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les deux théorèmes suivants, que je crois vrais sans les pouvoir démontrer :

1^o Outre le cercle, il n’y a point d’autres courbes algébriques dont chaque arc soit égal à un arc de cercle.

2^o Il n’y a point de courbes algébriques non plus, dont chaque arc soit égal à un logarithme.

Vous voyez bien qu’il ne s’agit pas ici des courbes algébriques dont la rectification dépende ou des arcs de cercle ou des logarithmes.

Je reviens au problème dont je vous ai aussi parlé dans ma Lettre précédente, où il s’agit de déterminer les trois quantités $x,y$ et $z$ par les deux variables $t$ et $u\,;$ en sorte que, posant

$dx=l\,dt+\lambda \,du,\qquad dy=m\,dt+\mu \,du,\qquad dz=n\,dt+\nu \,du,$

les trois conditions suivantes soient remplies :

${\begin{alignedat}{5}&1^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&l^{2}&&+m^{2}&&+n^{2}&&=1,\\&2^{\circ }&&\lambda ^{2}&&+\mu ^{2}&&+\nu ^{2}&&=1,\\&3^{\circ }&&l\lambda &&+m\mu &&+n\nu &&=0,\end{alignedat}}$

dont j’avais bien trouvé une solution complète, mais par une méthode extrêmement indirecte, et je croyais presque qu’il n’y avait point de méthode directe qui puisse conduire à la solution. Mais, afin que vous ne pensiez pas que c’est une pure et stérile spéculation, j’ai l’honneur de vous dire que le problème suivant m’y a conduit : Trouver tous les solides dont la surface puisse être expliquée^[1] dans un plan, comme il arrive dans tous les corps cylindriques et coniques. Or, depuis quelques jours, je suis tombé sur la solution suivante, qui me paraît assez directe Introduisant une nouvelle variable $\omega ,$ qu’on en cherche trois telles fonctions $p,q$ et $r$ en sorte que

1o

$p^{2}+q^{2}+r^{2}=1$

et

2o

$dp^{2}+dq^{2}+dr^{2}=d\omega ^{2},1$

1. Expliquer, développer ; explicare.