B} q^{2}$ est possible ou non, j’ai trouvé cette règle pour les cas où $\mathrm {A}$ est un nombre premier : ôtez du nombre $\mathrm {A}$ un multiple quelconque de $4\mathrm {B} ,$ et, toutes les fois que le reste est un nombre premier $a,$ l’équation proposée sera possible si celle-ci $a=p^{2}\pm \mathrm {B} q^{2}$ l’est, et de plus si le reste $\mathrm {A} -4n\mathrm {B}$ devient un tel nombre $ab^{2},$ de sorte que $a$ soit un nombre premier, ou même l’unité ; alors la possibilité ou impossibilité de l’équation $a=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ déclare la nature de l’équation proposée. Ainsi, ayant

1. Anleitung zur Algebra, Pétersbourg, 1770, 2 vol in-8^o.