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essais, j’ai trouvé la solution que j’ai eu l’honneur de vous communiquer, et je croyais presque que c’était l’unique qu’on serait en état de donner. Mais, depuis que j’ai eu l’honneur de vous écrire, ayant fixé encore mes recherches sur ce problème, j’ai découvert une route qui en fournit une infinité de solutions. Voilà de quelle manière je m’y suis pris. Posant les deux nombres cherchés $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ les premiers efforts fournissent d’abord ces formules

$\mathrm {A} ={\frac {\left(p^{2}+s^{2}\right)\left(q^{2}+r^{2}\right)}{4pqrs}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {B} ={\frac {\left(p^{2}+s^{2}\right)\left(q^{2}+r^{2}\right)}{\left(p^{2}-s^{2}\right)\left(q^{2}-r^{2}\right)}},$

mais il est nécessaire que cette formule ${\frac {\left(p^{2}+s^{2}\right)\left(q^{2}+r^{2}\right)}{2pqrs\left(p^{2}-s^{2}\right)\left(q^{2}-r^{2}\right)}}$ devienne un carré, ce qui est, sans doute, extrêmement difficile et au-dessus de la méthode ordinaire de Diophante. Mais, ayant employé les substitutions suivantes

$p=m^{2}+(m-n)^{2},\quad q=m^{2}+mn-n^{2}=s\quad {\text{et}}\quad r=m(m-rn),$

cette formule, après en avoir ôté les facteurs carrés, se réduit à celle-ci

${\frac {5m^{2}-6ml+2n^{2}}{2n(2m+n)}},$

qu’il est aisé de rendre carrée ; car, posant $n=2m-l,$ cette formule devient

${\frac {m^{2}-2ml+2+l^{2}}{(4m-2l)(4m-l)}},$

dont le numérateur multiplié par le dénominateur donne ce produit

$16m^{4}-44m^{3}l+58m^{2}l^{2}-28ml^{3}+4l^{4},$

qui doit être un carré et dont la résolution est fort aisée. Quoique cette solution paraisse fort particulière, vu que, au lieu de quatre lettres $p,\,q,\,r,\,s,$ cette formule n’en contient que deux, j’ai lieu de croire qu’elle renferme pourtant toutes les solutions possibles.

Je serais fort curieux, Monsieur, d’apprendre votre sentiment sur